Un polígono es cualquier figura bidimensional cerrada con 3 o más lados rectos (no curvos), y un polígono de 12 lados se conoce como dodecágono. Un dodecágono regular es uno con lados y ángulos iguales, y es posible derivar una fórmula para calcular su área. Un dodecágono irregular tiene lados de diferentes longitudes y diferentes ángulos. Una estrella de seis puntas es un ejemplo. No hay una manera fácil de calcular el área de una figura irregular de 12 lados a menos que la traces en un gráfico y puedas leer las coordenadas de cada uno de los vértices. De lo contrario, la mejor estrategia es dividir la figura en formas regulares para las que pueda calcular el área.
Cálculo del área de un polígono regular de 12 lados
Para calcular el área de un dodecágono regular, debes encontrar su centro, y la mejor manera de hacerlo es trazar un círculo alrededor de él que solo toque cada uno de sus vértices. El centro del círculo es el centro del dodecágono, y la distancia desde el centro de la figura a cada uno de sus vértices es simplemente el radio del círculo (
r). Cada uno de los 12 lados de la figura tiene la misma longitud, así que denótelo pors.Necesita una medida más, y esa es la longitud de una línea perpendicular trazada desde el punto medio de cada lado hasta el centro de la forma de 12 lados. Esta línea se conoce como apotema. Denote su longitud pormetro. Divide cada sección formada por las líneas de radio en dos triángulos rectángulos. Tu no sabesmetro, pero puedes encontrarlo usando el teorema de Pitágoras.
Las 12 líneas de radio dividen el círculo que trazaste alrededor del dodecágono en 12 secciones iguales, por lo que en el centro de la figura, el ángulo que forma cada línea con la que está al lado es de 30 grados. Cada una de las 12 secciones formadas por las líneas de radio está formada por un par de triángulos rectángulos con hipotenusary un ángulo de 15 grados. El lado adyacente al ángulo esmetro, por lo que puedes encontrarlo usando ry el seno del ángulo.
\ sin (15) = \ frac {m} {r} \, \ text {y resuelve para} m \\ m = r × \ sin (15)
Ahora puede encontrar el área de cada uno de los triángulos isósceles inscritos en el dodecágono, porque conoce la longitud de la base, que ess- y la altura,metro. El área de cada triángulo es
\ begin {alineado} \ text {área} & = \ frac {1} {2} × \ text {base} × \ text {altura} \\ & = \ frac {1} {2} × s × m \\ & = 1/2 × (s × r × \ sin (15)) \ end {alineado}
Hay 12 secciones de este tipo, así que multiplique por 12 para encontrar el área total de la forma regular de 12 lados:
\ text {Área del dodecágono regular} = 6 × (s × r × \ sin (15))
Encontrar el área de un dodecágono irregular
No existe una fórmula para encontrar el área de un dodecágono irregular, ya que las longitudes de los lados y los ángulos no son iguales. Incluso es difícil señalar el centro. La mejor estrategia es dividir la figura en formas regulares, calcular el área de cada una y sumarlas.
Si la forma se traza en un gráfico y conoce las coordenadas de los vértices, hay una fórmula que puede usar para calcular el área. Si cada punto (norte) es definido por (Xnorte, ynorte), y recorre la figura en orden, ya sea en sentido horario o antihorario, para obtener una serie de 12 puntos, el área es:
\ text {Área} = \ frac {| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) +... + (x_ {11} y_ {12} - y_ {11} x_ {12}) + (x_ {12} y_1 - y_ {12} x_1) |} {2}