Los físicos comparan los momentos de inercia de los objetos en rotación para determinar cuáles serán más difíciles de acelerar o ralentizar. Esto se aplica a situaciones del mundo real, como averiguar qué objetos rodarán más rápido en una carrera.
Los factores que cambian el momento de inercia de un objeto son su masa, cómo se distribuye esa masa, determinada por su forma y radio, y el eje de rotación sobre el que gira.
Momentos de inercia para objetos comunes
Este diagrama muestra las ecuaciones de momento de inercia para varias formas comunes que giran alrededor de diferentes ejes de rotación.
Comparación de momentos de inercia
A continuación se muestran algunos ejemplos de problemas de física que requieren el uso de momentos de inercia para comparar varios objetos.
1. ¿Cuál de las siguientes opciones será más fácil de empezar a girar: una esfera hueca de 7 kg de radio de 0,2 mo una esfera sólida de 10 kg del mismo radio?
Empiece por encontrar los momentos de inercia de cada objeto. Según la tabla, la ecuación para un
esfera huecaes:Yo = 2 / 3mr2y la ecuación paraesfera sólidaesYo = 2 / 5mr2.Sustituyendo las masas y radios dados:
Esfera hueca: Yo = 2/3 (7 kg) (0,2 m)2 = 0.19 kgm2
Sólido esfera: Yo = 2/5 (10 kg) (0,2 m)2 = 0.16 kgm2
El momento de inercia esmás pequeño para la esfera sólida, Así serámás fácil empezar a girar.
2. ¿De qué manera es más difícil rotar un lápiz: sobre su longitud, alrededor de su centro o de un extremo a otro? Suponga que el lápiz tiene una longitud de 10 cm (0,1 m) y un radio de sección transversal de 3 mm (0,003 m).
En este caso, la masa del lápiz no importa en la comparación, ya que no cambia.
Para determinar qué ecuaciones se aplican, calcule la forma de un lápiz como un cilindro.
Entonces, las tres ecuaciones de momento de inercia necesarias son:
Cilindro sobre su longitud(el eje atraviesa todo, desde la punta hasta el borrador, por lo que el radio al eje de rotaciónessu radio de sección transversal):
I = \ frac {1} {2} mr ^ 2 = \ frac {1} {2} m (0.003) ^ 2 = 0.0000045m
Cilindro alrededor de su centro(mantenido en el medio, por lo que el radio de su rotación esla mitad de su longitud):
I = \ frac {1} {12} mr ^ 2 = \ frac {1} {12} m (0.05) ^ 2 = 0.0002083m
Cilindro alrededor de su extremo(sostenido por la punta o el borrador, por lo que el radio al eje de rotaciónessu longitud):
I = \ frac {1} {3} mr ^ 2 = \ frac {1} {3} m (0.1) ^ 2 = 0.003333m
Cuanto mayor sea el momento de inercia de un objeto, más difícil será iniciar (o detener) su rotación.Dado que cada valor se multiplica por el mismometro, cuanto mayor sea el valor de la fracción multiplicada por r2, mayor será el momento de inercia. En este caso 0.0033333> 0.0002083> 0.0000045, por lo que esmás difícil de girar un lápiz sobre su extremoque alrededor de los otros dos ejes.
3. ¿Qué objeto llegará primero al fondo de una rampa si todos tienen la misma masa y radio y se liberan desde arriba al mismo tiempo: un aro, un cilindro o una esfera sólida? Ignore la fricción.
La clave para responder a este problema es aplicar una comprensión deConservacion de energia. Si todos los objetos tienen la misma masa y comienzan a la misma altura, deben comenzar con la misma cantidad deEnergía potencial gravitacional. Este es elenergía totaltienen disponible para convertir en energía cinética y bajar por la rampa.
Debido a que los objetos rodarán por la rampa, deben convertir su energía potencial inicial en ambosenergías cinéticas rotacionales y lineales.
Aquí está el truco: cuanta más energía de ese pastel total lleva el objeto aempezar a girar, menos tendrá disponible paramovimiento lineal. Eso significaCuanto más fácil sea hacer rodar un objeto, más rápido se moverá linealmente por la rampa, ganando la carrera.
Entonces, debido a que todas las masas y radios son iguales, simplemente comparar las fracciones frente a cada ecuación de momento de inercia revela la respuesta:
Esfera sólida: Yo =2/5señor2
Aro sobre un eje: Yo = señor2
Cilindro macizo sobre su longitud: Yo =1/2señor2
De menor a mayor momento de inercia, y por lo tantoprimero a último en llegar al fondo: esfera, cilindro, aro.