El cálculo de la trayectoria de una bala sirve como una introducción útil a algunos conceptos clave de la física clásica, pero también tiene mucho margen para incluir factores más complejos. En el nivel más básico, la trayectoria de una bala funciona como la trayectoria de cualquier otro proyectil. La clave es separar los componentes de la velocidad en los ejes (x) e (y) y usar la aceleración constante debida a la gravedad para calcular qué tan lejos puede volar la bala antes de golpear el suelo. Sin embargo, también puede incorporar arrastre y otros factores si desea una respuesta más precisa.
Ignore la resistencia del viento para calcular la distancia recorrida por una bala usando la fórmula simple:
x = v_ {0x} \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
Donde (v0x) es su velocidad inicial, (h) es la altura desde la que se dispara y (g) es la aceleración debida a la gravedad.
Esta fórmula incorpora arrastre:
x = v_ {0x} t- \ frac {C \ rho A v ^ 2t ^ 2} {2m}
Aquí, (C) es el coeficiente de arrastre de la bala, (ρ) es la densidad del aire, (A) es el área de la bala, (t) es el tiempo de vuelo y (m) es la masa de la bala.
El trasfondo: componentes (x) e (y) de la velocidad
El punto principal que debe comprender al calcular las trayectorias es que las velocidades, las fuerzas o cualquier otro "vector" (que tiene una dirección y una fuerza) pueden ser dividir en "componentes". Si algo se mueve en un ángulo de 45 grados con respecto a la horizontal, piense que se mueve horizontalmente con una cierta velocidad y verticalmente con una cierta velocidad. velocidad. La combinación de estas dos velocidades y teniendo en cuenta sus diferentes direcciones le da la velocidad del objeto, incluida la velocidad y la dirección resultante.
Utilice las funciones cos y sin para separar fuerzas o velocidades en sus componentes. Si algo se mueve a una velocidad de 10 metros por segundo en un ángulo de 30 grados con la horizontal, el componente x de la velocidad es:
v_x = v \ cos {\ theta} = (10 \ text {m / s}) \ cos {30} = 8.66 \ text {m / s}
Donde (v) es la velocidad (es decir, 10 metros por segundo), y puede colocar cualquier ángulo en el lugar de (θ) para adaptarse a su problema. El componente (y) viene dado por una expresión similar:
v_y = v \ sin {\ theta} = (10 \ text {m / s}) \ sin {30} = 5 \ text {m / s}
Estos dos componentes forman la velocidad original.
Trayectorias básicas con las ecuaciones de aceleración constante
La clave para la mayoría de los problemas que involucran trayectorias es que el proyectil deja de moverse hacia adelante cuando golpea el piso. Si la bala se dispara desde 1 metro en el aire, cuando la aceleración debida a la gravedad la hace descender 1 metro, no puede viajar más. Esto significa que el componente y es lo más importante a considerar.
La ecuación para el desplazamiento del componente y es:
y = v_ {0y} t- \ frac {1} {2} gt ^ 2
El subíndice "0" significa la velocidad inicial en la dirección (y), (t) significa tiempo y (g) significa la aceleración debida a la gravedad, que es de 9,8 m / s2. Podemos simplificar esto si la bala se dispara perfectamente horizontalmente, por lo que no tiene una velocidad en la dirección (y). Esto deja:
y = - \ frac {1} {2} gt ^ 2
En esta ecuación, (y) significa el desplazamiento desde la posición inicial, y queremos saber cuánto tiempo tarda la bala en caer desde su altura inicial (h). En otras palabras, queremos
y = -h = - \ frac {1} {2} gt ^ 2
Que reorganiza para:
t = \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
Este es el momento de la huida de la bala. Su velocidad de avance determina la distancia que recorre, y esta viene dada por:
x = v_ {0x} t
Donde la velocidad es la velocidad a la que deja el arma. Esto ignora los efectos del arrastre para simplificar las matemáticas. Usando la ecuación para (t) encontrada hace un momento, la distancia recorrida es:
x = v_ {0x} \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
Para una bala que dispara a 400 m / sy se dispara desde 1 metro de altura, esto da:
x = (400 \ text {m / s}) \ sqrt {\ frac {2 (1 \ text {m})} {9.8 \ text {m / s} ^ 2}} = 180.8 \ text {m}
Entonces, la bala viaja unos 181 metros antes de golpear el suelo.
Incorporación de arrastre
Para obtener una respuesta más realista, incorpore arrastre en las ecuaciones anteriores. Esto complica un poco las cosas, pero puede calcularlo con bastante facilidad si encuentra los bits de información necesarios sobre su bala y la temperatura y presión donde se dispara. La ecuación de la fuerza debida al arrastre es:
F_ {arrastrar} = \ frac {-C \ rho Av ^ 2} {2}
Aquí (C) representa el coeficiente de arrastre de la bala (puede averiguarlo para una bala específica, o usar C = 0.295 como figura general), ρ es la densidad del aire (aproximadamente 1,2 kg / metro cúbico a presión y temperatura normales), (A) es el área de la sección transversal de una bala (puede calcular esto para una bala específica o simplemente usar A = 4,8 × 10−5 metro2, el valor para un calibre .308) y (v) es la velocidad de la bala. Finalmente, usa la masa de la bala para convertir esta fuerza en una aceleración para usar en la ecuación, que puede tomarse como m = 0.016 kg a menos que tenga una bala específica en mente.
Esto da una expresión más complicada para la distancia recorrida en la dirección (x):
x = v_ {0x} t- \ frac {C \ rho A v ^ 2t ^ 2} {2m}
Esto es complicado porque técnicamente, la resistencia reduce la velocidad, lo que a su vez reduce la resistencia, pero puede simplificar las cosas simplemente calculando la resistencia en función de la velocidad inicial de 400 m / s. Usando un tiempo de vuelo de 0.452 s (como antes), esto da:
x = (400 \ text {m / s}) (0.452 \ text {s}) - \ frac {(0.295) (1.2 \ text {kg / m} ^ 3) (4.8 \ times10 ^ {- 5} \ text {m} ^ 2) (400 \ text {m / s}) ^ 2 (0.452 \ text { s}) ^ 2} {2 (0.016 \ text {kg})} \\ = 180.8 \ text {m} - \ frac {0.555 \ text {kgm}} {0.032 \ text {kg}} \\ = 180.8 \ texto {m} -17.3 \ text {m} \\ = 163.5 \ text { metro}
Entonces, la adición de resistencia cambia la estimación en unos 17 metros.