Los círculos están en todas partes en el mundo real, por lo que sus radios, diámetros y circunferencia son importantes en las aplicaciones de la vida real. Pero hay otras partes de los círculos (sectores y ángulos, por ejemplo) que también tienen importancia en las aplicaciones cotidianas. Los ejemplos incluyen tamaños de sectores de alimentos circulares como pasteles y tartas, el ángulo recorrido en una noria, el tamaño de un neumático para un vehículo en particular y especialmente el tamaño de un anillo para un compromiso o boda. Por estas razones y más, la geometría también tiene ecuaciones y cálculos de problemas que tratan con ángulos centrales, arcos y sectores de un círculo.
¿Qué es el ángulo central?
El ángulo central se define como el ángulo creado por dos rayos o radios que irradian desde el centro de un círculo, siendo el centro del círculo el vértice del ángulo central. Los ángulos centrales son particularmente relevantes cuando se trata de dividir uniformemente la pizza, o cualquier otro alimento de base circular, entre un número determinado de personas. Digamos que hay cinco personas en una velada en la que se van a compartir una pizza grande y un pastel grande. ¿Cuál es el ángulo en el que se deben dividir tanto la pizza como el pastel para garantizar una porción igual para todos? Dado que hay 360 grados en un círculo, el cálculo se convierte en 360 grados divididos por 5 para llegar a 72 grados, de modo que cada rebanada, ya sea de pizza o de pastel, tenga un ángulo central, o theta (θ), de 72 grados.
Determinación del ángulo central a partir de la longitud del arco
Un arco del círculo se refiere a una "porción" de la circunferencia del círculo. Por lo tanto, la longitud del arco es la longitud de esa "porción". Si imagina una porción de pizza, el área del sector puede ser visualizada como la rebanada completa de pizza, pero la longitud del arco es la longitud del borde exterior de la corteza para eso rebanada particular. A partir de la longitud del arco, se puede calcular el ángulo central. De hecho, una fórmula que puede ayudar a determinar el ángulo central establece que la longitud del arco es igual al radio multiplicado por el ángulo central, o
s = r × θ
donde el ángulo, theta, debe medirse en radianes. Entonces, para resolver el ángulo central, theta, solo es necesario dividir la longitud del arco por el radio, o
\ frac {s} {r} = θ
Para ilustrar, si la longitud del arco es 5.9 y el radio es 3.5329, entonces el ángulo central se convierte en 1.67 radianes. Otro ejemplo es si la longitud del arco es 2 y el radio es 2, el ángulo central se convierte en 1 radianes. Si desea convertir radianes a grados, recuerde que 1 radianes equivale a 180 grados divididos por π, o 57,2958 grados. Por el contrario, si una ecuación solicita convertir grados nuevamente en radianes, primero multiplique por π y luego divida por 180 grados.
Determinación del ángulo central a partir del área del sector
Otra fórmula útil para determinar el ángulo central la proporciona el área del sector, que nuevamente se puede visualizar como una rebanada de pizza. Esta fórmula en particular se puede ver de dos maneras. El primero tiene el ángulo central medido en grados, de modo que el área del sector es igual a π veces el radio al cuadrado y luego multiplicado por la cantidad del ángulo central en grados dividido por 360 grados. En otras palabras:
πr ^ 2 × \ frac {\ text {ángulo central en grados}} {360 \ text {grados}} = \ text {área del sector}
Si el ángulo central se mide en radianes, la fórmula en cambio se convierte en:
\ text {área del sector} = r ^ 2 × \ frac {\ text {ángulo central en radianes}} {2}
Reorganizar las fórmulas ayudará a resolver el valor del ángulo central, o theta. Considere un área de sector de 52,3 centímetros cuadrados con un radio de 10 centímetros. ¿Cuál sería su ángulo central en grados? Los cálculos comenzarían con un área de sector de 52,3 centímetros cuadrados que es igual a:
\ frac {θ} {360 \ text {grados}} × πr ^ 2
Dado que el radio (r) es igual a 10, la ecuación completa se puede escribir como:
\ frac {52.3} {100π} × 360
para que theta se pueda escribir como:
\ frac {52.3} {314} × 360
Así, la respuesta final se convierte en un ángulo central de 60 grados.