Cómo encontrar la raíz cuadrada de un número irracional

Un número irracional no es tan aterrador como parece; es solo un número que no se puede expresar como una fracción simple o, para decirlo de otra manera, una número irracional es un decimal interminable que continúa un número infinito de lugares más allá del punto decimal. Puede realizar la mayoría de las operaciones con números irracionales tal como lo haría con números racionales, pero cuando se trata de sacar raíces cuadradas, tendrá que aprender a aproximar el valor.

¿Qué es un número irracional?

Entonces, ¿qué es un número irracional, de todos modos? Es posible que ya esté familiarizado con dos números irracionales muy famosos: π o "pi", que casi siempre se abrevia como 3,14 pero de hecho continúa infinitamente a la derecha del punto decimal; y "e", también conocido como el número de Euler, que generalmente se abrevia como 2.71828 pero también continúa infinitamente a la derecha del punto decimal.

Pero hay muchos más números irracionales por ahí, y aquí hay una manera fácil de detectar algunos de ellos: Si el número debajo de un signo de raíz cuadrada no es un cuadrado perfecto, entonces esa raíz cuadrada es un signo irracional número.

Es un bocado muy grande, así que aquí hay un ejemplo para aclararlo. También ayuda recordar que un cuadrado perfecto es un número cuya raíz cuadrada es un número entero:

¿Es √8 un número irracional?Si ha memorizado sus cuadrados perfectos o se toma el tiempo para buscarlos, sabrá que

\ sqrt {4} = 2 \ text {y} \ sqrt {9} = 3

Dado que √8 está entre esos dos números, pero no hay un número entero entre 2 y 3 que sea su raíz, √8 es irracional.

Sacar la raíz cuadrada de un número irracional

Cuando se trata de calcular la raíz cuadrada de un número irracional, tiene dos opciones. Ponga el número irracional en una calculadora o en una calculadora de raíz cuadrada en línea (ver Recursos), en cuyo caso la calculadora le devolverá un valor aproximado, o puede usar un proceso de cuatro pasos para estimar el valor tú mismo.

Ejemplo 1:Estima el valor del número irracional √8.

    Encuentra los cuadrados perfectos que estarían a cada lado de √8 en la recta numérica. En este caso, √4 = 2 y √9 = 3. Elija el que esté más cerca de su número objetivo. Dado que 8 está mucho más cerca de 9 que de 4, elija

    \ sqrt {9} = 3

    Luego, divida el número cuya raíz desea, 8, por su estimación. Continuando con el ejemplo, tienes:

    \ frac {8} {3} = 2,67

    Ahora, encuentre el promedio del resultado del Paso 2 con el divisor del Paso 2. Aquí, eso significa promediar 3 y 2.67. Primero sume los dos números y luego divídalos por dos:

    3 + 2.67 = 5.6667

    (Este es en realidad el decimal periódico 5.6666666666, pero se ha redondeado a cuatro lugares decimales en aras de la brevedad).

    \ frac {5.6667} {2} = 2.83335

    El resultado del Paso 3 aún no es exacto, pero se está acercando. Repita los pasos 2 y 3 según sea necesario, utilizando el resultado del paso 3 como el nuevo divisor en el paso 2 cada vez.

    Para continuar con el ejemplo, dividiría 8 por el resultado del Paso 3 (2.83335), que le da:

    \ frac {8} {2.83335} = 2.8235

    (Nuevamente, redondeando a cuatro lugares decimales en aras de la brevedad).

    Luego, promediaría el resultado de su división con el divisor, lo que le da:

    2.83335 + 2.8235 = 5.65685 \\ \, \\ \ frac {5.65685} {2} = 2.828425

    Puede continuar este proceso, repitiendo los Pasos 2 y 3 según sea necesario, hasta que la respuesta sea tan exacta como necesite.

¿Qué pasa con las raíces cuadradas irracionales?

A veces, en lugar de encontrar la raíz cuadrada de un número irracional, debes lidiar con números irracionales que se expresan en forma de raíz cuadrada; uno de los más famosos que conocerás es √2.

No hay mucho que pueda hacer con √2, aparte de aproximar su valor como se describe arriba. Pero si obtienes un número irracional más grande en forma de raíz cuadrada, a veces puedes usar el hecho de que

\ sqrt {cd} = \ sqrt {c} × \ sqrt {d}

para reescribir la respuesta en una forma más simple.

Considere la raíz cuadrada irracional √32. Aunque no tiene una raíz principal (es decir, una raíz entera no negativa), puede factorizarlo en algo con una raíz principal familiar:

\ sqrt {32} = \ sqrt {16} × \ sqrt {2}

Todavía no puedes hacer mucho con √2, pero √16 = 4, así que puedes dar un paso más y escribirlo como

\ sqrt {32} = 4 \ sqrt {2}

Si bien no ha eliminado el signo radical por completo, ha simplificado este número irracional al tiempo que conserva su valor exacto.

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