Las raíces cuadradas se encuentran a menudo en problemas de matemáticas y ciencias, y cualquier estudiante debe aprender los conceptos básicos de las raíces cuadradas para abordar estas preguntas. Las raíces cuadradas preguntan "qué número, cuando se multiplica por sí mismo, da el siguiente resultado", y como tal, resolverlos requiere que pienses en los números de una manera ligeramente diferente. Sin embargo, puede comprender fácilmente las reglas de las raíces cuadradas y responder cualquier pregunta que las involucre, ya sea que requieran un cálculo directo o simplemente una simplificación.
TL; DR (demasiado largo; No leí)
Una raíz cuadrada te pregunta qué número, cuando se multiplica por sí mismo, da el resultado después del símbolo √. Entonces √9 = 3 y √16 = 4. Técnicamente, cada raíz tiene una respuesta positiva y una negativa, pero en la mayoría de los casos la respuesta positiva es la que te interesará.
Puedes factorizar raíces cuadradas como números ordinarios, entonces √ab = √a √B, o √6 = √2√3.
¿Qué es una raíz cuadrada?
Las raíces cuadradas son lo opuesto a “elevar al cuadrado” un número o multiplicarlo por sí mismo. Por ejemplo, tres al cuadrado son nueve (32 = 9), por lo que la raíz cuadrada de nueve es tres. En símbolos, esto es
\ sqrt {9} = 3
El símbolo “√” te dice que debes sacar la raíz cuadrada de un número y puedes encontrarla en la mayoría de las calculadoras.
Recuerde que cada número tienedosraíces cuadradas. Tres multiplicado por tres es igual a nueve, pero menos tres multiplicado por menos tres también es igual a nueve, entonces
3 ^ 2 = (-3) ^ 2 = 9 \ text {y} \ sqrt {9} = ± 3
con ± en lugar de "más o menos". En muchos casos, puede ignorar las raíces cuadradas negativas de los números, pero a veces es importante recordar que cada número tiene dos raíces.
Es posible que se le pida que saque la "raíz cúbica" o la "cuarta raíz" de un número. La raíz cúbica es el número que, cuando se multiplica por sí mismo dos veces, es igual al número original. La cuarta raíz es el número que cuando se multiplica por sí mismo tres veces es igual al número original. Al igual que las raíces cuadradas, son todo lo contrario de tomar el poder de los números. Entonces, 33 = 27, y eso significa que la raíz cúbica de 27 es 3, o
\ sqrt [3] {27} = 3
El símbolo “∛” representa la raíz cúbica del número que le sigue. Las raíces a veces también se expresan como potencias fraccionarias, por lo que
\ sqrt {x} = x ^ {1/2} \ text {y} \ sqrt [3] {x} = x ^ {1/3}
Simplificando raíces cuadradas
Una de las tareas más desafiantes que puede tener que realizar con raíces cuadradas es simplificar raíces cuadradas grandes, pero solo necesita seguir algunas reglas simples para abordar estas preguntas. Puede factorizar raíces cuadradas de la misma manera que factoriza números ordinarios. Entonces, por ejemplo, 6 = 2 × 3, entonces
\ sqrt {6} = \ sqrt {2} × \ sqrt {3}
Simplificar raíces más grandes significa tomar la factorización paso a paso y recordar la definición de raíz cuadrada. Por ejemplo, √132 es una raíz grande y puede resultar difícil saber qué hacer. Sin embargo, puede ver fácilmente que es divisible por 2, por lo que puede escribir
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {66}
Sin embargo, 66 también es divisible entre 2, por lo que puede escribir:
\ sqrt {2} \ sqrt {66} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33}
En este caso, una raíz cuadrada de un número multiplicado por otra raíz cuadrada solo da el número original (debido a la definición de raíz cuadrada), entonces
\ sqrt {132} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {33} = 2 \ sqrt {33}
En resumen, puede simplificar raíces cuadradas usando las siguientes reglas
\ sqrt {a × b} = \ sqrt {a} × \ sqrt {b} \\ \ sqrt {a} × \ sqrt {a} = a
¿Cuál es la raíz cuadrada de ...
Usando las definiciones y reglas anteriores, puede encontrar las raíces cuadradas de la mayoría de los números. A continuación se muestran algunos ejemplos a considerar.
La raíz cuadrada de 8
Esto no se puede encontrar directamente porque no es la raíz cuadrada de un número entero. Sin embargo, usar las reglas para simplificar da:
\ sqrt {8} = \ sqrt {2} \ sqrt {4} = 2 \ sqrt {2}
La raíz cuadrada de 4
Esto hace uso de la raíz cuadrada simple de 4, que es √4 = 2. El problema se puede resolver exactamente usando una calculadora, y √8 = 2.8284 ...
La raíz cuadrada de 12
Con el mismo enfoque, intente calcular la raíz cuadrada de 12. Divida la raíz en factores y luego vea si puede dividirla en factores nuevamente. Intente esto como un problema de práctica y luego observe la solución a continuación:
\ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {6} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {3} = 2 \ sqrt {3}
Nuevamente, esta expresión simplificada puede usarse en problemas según sea necesario o calcularse exactamente con una calculadora. Una calculadora muestra que
\ sqrt {12} = 2 \ sqrt {3} = 3.4641….
La raíz cuadrada de 20
La raíz cuadrada de 20 se puede encontrar de la misma manera:
\ sqrt {20} = \ sqrt {2} \ sqrt {10} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 2 \ sqrt {5} = 4.4721….
La raíz cuadrada de 32
Finalmente, aborde la raíz cuadrada de 32 usando el mismo enfoque:
\ sqrt {32} = \ sqrt {4} \ sqrt {8}
Aquí, tenga en cuenta que ya calculamos la raíz cuadrada de 8 como 2√2, y que √4 = 2, entonces:
\ sqrt {32} = 2 × 2 \ sqrt {2} = 4 \ sqrt {2} = 5.657 ...
Raíz cuadrada de un número negativo
Aunque la definición de raíz cuadrada significa que los números negativos no deben tener raíz cuadrada (porque cualquier número multiplicado por sí misma da un número positivo como resultado), los matemáticos los encontraron como parte de problemas en álgebra e idearon un solución. El número "imaginario"Ise utiliza para significar "la raíz cuadrada de menos 1" y cualquier otra raíz negativa se expresa como múltiplos deI. Entonces
\ sqrt {-9} = \ sqrt {9} × i = ± 3i
Estos problemas son más desafiantes, pero puede aprender a resolverlos basándose en la definición deIy las reglas estándar para raíces.
Ejemplos de preguntas y respuestas
Pon a prueba tu comprensión de las raíces cuadradas simplificando según sea necesario y luego calculando las siguientes raíces:
\ sqrt {50} \\ \ sqrt {36} \\ \ sqrt {70} \\ \ sqrt {24} \\ \ sqrt {27}
Intente resolverlos antes de mirar las respuestas a continuación:
\ sqrt {50} = \ sqrt {2} \ sqrt {25} = 5 \ sqrt {2} = 7.071 \\ \ sqrt {36} = 6 \\ \ sqrt {70} = \ sqrt {7} \ sqrt { 10} = \ sqrt {7} \ sqrt {2} \ sqrt {5} = 8.637 \\ \ sqrt {24} = \ sqrt {2} \ sqrt {12} = \ sqrt {2} \ sqrt {2} \ sqrt {6} = 2 \ sqrt {6} = 4.899 \\ \ sqrt {27 } = \ sqrt {3} \ sqrt {9} = 3 \ sqrt {3} = 5.196
