¿Alguna vez se preguntó cómo se relacionan las funciones trigonométricas como el seno y el coseno? Ambos se usan para calcular lados y ángulos en triángulos, pero la relación va más allá.Identidades cofuncionalesDanos fórmulas específicas que muestren cómo convertir entre seno y coseno, tangente y cotangente, y secante y cosecante.
TL; DR (demasiado largo; No leí)
El seno de un ángulo es igual al coseno de su complemento y viceversa. Esto también es válido para otras cofunciones.
Una forma sencilla de recordar qué funciones son cofunciones es que dos funciones trigonométricas soncofuncionessi uno de ellos tiene el prefijo "co-" delante de él. Entonces:
- seno ycoseno soncofunciones.
- tangente ycotangente soncofunciones.
- secante ycosecantes soncofunciones.
Podemos calcular una y otra vez entre cofunciones usando esta definición: El valor de una función de un ángulo es igual al valor de la cofunción del complemento.
Eso suena complicado, pero en lugar de hablar sobre el valor de una función en general, usemos un ejemplo específico. La
Recuerde: dos ángulos soncomplementossi suman 90 grados.
Identidades de cofunciones en grados:
(Note que 90 ° -Xnos da el complemento de un ángulo).
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ cot (90 ° - x) \\ \ cot (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Identidades de cofunciones en radianes
Recuerda que también podemos escribir cosas en términos deradianes, que es la unidad SI para medir ángulos. Noventa grados es lo mismo que π / 2 radianes, por lo que también podemos escribir las identidades de las funciones de la siguiente manera:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ cot \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cot (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Prueba de identidad de Cofunction
Todo esto suena bien, pero ¿cómo podemos demostrar que es cierto? Probarlo usted mismo en un par de triángulos de ejemplo puede ayudarlo a sentirse seguro al respecto, pero también hay una prueba algebraica más rigurosa. Demostremos las identidades de cofunción para seno y coseno. Vamos a trabajar en radianes, pero es lo mismo que usar grados.
Prueba:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
En primer lugar, busque esta fórmula en su memoria, porque la usaremos en nuestra prueba:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
¿Entiendo? está bien. Ahora demostremos: pecado (X) = cos (π / 2 - x).
Podemos reescribir cos (π / 2 -X) como esto:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( X)
porque sabemos
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {y} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Entonces
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
¡Ta-da! ¡Ahora demostrémoslo con coseno!
Prueba:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Otra explosión del pasado: ¿recuerdas esta fórmula?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Estamos a punto de usarlo. Ahora demostremos:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Podemos reescribir sin (π / 2 -X) como esto:
\ begin {alineado} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ end {alineado}
porque sabemos
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {y} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Entonces obtenemos
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Calculadora de funciones
Pruebe algunos ejemplos trabajando con cofunciones por su cuenta. Pero si te quedas atascado, Math Celebrity tiene una calculadora de funciones que muestra las soluciones paso a paso a los problemas de funciones.
¡Feliz cálculo!