Κέντρο μάζας: Ορισμός, εξίσωση, τρόπος εύρεσης (με παραδείγματα)

Έχετε δει ποτέ ένα από αυτά τα πουλιά παιχνιδιού που μπορεί να ισορροπήσει στο δάχτυλό σας με το ράμφος του χωρίς να ανατραπεί, σαν μαγεία; Δεν είναι μαγικό που επιτρέπει στο πουλί να ισορροπεί καθόλου, αλλά η απλή φυσική που σχετίζεται με το κέντρο μάζας.

Η κατανόηση της φυσικής πίσω από το κέντρο της μάζας σας επιτρέπει όχι μόνο να κατανοήσετε τη διατήρηση της ορμής και άλλα σχετικά φυσική, αλλά μπορεί επίσης να ενημερώσει τη σταθερότητα και τη δυναμική στα αθλήματα που παίζετε, καθώς και να σας επιτρέψει να κάνετε κάποια δημιουργική εξισορρόπηση πράξεις.

Ένα αντικείμενο είναικέντρο μάζας, μερικές φορές ονομάζεται επίσης κέντρο βαρύτητας, μπορεί να θεωρηθεί ως το σημείο όπου η συνολική μάζα ενός αντικειμένου ή ενός συστήματος μπορεί να αντιμετωπιστεί ως σημείο μάζας. Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι εξωτερικές δυνάμεις μπορούν να αντιμετωπίζονται σαν να δρουν στο κέντρο μάζας του αντικειμένου.

Για την εξισορρόπηση του πουλιού παιχνιδιού στο δάχτυλό σας, το κέντρο της μάζας βρίσκεται στο ράμφος του. Αυτό μπορεί να φαίνεται λανθασμένο στην αρχή, γι 'αυτό η πράξη εξισορρόπησης φαίνεται μαγική. Πράγματι, για ένα πουλί που κάθεται σε ένα κλαδί, το κέντρο μάζας του βρίσκεται κάπου στο σώμα του. Αλλά το παιχνίδι πουλιών εξισορρόπησης έχει συχνά σταθμισμένα φτερά που εκτείνονται προς τα έξω και προς τα εμπρός, με αποτέλεσμα να ισορροπεί διαφορετικά.

Το κέντρο μάζας μπορεί να προσδιοριστεί για ένα μόνο αντικείμενο - όπως το πουλί εξισορρόπησης - ή μπορεί να υπολογιστεί για ένα σύστημα πολλών αντικειμένων, όπως θα δείτε σε μια μεταγενέστερη ενότητα.

Θα υπάρχει πάντα ένα μόνο σημείο σε ένα άκαμπτο σώμα που είναι η τοποθεσία του κέντρου μάζας αυτού του σώματος. Η θέση του κέντρου μάζας ενός αντικειμένου εξαρτάται από την κατανομή της μάζας.

Εάν ένα αντικείμενο έχει ομοιόμορφη πυκνότητα, το κέντρο μάζας του είναι πιο εύκολο να προσδιοριστεί. Για παράδειγμα, σε έναν κύκλο ομοιόμορφης πυκνότητας, το κέντρο μάζας είναι το κέντρο του κύκλου. (Αυτό δεν θα συνέβαινε, ωστόσο, εάν ο κύκλος ήταν πυκνότερος από τη μία πλευρά από την άλλη).

Στην πραγματικότητα, το κέντρο μάζας θα βρίσκεται πάντα στο γεωμετρικό κέντρο του αντικειμένου όταν η πυκνότητα είναι ομοιόμορφη. (Αυτό το γεωμετρικό κέντρο ονομάζεταικεντροειδές​.)

Εάν η πυκνότητα δεν είναι ομοιόμορφη, υπάρχουν άλλοι τρόποι προσδιορισμού του κέντρου μάζας. Ορισμένες από αυτές τις μεθόδους περιλαμβάνουν τη χρήση λογισμού, η οποία είναι πέρα ​​από το πεδίο εφαρμογής αυτού του άρθρου. Αλλά ένας απλός τρόπος για να προσδιορίσετε το κέντρο μάζας ενός άκαμπτου αντικειμένου είναι απλά να προσπαθήσετε να το ισορροπήσετε στο δάχτυλό σας. Το κέντρο μάζας θα βρίσκεται στο σημείο εξισορρόπησης.

