Distribución de Maxwell-Boltzmann: función, derivación y ejemplos

Describir lo que está sucediendo con partículas muy pequeñas es un desafío en física. No solo es difícil trabajar con su tamaño, sino que en la mayoría de las aplicaciones cotidianas no se trata de una sola partícula, sino de innumerables muchas de ellas que interactúan entre sí.

Dentro de un sólido, las partículas no se mueven entre sí, sino que están prácticamente pegadas en su lugar. Sin embargo, los sólidos pueden expandirse y contraerse con las variaciones de temperatura y, en ocasiones, incluso sufrir cambios interesantes en estructuras cristalinas en determinadas situaciones.

En los líquidos, las partículas pueden moverse libremente unas sobre otras. Sin embargo, los científicos no tienden a estudiar los fluidos al tratar de realizar un seguimiento de lo que está haciendo cada molécula individual. En su lugar, miran propiedades más amplias del conjunto, como la viscosidad, la densidad y la presión.

Al igual que con los líquidos, las partículas dentro de un gas también pueden moverse libremente unas sobre otras. De hecho, los gases pueden sufrir cambios drásticos de volumen debido a las diferencias de temperatura y presión.

Una vez más, no tiene sentido estudiar un gas haciendo un seguimiento de lo que está haciendo cada molécula de gas individual, incluso en equilibrio térmico. No sería factible, sobre todo si se tiene en cuenta que incluso en el espacio de un vaso vacío hay alrededor de 10²² Moléculas de aire. Ni siquiera hay una computadora lo suficientemente poderosa para ejecutar una simulación de tantas moléculas en interacción. En cambio, los científicos utilizan propiedades macroscópicas como la presión, el volumen y la temperatura para estudiar los gases y hacer predicciones precisas.

El tipo de gas que es más fácil de analizar es un gas ideal. Es ideal porque permite ciertas simplificaciones que hacen que la física sea mucho más fácil de entender. Muchos gases a temperaturas y presiones estándar actúan aproximadamente como gases ideales, lo que hace que su estudio también sea útil.

En un gas ideal, se supone que las propias moléculas de gas chocan en colisiones perfectamente elásticas, por lo que no es necesario preocuparse por el cambio de forma de energía como resultado de tales colisiones. También se supone que las moléculas están muy separadas entre sí, lo que esencialmente significa no tienes que preocuparte de que luchen entre ellos por el espacio y puedes tratarlos como un punto partículas. Los gases ideales tampoco son ni demasiado calientes ni demasiado fríos, por lo que no necesita preocuparse por efectos como la ionización o los efectos cuánticos.

A partir de aquí, las partículas de gas se pueden tratar como pequeñas partículas puntuales que rebotan dentro de su contenedor. Pero incluso con esta simplificación, todavía no es posible comprender los gases mediante el seguimiento de lo que hace cada partícula individual. Sin embargo, permite a los científicos desarrollar modelos matemáticos que describen las relaciones entre cantidades macroscópicas.

La ley de los gases ideales relaciona la presión, el volumen y la temperatura de un gas ideal. La presiónPAGde un gas es la fuerza por unidad de área que ejerce sobre las paredes del recipiente en el que se encuentra. La unidad SI de presión es el pascal (Pa) donde 1Pa = 1N / m². El volumenVdel gas es la cantidad de espacio que ocupa en unidades SI de m³. Y la temperaturaTdel gas es una medida de la energía cinética promedio por molécula, medida en unidades SI de Kelvin.

La ecuación que describe la ley de los gases ideales se puede escribir de la siguiente manera:

Dóndenortees el número de moléculas o el número de partículas y la constante de Boltzmannk​ = 1.38064852×10^-23 kgm²/s²K.

Una formulación equivalente de esta ley es:

Dóndenortees el número de moles y la constante universal de los gasesR= 8,3145 J / molK.

Estas dos expresiones son equivalentes. El que elija usar simplemente depende de si está midiendo el recuento de moléculas en moles o en el número de moléculas.

• 1 mol = 6.022 × 10²³ moléculas, que es el número de Avogadro.

Una vez que un gas se ha aproximado como ideal, puede hacer una simplificación adicional. Es decir, en lugar de considerar la física exacta de cada molécula, lo que sería imposible debido a su gran número, se las trata como si sus movimientos fueran aleatorios. Debido a esto, se pueden aplicar estadísticas para comprender lo que está sucediendo.

En el siglo XIX, los físicos James Clerk Maxwell y Ludwig Boltzmann desarrollaron la teoría cinética de los gases basándose en las simplificaciones descritas.

Clásicamente, a cada molécula de un gas se le puede atribuir una energía cinética de la forma:

Sin embargo, no todas las moléculas del gas tienen la misma energía cinética porque chocan constantemente. La distribución exacta de las energías cinéticas de las moléculas viene dada por la distribución de Maxwell-Boltzmann.

Las estadísticas de Maxwell-Boltzmann describen la distribución de moléculas de gas ideal en varios estados de energía. La función que describe esta distribución es la siguiente:

DóndeAes una constante de normalización,mies energía,kes la constante de Boltzmann yTes la temperatura.

Otras suposiciones hechas para obtener esta función son que, debido a su naturaleza de partícula puntual, no hay límite de cuántas partículas pueden ocupar un estado dado. Además, la distribución de partículas entre estados de energía toma necesariamente la distribución más probable (con mayor cantidad de partículas, las probabilidades de que el gas no se acerque a esta distribución se vuelven cada vez más pequeña). Y finalmente, todos los estados energéticos son igualmente probables.

Estas estadísticas funcionan porque es extremadamente improbable que una partícula determinada pueda terminar con una energía significativamente superior al promedio. Si lo hiciera, dejaría muchas menos formas de distribuir el resto de la energía total. Todo se reduce a un juego de números: como hay muchos más estados de energía que no tienen una partícula muy por encima del promedio, la probabilidad de que el sistema esté en ese estado es extremadamente pequeña.

Sin embargo, las energías más bajas que el promedio son más probables, nuevamente debido a cómo se desarrollan las probabilidades. Dado que todo movimiento se considera aleatorio y hay un mayor número de formas en que una partícula puede terminar en un estado de baja energía, estos estados se ven favorecidos.

La distribución de Maxwell-Boltzmann es la distribución de las velocidades de las partículas de gas ideal. Esta función de distribución de velocidad puede derivarse de las estadísticas de Maxwell-Boltzmann y usarse para derivar relaciones entre presión, volumen y temperatura.

La distribución de la velocidadvviene dada por la siguiente fórmula:

Dóndemetroes la masa de una molécula.

La curva de distribución asociada, con la función de distribución de velocidad en ely-eje y la velocidad molecular en elX-eje, se parece más o menos a una curva normal asimétrica con una cola más larga a la derecha. Tiene un valor pico a la velocidad más probable.v_pag, y una velocidad media dada por:

Tenga en cuenta también cómo tiene una cola larga y estrecha. La curva cambia ligeramente a diferentes temperaturas, y la cola larga se vuelve "más gruesa" a temperaturas más altas.

Usa la relación:

Dóndemi_{En t}es la energía interna,KE​_{​promedio​} es la energía cinética promedio por molécula de la distribución de Maxwell-Boltzmann. Junto con la ley de los gases ideales, es posible obtener una relación entre la presión y el volumen en términos de movimiento molecular: