Lalongitud de arcode un círculo es la distancia a lo largo del exterior de ese círculo entre dos puntos especificados. Si tuvieras que caminar un cuarto del camino alrededor de un círculo grande y supieras la circunferencia del círculo, la longitud del arco de la sección que caminaste sería simplemente la circunferencia del círculo, 2πr, dividido por cuatro. La distancia en línea recta a través del círculo entre esos puntos, mientras tanto, se llama cuerda.
Si conoces la medida del ángulo centralθ, que es el ángulo entre las líneas que se originan en el centro del círculo y se conectan a los extremos del arco, puede calcular fácilmente la longitud del arco:
L = \ frac {θ} {360} × 2πr
La longitud del arco sin ángulo
A veces, sin embargo, no se le daθ. Pero si conoces la longitud del acorde asociadoC, puede calcular la longitud del arco incluso sin esta información, utilizando la siguiente fórmula:
c = 2r \ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg)
Los pasos a continuación asumen un círculo con un radio de 5 metros y una cuerda de 2 metros.
Resuelva la ecuación de acordes paraθ
Dividir cada lado por 2r(que es igual al diámetro del círculo). Esto da
\ frac {c} {2r} = \ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg)
En este ejemplo
\ frac {c} {2r} = \ frac {2} {2 × 5} = 0.2
Encuentre el seno inverso de (θ/2)
Ya que ahora tienes
0.2 = \ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg)
debes encontrar el ángulo que produce este valor de seno.
Use la función ARCSIN de su calculadora, a menudo etiquetada SIN-1, para hacer esto, o consulte también la calculadora Rapid Tables (ver Recursos).
\ sin ^ {- 1} (0,2) = 11,54 = \ frac {θ} {2} \\ \ implica θ = 23,08
Resolver para la longitud del arco
Volviendo a la ecuación
L = \ frac {θ} {360} × 2πr
ingrese los valores conocidos:
L = \ frac {23.08} {360} × 2π × 5 \ text {metros} \\ \, \\ = 0.0641 × 31.42 = 2.014 \ text {metros}
Tenga en cuenta que para longitudes de arco relativamente cortas, la longitud de la cuerda estará muy cerca de la longitud del arco, como sugiere una inspección visual.