Προβολική κίνησηαναφέρεται στην κίνηση ενός σωματιδίου που μεταδίδεται με μια αρχική ταχύτητα αλλά στη συνέχεια δεν υπόκειται σε δυνάμεις πέραν της βαρύτητας.
Αυτό περιλαμβάνει προβλήματα στα οποία ένα σωματίδιο ρίχνεται υπό γωνία μεταξύ 0 και 90 μοιρών προς την οριζόντια, με τον οριζόντιο να είναι συνήθως το έδαφος. Για ευκολία, αυτά τα βλήματα υποτίθεται ότι ταξιδεύουν στο (x, ε) αεροπλάνο, μεΧπου αντιπροσωπεύει οριζόντια μετατόπιση καιεκάθετη μετατόπιση.
Η διαδρομή που ακολουθεί ένα βλήμα αναφέρεται ωςτροχιά. (Σημειώστε ότι ο κοινός σύνδεσμος στο "βλήμα" και "τροχιά" είναι η συλλαβή "-ject", η λατινική λέξη για "ρίξτε". Το να εκτοξεύσετε κάποιον είναι κυριολεκτικά να τον πετάξετε.) Το σημείο προέλευσης του βλήματος σε προβλήματα στα οποία πρέπει να υπολογίσετε την τροχιά θεωρείται συνήθως (0, 0) για απλότητα, εκτός εάν υπάρχει διαφορετική δηλωθείς.
Η τροχιά ενός βλήματος είναι μια παραβολή (ή τουλάχιστον ανιχνεύει ένα τμήμα μιας παραβολής) εάν το σωματίδιο εκτοξευτεί με τέτοιο τρόπο που να έχει μη μηδενικό στοιχείο οριζόντιας κίνησης και δεν υπάρχει αντίσταση στον αέρα για να επηρεάσει το σωματίδιο.
Οι Κινητικές Εξισώσεις
Οι μεταβλητές που ενδιαφέρουν στην κίνηση ενός σωματιδίου είναι οι συντεταγμένες θέσης τουΧκαιε, η ταχύτητά τουβ, και την επιτάχυνσή τουένα, όλα σε σχέση με ένα δεδομένο χρόνο που έχει παρέλθειταπό την έναρξη του προβλήματος (όταν το σωματίδιο εκτοξεύεται ή απελευθερώνεται). Σημειώστε ότι η παράλειψη μάζας (m) σημαίνει ότι η βαρύτητα στη Γη δρα ανεξάρτητα από αυτήν την ποσότητα.
Σημειώστε επίσης ότι αυτές οι εξισώσεις αγνοούν τον ρόλο της αντίστασης του αέρα, η οποία δημιουργεί μια αντίσταση κίνησης σε αντίσταση κίνησης σε πραγματικές συνθήκες της Γης. Αυτός ο παράγοντας εισάγεται σε μαθήματα μηχανικής υψηλότερου επιπέδου.
Οι μεταβλητές που δίνουν συνδρομή "0" αναφέρονται στην τιμή αυτής της ποσότητας τη στιγμήτ= 0 και είναι σταθερές Συχνά, αυτή η τιμή είναι 0 χάρη στο επιλεγμένο σύστημα συντεταγμένων και η εξίσωση γίνεται πολύ πιο απλή. Η επιτάχυνση αντιμετωπίζεται ως σταθερή σε αυτά τα προβλήματα (και είναι στην κατεύθυνση y και ισούται με -σολ,ή–9,8 m / s2, η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας κοντά στην επιφάνεια της Γης).
Οριζόντια κίνηση:
x = x_0 + v_xt
- Ο όρος
βΧείναι η σταθερή ταχύτητα x.
Κάθετη κίνηση:
y = y_0 + ((v_ {0y} + v_y) / 2) t \\ v_y = v_ {0y} -gt \\ y = y_0 + v_ {0y} t- (1/2) gt ^ 2 \\ v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2-2g (y-y_0)
Παραδείγματα κίνησης βλήματος
Το κλειδί για την επίλυση προβλημάτων που περιλαμβάνουν υπολογισμούς τροχιάς είναι να γνωρίζουμε ότι τα οριζόντια (x) και κάθετα (y) στοιχεία του Η κίνηση μπορεί να αναλυθεί ξεχωριστά, όπως φαίνεται παραπάνω, και οι αντίστοιχες συνεισφορές τους στη συνολική κίνηση αθροίζονται τακτοποιημένα στο τέλος του πρόβλημα.
