Αν σας αρέσουν τα μαθηματικά, θα λατρέψετε το τρίγωνο του Pascal. Το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό του 17ου αιώνα Blaise Pascal, και γνωστό στους Κινέζους για πολλούς αιώνες πριν από τον Pascal ως τρίγωνο Yanghui, είναι στην πραγματικότητα κάτι περισσότερο από περίεργο. Είναι μια συγκεκριμένη διάταξη αριθμών που είναι απίστευτα χρήσιμο στη θεωρία άλγεβρας και πιθανότητας. Μερικά από τα χαρακτηριστικά του είναι πιο αμηχανία και ενδιαφέροντα από ότι είναι χρήσιμα. Βοηθούν στην απεικόνιση της μυστηριώδους αρμονίας του κόσμου όπως περιγράφεται από τους αριθμούς και τα μαθηματικά.
Ο κανόνας για την κατασκευή του τριγώνου του Pascal δεν θα μπορούσε να είναι ευκολότερος. Ξεκινήστε με το νούμερο ένα στην κορυφή και σχηματίστε τη δεύτερη σειρά κάτω από αυτό με ένα ζευγάρι. Για να δημιουργήσετε την τρίτη και όλες τις επόμενες σειρές, ξεκινήστε βάζοντας μία στην αρχή και στο τέλος. Βγάλτε κάθε ψηφίο μεταξύ αυτού του ζεύγους προσθέτοντας τα δύο ψηφία ακριβώς πάνω από αυτό. Η τρίτη σειρά είναι συνεπώς 1, 2, 1, η τέταρτη σειρά είναι 1, 3, 3, 1, η πέμπτη σειρά είναι 1, 4, 6, 4, 1 και ούτω καθεξής. Εάν κάθε ψηφίο καταλαμβάνει ένα κουτί που έχει το ίδιο μέγεθος με όλα τα άλλα κουτιά, η διάταξη σχηματίζει τέλειο ισόπλευρο τρίγωνο οριοθετημένο στις δύο πλευρές από αυτά και με βάση ίσο σε μήκος με τον αριθμό της σειράς. Οι σειρές είναι συμμετρικές στο ότι διαβάζουν το ίδιο προς τα πίσω και προς τα εμπρός.
Ο Πασκάλ ανακάλυψε το τρίγωνο, το οποίο ήταν γνωστό για αιώνες στους Περσούς και τους Κινέζους φιλόσοφους, όταν μελετούσε την αλγεβρική επέκταση της έκφρασης (x + y)ν. Όταν επεκτείνετε αυτήν την έκφραση στο nth power, οι συντελεστές των όρων στην επέκταση αντιστοιχούν στους αριθμούς στην nth σειρά του τριγώνου. Για παράδειγμα, (x + y)0 = 1; (x + ε)1 = x + γ; (x + ε)2 = x2 + 2xy + ε2 και ούτω καθεξής. Για αυτό το λόγο, οι μαθηματικοί μερικές φορές αποκαλούν τη διάταξη το τρίγωνο των διωνυμικών συντελεστών. Για μεγάλους αριθμούς n, είναι προφανώς πιο εύκολο να διαβάσετε τους συντελεστές επέκτασης από το τρίγωνο από ό, τι είναι να τους υπολογίσετε.
Ας υποθέσουμε ότι πετάς ένα κέρμα ορισμένες φορές. Πόσους συνδυασμούς κεφαλών και ουρών μπορείτε να πάρετε; Μπορείτε να μάθετε κοιτάζοντας τη σειρά στο τρίγωνο του Pascal που αντιστοιχεί στον αριθμό των φορών που πετάτε το νόμισμα και προσθέτοντας όλους τους αριθμούς σε αυτήν τη σειρά. Για παράδειγμα, αν πετάξετε το νόμισμα 3 φορές, υπάρχουν 1 + 3 + 3 + 1 = 8 πιθανότητες. Η πιθανότητα να λάβετε το ίδιο αποτέλεσμα τρεις φορές στη σειρά είναι 1/8.
Ομοίως, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το τρίγωνο του Pascal για να βρείτε πόσους τρόπους μπορείτε να συνδυάσετε αντικείμενα ή επιλογές από ένα δεδομένο σύνολο. Ας υποθέσουμε ότι έχετε 5 μπάλες και θέλετε να μάθετε πόσους τρόπους μπορείτε να επιλέξετε δύο από αυτές. Απλώς μεταβείτε στην πέμπτη σειρά και κοιτάξτε τη δεύτερη καταχώρηση για να βρείτε την απάντηση, η οποία είναι 5.