Cómo encontrar dy / dx por diferenciación implícita dada una ecuación similar a y = sin (xy)

La diferenciación implícita es una técnica que se utiliza para determinar la derivada de una función en la forma y = f (x).

Para aprender a usar la diferenciación implícita, podemos usar el método en un ejemplo simple y luego explorar algunos casos más complejos.

Si bien suena más complicado, la diferenciación implícita utiliza las mismas matemáticas y habilidades como diferenciación básica. Sin embargo, lo importante a tener en cuenta es que nuestra variable dependiente ahora aparece en la función misma.

Tome una ecuación simple como xy = 1. Hay dos formas de encontrar la derivada de y con respecto a Xo dy / dx. Primero, simplemente podemos resolver y en la ecuación y use la regla de la potencia para las derivadas. Hacer esto produciría: y = 1 / x. La aplicación de la regla de la potencia revelaría, por tanto, que dy / dx = -1 / x².

También podemos resolver este problema mediante la diferenciación implícita. Afortunadamente, ya conocemos la respuesta (debería ser la misma independientemente de cómo la calculemos), ¡así que podemos verificar nuestro trabajo!

Para comenzar, aplique la derivada a ambos lados de la ecuación xy = 1. Entonces, d / dx (xy) = d / dx (1); claramente, el lado derecho ahora es igual a 0, pero el lado izquierdo requiere la regla de la cadena. Esto se debe a que estamos tomando la derivada de nuestra función, y, mientras se multiplica por otro factor de X. Para calcular esto: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Usaremos la notación prima para indicar una derivada con respecto a X.

Al reescribir nuestra ecuación se obtiene: y + xy '= 0. Es hora de resolver y ' en nuestra ecuación! Claramente, y '= -y / x. Pero usando la información original, sabemos que y = 1 / x, por lo que podemos volver a sustituirlo. Una vez que hacemos eso, vemos que y '= -1 / x², tal como lo encontramos antes.

Para determinar la derivada de y = sin (xy), usaremos la diferenciación implícita recordando que (d / dx) y = y '.

Primero, aplique la derivada a ambos lados de la ecuación: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). El lado izquierdo de la ecuación es claramente y ', que es lo que necesitaremos resolver, pero el lado derecho requerirá algo de trabajo; específicamente, la regla de la cadena y la regla del producto. Primero, la regla de la cadena debe aplicarse a sin (xy), y luego la regla del producto para el argumento xy. Afortunadamente, ya calculamos esta regla de producto.

Luego, simplificando esto da: y '= cos (xy) (y + xy').

Claramente, esta ecuación debe resolverse para y ' para determinar cómo y ' está relacionado con X y y.

Aislar todos los términos con y ' en un lado: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).

Luego, factoriza el y ' para obtener: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Ahora vemos que y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).

Puede ser necesaria una mayor simplificación, pero debido a que nuestra función se define de forma recursiva, es probable que insertar y = sin (xy) no produzca una solución satisfactoria. En este caso, puede ser útil más información o un método más sofisticado para trazar estas ecuaciones.

Primero, recuerde que la diferenciación implícita se basa en que una de las variables sea función de la otra. Comúnmente, vemos funciones como y = f (x), pero se podría escribir una función x = f (y). Tenga cuidado al abordar estos problemas para determinar qué variable depende de la otra.

A continuación, recuerde aplicar cuidadosamente las reglas de las derivadas. La diferenciación implícita requerirá la regla de la cadena muy a menudo, así como la regla del producto y la regla del cociente. La correcta aplicación de estos métodos será fundamental para determinar la respuesta final.

Finalmente, resuelva la derivada deseada aislándola y simplificando las expresiones tanto como sea posible.