Μια άλλη μέθοδος, χρήσιμη για επίπεδα αντικείμενα, είναι η εξής:

• Αιωρήστε το σχήμα από ένα άκρο, μαζί με μια υδραυλική γραμμή.
• Σχεδιάστε μια γραμμή στο σχήμα που ευθυγραμμίζεται με την υδραυλική γραμμή.
• Αιωρήστε το σχήμα από διαφορετικό άκρο μαζί με μια υδραυλική γραμμή.
• Σχεδιάστε μια γραμμή στο σχήμα που ευθυγραμμίζεται με τη νέα υδραυλική γραμμή.
• Οι δύο γραμμές που σχεδιάστηκαν πρέπει να τέμνονται σε ένα μόνο σημείο.
• Αυτό το μοναδικό σημείο τομής είναι η τοποθεσία του κέντρου μάζας.

Ωστόσο, για ορισμένα αντικείμενα, είναι πιθανό το σημείο ισορροπίας να βρίσκεται εκτός των ορίων του ίδιου του αντικειμένου. Σκεφτείτε για παράδειγμα ένα δαχτυλίδι. Το κέντρο μάζας για σχήμα δακτυλίου βρίσκεται στο κέντρο, όπου δεν υπάρχει καθόλου μέρος του δακτυλίου.

Η θέση του κέντρου μάζας για ένα σύστημα σωματιδίων μπορεί να θεωρηθεί ως η μέση θέση μάζας τους.

Η ίδια ιδέα μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για ένα άκαμπτο αντικείμενο, αν φαντάζεστε ότι αυτό το σύστημα σωματιδίων συνδέεται όλα με άκαμπτο, μαζικό επίπεδο. Το κέντρο μάζας θα ήταν τότε το σημείο ισορροπίας αυτού του συστήματος.

Για τον προσδιορισμό του κέντρου μάζας ενός συστήματος σωματιδίων μαθηματικά, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο ακόλουθος απλός τύπος:

ΟπουΜείναι η συνολική μάζα του συστήματος,Μ_Εγώείναι οι μεμονωμένες μάζες καιρ_Εγώείναι οι φορείς θέσης τους.

Σε μία διάσταση (για μάζες κατανεμημένες σε ευθεία γραμμή) μπορείτε να αντικαταστήσετερμεΧ​.

Σε δύο διαστάσεις, μπορείτε να βρείτε τοΧ-συντεταγμένο καιε-συντεταγμένη του κέντρου μάζας ξεχωριστά ως:

​Παράδειγμα 1:Βρείτε τις συντεταγμένες του κέντρου μάζας του ακόλουθου συστήματος σωματιδίων: σωματίδιο μάζας 0,1 kg βρίσκεται στο (1, 2), το σωματίδιο μάζας 0,05 kg βρίσκεται στο (2, 4) και το σωματίδιο μάζας 0,075 kg βρίσκεται στο (2, 1).

​Λύση 1:Εφαρμόστε τον τύπο για τοΧ-συντεταγμένη του κέντρου μάζας ως εξής:

Στη συνέχεια, εφαρμόστε τον τύπο για τοε-συντεταγμένη του κέντρου μάζας ως εξής:

Έτσι, η θέση του κέντρου μάζας είναι (0,079, 2,11).

​Παράδειγμα 2:Βρείτε τη θέση του κέντρου μάζας ενός ισόπλευρου τριγώνου ομοιόμορφης πυκνότητας του οποίου οι κορυφές βρίσκονται στα σημεία (0, 0), (1, 0) και (1/2, √3 / 2).

​Λύση 2:Πρέπει να βρείτε το γεωμετρικό κέντρο αυτού του ισόπλευρου τριγώνου με πλευρικό μήκος 1. οΧ-Η συντεταγμένη του γεωμετρικού κέντρου είναι απλή - είναι απλά 1/2.

