La ley de los senos y la ley de los cosenos son fórmulas trigonométricas que relacionan las medidas de los ángulos de un triángulo con las longitudes de sus lados. Se derivan de la propiedad de que los ángulos más grandes de los triángulos tienen lados opuestos proporcionalmente más grandes. Usa la ley de los senos o la ley de los cosenos para calcular las longitudes de los lados de un triángulo y un cuadrilátero (a cuadrilátero es esencialmente dos triángulos adyacentes) si conoce la medida de un lado, un ángulo y un lado adicional o ángulo.
Encuentra los datos del triángulo. Los dados son longitudes de lados y medidas de ángulos que ya se conocen. No puedes encontrar la medida de las longitudes de los lados de un triángulo a menos que conozcas la medida de un ángulo, un lado y otro lado u otro ángulo.
Usa los datos para determinar si el triángulo es un triángulo ASA, AAS, SAS o ASS. Un triángulo ASA tiene dos ángulos dados, así como el lado que conecta los dos ángulos. Un triángulo AAS tiene dos ángulos y un lado diferente como se da. Un triángulo SAS tiene dos lados como dados, así como el ángulo formado por los dos lados. Un triángulo ASS tiene dos lados y un ángulo diferente a los dados.
Usa la ley de los senos para establecer una ecuación que relacione las longitudes de los lados si se trata de un triángulo ASA, AAS o ASS. La ley de los senos establece que las proporciones de los senos de los ángulos de un triángulo y sus lados opuestos son iguales:
\ sin \ bigg (\ frac {A} {a} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {B} {b} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {C} {c} \ bigg)
dóndea, ByCson las longitudes de los lados opuestos de los ángulosA, ByC, respectivamente.
Por ejemplo, si sabe que dos ángulos tienen 40 grados y 60 grados y el lado que los une tiene 3 unidades de largo, establecería la ecuación:
\ sin \ bigg (\ frac {80} {3} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {40} {b} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {60} {c} \ bigg)
Sabes que el ángulo opuesto al lado que tiene 3 unidades de largo es 80 grados porque la suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados.
Usa la ley de los cosenos para establecer una ecuación que relacione las longitudes de los lados si se trata de un triángulo SAS. La ley de los cosenos establece que:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \ cos C
En otras palabras, el cuadrado de la longitud del lado c es igual a los cuadrados de los otros dos lados menos el producto de esos dos lados y el coseno del ángulo opuesto al lado desconocido. Por ejemplo, si los dos lados fueran 3 unidades y 4 unidades y el ángulo fuera de 60 grados, escribirías la ecuación
c ^ 2 = 3 ^ 2 + 4 ^ 2-34 × \ cos 60
Resuelve las variables en las ecuaciones para encontrar las longitudes desconocidas de los triángulos. Resolviendo paraBen la ecuación
\ sin \ bigg (\ frac {80} {3} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {40} {b} \ bigg)
da el valor
b = 3 × \ frac {\ sin (40)} {\ sin (80)}
entoncesBes aproximadamente 2. Resolviendo paraCen la ecuación
\ sin \ bigg (\ frac {80} {3} \ bigg) = \ sin \ bigg (\ frac {60} {c} \ bigg)
da el valor
c = 3 × \ frac {\ sin (60)} {\ sin (80)}
entoncesCes aproximadamente 2.6. De manera similar, resolviendo paraCen la ecuación
c ^ 2 = 3 ^ 2 + 4 ^ 2-34 × \ cos (60)
da el valor
c ^ 2 = 25 - 6 \ text {o} c ^ 2 = 19
entoncesCes aproximadamente 4,4.