En matemáticas y geometría, una de las habilidades que distingue a los expertos de los pretendientes es el conocimiento de trucos y atajos. El tiempo que dedicas a aprenderlos se amortiza en el tiempo que ahorras cuando resuelves problemas. Por ejemplo, vale la pena conocer dos triángulos rectángulos especiales que, una vez que los reconoces, son muy fáciles de resolver. Los dos triángulos en particular son el 30-60-90 y el 45-45-90.
TL; DR (demasiado largo; No leí)
Dos triángulos rectángulos especiales tienen ángulos internos de 30, 60 y 90 grados, y 45, 45 y 90 grados.
Acerca de los triángulos rectángulos
Los triángulos son polígonos de tres lados cuyos ángulos internos suman 180 grados. El triángulo rectángulo es un caso especial en el que uno de los ángulos es de 90 grados, por lo que los otros dos ángulos, por definición, deben sumar 90. Las funciones seno, coseno, tangente y otras funciones trigonométricas proporcionan formas de calcular los ángulos internos de los triángulos rectángulos, así como la longitud de sus lados. Otra herramienta de cálculo indispensable para triángulos rectángulos es el teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, o
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Resolver triángulos rectángulos especiales
Cuando trabajas en cualquier tipo de problema de triángulos rectángulos, normalmente te dan al menos un ángulo y un lado y te piden que calcules los ángulos y lados restantes. Usando la fórmula de Pitágoras anterior, puedes calcular la longitud de cualquier lado si te dan los otros dos. Una gran ventaja de los triángulos rectángulos especiales es que las proporciones de las longitudes de sus lados son siempre las mismas, por lo que puedes encontrar la longitud de todos los lados si solo te dan uno. Además, si solo te dan un lado y el triángulo es especial, también puedes encontrar los valores de los ángulos.
El triángulo 30-60-90
Como su nombre lo indica, el triángulo rectángulo 30-60-90 tiene ángulos internos de 30, 60 y 90 grados. Como consecuencia, los lados de este triángulo caen en las proporciones, 1: 2: √3, donde 1 y √3 son las longitudes de los lados opuestos y adyacentes y 2 es la hipotenusa. Estos números siempre van juntos: si resuelves los lados de un triángulo rectángulo y encuentras que se ajustan al patrón, 1, 2, √3, sabes que los ángulos serán 30, 60 y 90 grados. Del mismo modo, si se le da uno de los ángulos como 30, sabe que los otros dos son 60 y 90, y también que los lados tendrán las proporciones, 1: 2: √3.
El triángulo 45-45-90
El triángulo 45-45-90 funciona de manera muy similar al 30-60-90, excepto que dos ángulos son iguales, al igual que los lados opuestos y adyacentes. Tiene ángulos internos de 45, 45 y 90 grados. Las proporciones de los lados del triángulo son 1: 1: √2, siendo la proporción de la hipotenusa √2. Los otros dos lados tienen la misma longitud entre sí. Si estás trabajando en un triángulo rectángulo y uno de los ángulos internos es de 45 grados, sabes en un instante en que el ángulo restante también debe ser de 45 grados, porque todo el triángulo debe sumar 180 grados.
Lados y proporciones de triángulos
Al resolver los dos triángulos rectángulos especiales, tenga en cuenta que es eldimensionesde los lados que importan, no su medida en términos absolutos. Por ejemplo, un triángulo tiene lados que miden 1 pie y 1 pie y √2 pies, por lo que sabes que es un triángulo de 45-45-90 y tiene ángulos internos de 45, 45 y 90 grados.
Pero, ¿qué haces con un triángulo rectángulo cuyos lados miden √17 pies y √17 pies? Las proporciones de los lados son la clave. Dado que los dos lados son idénticos, la proporción es 1: 1 entre sí, y debido a que es un triángulo rectángulo, la proporción de la hipotenusa es 1: √2 con cualquiera de los otros lados. Las proporciones iguales te indican que los lados son 1, 1, √2, que pertenece solo al triángulo especial 45-45-90. Para encontrar la hipotenusa, multiplica √17 por √2 para obtener √34 pies.