οε-Ο συντεταγμένος είναι λίγο πιο δύσκολος. Θα συμβεί στη θέση ότι μια γραμμή από την κορυφή του τριγώνου έως το σημείο (0, 1/2) τέμνει με μια γραμμή από οποιαδήποτε από τις άλλες κορυφές έως το μεσαίο σημείο μιας από την αντίθετη πλευρά. Εάν σχεδιάσετε μια τέτοια διάταξη, θα βρεθείτε με ένα 30-60-90 δεξί τρίγωνο του οποίου το μακρύ πόδι είναι 0,5 και το κοντό πόδι είναι τοε-συντεταγμένη. Η σχέση μεταξύ αυτών των πλευρών είναι √3y = 1/2, επομένως y = √3 / 6, και οι συντεταγμένες του κέντρου μάζας είναι (1/2, √3 / 6).

Η θέση του κέντρου μάζας ενός αντικειμένου ή συστήματος αντικειμένων μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως σημείο αναφοράς σε πολλούς υπολογισμούς φυσικής.

Όταν εργάζεστε με ένα σύστημα αλληλεπιδρώντων σωματιδίων, για παράδειγμα, η εύρεση του κέντρου μάζας του συστήματος επιτρέπει την κατανόηση της γραμμικής ορμής. Όταν διατηρείται η γραμμική ορμή, το κέντρο μάζας του συστήματος θα κινείται με σταθερή ταχύτητα ακόμα και όταν τα ίδια τα αντικείμενα αναπηδούν το ένα από το άλλο.

Για ένα άκαμπτο αντικείμενο που πέφτει, η βαρύτητα μπορεί να θεωρηθεί ότι ενεργεί στο κέντρο μάζας του αντικειμένου, ακόμη και αν το αντικείμενο περιστρέφεται.

Το ίδιο ισχύει και για τα βλήματα. Φανταστείτε να πετάτε ένα σφυρί και καθώς πετάει μέσα από ένα τόξο στον αέρα, περιστρέφεται από άκρο σε άκρο. Αυτό μπορεί να μοιάζει πολύπλοκη με την κίνηση του μοντέλου στην αρχή, αλλά αποδεικνύεται ότι το κέντρο μάζας του σφυριού κινείται σε μια ωραία ομαλή παραβολική διαδρομή.

Μπορεί να εκτελεστεί ένα απλό πείραμα που το αποδεικνύει πατώντας ένα μικρό κομμάτι ταινίας λάμψης στο κέντρο μάζας του σφυριού και στη συνέχεια πετώντας το σφυρί όπως περιγράφεται σε ένα σκοτεινό δωμάτιο. Η ταινία λάμψης θα φαίνεται να κινείται σε ομαλό τόξο, σαν μια πεταμένη μπάλα.

Ένα διασκεδαστικό πείραμα κέντρου μάζας που μπορείτε να εκτελέσετε στο σπίτι περιλαμβάνει τη χρήση μιας απλής τεχνικής για την εύρεση του κέντρου μάζας μιας σκούπας. Το μόνο που χρειάζεστε για αυτό το πείραμα είναι μια σκούπα και δύο χέρια.

Με τα χέρια σας σχετικά μακριά, κρατήστε ψηλά τη σκούπα στο τέλος των δύο δακτύλων δείκτη. Στη συνέχεια, φέρτε αργά τα χέρια σας πιο κοντά, σύροντάς τα κάτω από τη σκούπα. Καθώς κινείστε τα χέρια σας πιο κοντά, μπορεί να παρατηρήσετε ότι το ένα χέρι θέλει να γλιστρήσει κατά μήκος της κάτω λαβής της σκούπας, ενώ το άλλο παραμένει για λίγο πριν γλιστρήσετε.

Όλη την ώρα που κινούνται τα χέρια σας, η σκούπα παραμένει ισορροπημένη Τελικά, όταν τα δύο χέρια σας συναντηθούν, θα συναντηθούν στη θέση του κέντρου μάζας της σκούπας.

Το κέντρο μάζας του ανθρώπινου σώματος βρίσκεται κάπου κοντά στον ομφαλό (κοιλιά). Στους άνδρες, το κέντρο μάζας τείνει να είναι λίγο υψηλότερο αφού φέρουν περισσότερη μάζα σώματος στο άνω σώμα τους, και στις γυναίκες, το κέντρο μάζας είναι χαμηλότερο επειδή φέρουν περισσότερη μάζα στους γοφούς τους.