Τα προβλήματα κίνησης βλήματος υπολογίζονται ως προβλήματα ελεύθερης πτώσης γιατί, ανεξάρτητα από το πώς φαίνονται τα πράγματα αμέσως μετά το χρόνοτ= 0, η μόνη δύναμη που δρα στο κινούμενο αντικείμενο είναι η βαρύτητα.
- Λάβετε υπόψη ότι επειδή η βαρύτητα δρα προς τα κάτω και θεωρείται αρνητική κατεύθυνση y, η τιμή της επιτάχυνσης είναι -g σε αυτές τις εξισώσεις και προβλήματα.
Υπολογισμοί τροχιάς
1. Οι γρηγορότεροι στάμνες του μπέιζμπολ μπορούν να ρίξουν μια μπάλα με ταχύτητα πάνω από 100 μίλια την ώρα, ή 45 m / s. Εάν μια μπάλα ρίχνεται κατακόρυφα προς τα πάνω με αυτή την ταχύτητα, πόσο ψηλή θα πάρει και πόσο καιρό θα πάρει για να επιστρέψει στο σημείο που απελευθερώθηκε;
Εδώβy0= 45 m / s, -σολ= –9,8 m / s, και οι ποσότητες ενδιαφέροντος είναι το απόλυτο ύψος, ήε,και ο συνολικός χρόνος πίσω στη Γη. Ο συνολικός χρόνος είναι υπολογισμός δύο μερών: χρόνος έως y και χρόνος πίσω σε y0 = 0. Για το πρώτο μέρος του προβλήματος,βε,όταν η μπάλα φτάσει στο μέγιστο ύψος της, είναι 0.
Ξεκινήστε χρησιμοποιώντας την εξίσωσηβε2= ν0y2 - 2g (ε - ε0)και συνδέοντας τις τιμές που έχετε:
0 = (45) ^ 2 - (2) (9,8) (y - 0) = 2,025 - 19,6y \ υποδηλώνει y = 103,3 \ κείμενο {m}
Η εξίσωσηβε = ν0y - gtδείχνει ότι ο χρόνος t που χρειάζεται είναι (45 / 9,8) = 4,6 δευτερόλεπτα. Για να λάβετε συνολικό χρόνο, προσθέστε αυτήν την τιμή στο χρόνο που χρειάζεται για να πέσει ελεύθερα η μπάλα στο σημείο εκκίνησης. Αυτό δίνεται απόy = ε0 + v0yt - (1/2) gt2, πού τώρα, επειδή η μπάλα είναι ακόμα αυτή τη στιγμή πριν αρχίσει να βυθίζεται,β0y = 0.
Επίλυση:
103.3 = (1/2) gt ^ 2 \ σημαίνει t = 4.59 \ text {s}
Έτσι ο συνολικός χρόνος είναι 4,59 + 4,59 = 9,18 δευτερόλεπτα. Το ίσως εκπληκτικό αποτέλεσμα ότι κάθε "σκέλος" του ταξιδιού, πάνω-κάτω, πήρε την ίδια στιγμή υπογραμμίζει το γεγονός ότι η βαρύτητα είναι η μόνη δύναμη που παίζει εδώ.
2. Η εξίσωση εύρους:Όταν ένα βλήμα εκτοξεύεται με ταχύτηταβ0και μια γωνία θ από την οριζόντια, έχει αρχικά οριζόντια και κατακόρυφα στοιχεία ταχύτηταςβ0x = β0(cos θ) καιβ0y = β0(αμαρτία θ).
Επειδήβε = ν0y - gt, καιβε = 0 όταν το βλήμα φτάσει στο μέγιστο ύψος του, ο χρόνος έως το μέγιστο ύψος δίνεται από t =β0y/g. Λόγω της συμμετρίας, ο χρόνος που θα χρειαστεί για να επιστρέψετε στο έδαφος (ή y = y0) είναι απλά 2t = 2β0y/σολ.
Τέλος, ο συνδυασμός αυτών με τη σχέση x =β0xt, η οριζόντια απόσταση που διανύθηκε δεδομένης της γωνίας εκτόξευσης θ
R = 2 \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {\ theta} \ cos {\ theta}} {g} = \ frac {v_0 ^ 2 \ sin {2 \ theta}} {g}
(Το τελευταίο βήμα προέρχεται από την τριγωνομετρική ταυτότητα 2 sinθ ⋅ cosθ = sin 2θ.)
Δεδομένου ότι το sin2θ είναι στη μέγιστη τιμή του 1 όταν θ = 45 μοίρες, η χρήση αυτής της γωνίας μεγιστοποιεί την οριζόντια απόσταση για μια δεδομένη ταχύτητα σε
R = \ frac {v_0 ^ 2} {g}