Εάν στέκεστε με το ένα πόδι, το κέντρο μάζας σας θα μετακινηθεί προς την πλευρά του ποδιού στο οποίο στέκεστε. Μπορεί να παρατηρήσετε τον εαυτό σας να κλίνει περισσότερο προς αυτή την πλευρά. Αυτό συμβαίνει επειδή για να παραμείνετε ισορροπημένοι, το κέντρο μάζας σας πρέπει να παραμείνει πάνω από το πόδι στο οποίο εξισορροπείτε, διαφορετικά θα αναποδογυρίσετε.

Εάν στέκεστε με το ένα πόδι και το ισχίο σε έναν τοίχο και προσπαθείτε να σηκώσετε το άλλο πόδι σας, πιθανότατα θα το βρείτε αδύνατο, επειδή ο τοίχος εμποδίζει το βάρος σας να μετατοπιστεί πάνω από το πόδι ισορροπίας.

Ένα άλλο πράγμα που πρέπει να δοκιμάσετε είναι να στέκεστε με την πλάτη σας στον τοίχο και τα τακούνια σας να αγγίζουν τον τοίχο. Στη συνέχεια, προσπαθήστε να λυγίσετε προς τα εμπρός και να αγγίξετε το πάτωμα χωρίς να λυγίσετε τα πόδια σας. Οι γυναίκες μπορεί να είναι πιο επιτυχημένες σε αυτό το έργο από τους άνδρες, επειδή το κέντρο μάζας τους είναι χαμηλότερο στο σώμα τους και μπορεί να καταλήξουν να είναι ακόμη πάνω από τα δάχτυλα των ποδιών τους καθώς κλίνουν προς τα εμπρός.

Η θέση του κέντρου μάζας σε σχέση με τη βάση ενός αντικειμένου καθορίζει τη σταθερότητά του. Κάτι θεωρείται σταθερά ισορροπημένο εάν, όταν ανασηκωθεί ελαφρώς και στη συνέχεια απελευθερωθεί, επιστρέφει στη συνέχεια στην αρχική του θέση αντί να ανατραπεί περισσότερο και να πέσει.

Σκεφτείτε ένα τρισδιάστατο σχήμα πυραμίδας. Αν είναι ισορροπημένο στη βάση του, είναι σταθερό. Εάν σηκώσετε ελαφρώς το ένα άκρο και το αφήσετε, πέφτει προς τα κάτω. Αλλά αν προσπαθήσετε να ισορροπήσετε την πυραμίδα στην άκρη της, τότε τυχόν αποκλίσεις από την τέλεια ισορροπία θα την ανατρέψουν.

Μπορείτε να προσδιορίσετε εάν ένα αντικείμενο θα επιστρέψει στην αρχική του θέση ή αναποδογυριστεί κοιτάζοντας τη θέση του κέντρου μάζας σε σχέση με τη βάση. Μόλις το κέντρο μάζας κινείται πέρα ​​από τη βάση, το αντικείμενο θα αναποδογυριστεί.

Εάν παίζετε σπορ, ίσως να είστε εξοικειωμένοι με την έτοιμη θέση όπου στέκεστε με μια ευρεία στάση και λυγισμένα τα γόνατα. Αυτό διατηρεί το κέντρο μάζας σας χαμηλό και η ευρεία βάση σας κάνει πιο σταθερούς. Σκεφτείτε πόσο δύσκολο θα έπρεπε κάποιος να σας ωθήσει για να σας ενημερώσει εάν είστε σε έτοιμη θέση εναντίον όταν στέκεστε ίσια με τα πόδια σας μαζί.

Ορισμένα αυτοκίνητα έχουν προβλήματα με την ανατροπή όταν παίρνουν απότομες στροφές. Αυτό οφείλεται στην τοποθεσία του κέντρου μάζας τους. Εάν το κέντρο μάζας ενός οχήματος είναι πολύ υψηλό και η βάση δεν είναι αρκετά φαρδιά, τότε δεν χρειάζεται πολύ για να ανατραπεί. Είναι πάντα καλύτερο για τη σταθερότητα ενός οχήματος να έχει το μεγαλύτερο μέρος του βάρους όσο το δυνατόν χαμηλότερο.