Το "Sine" είναι μαθηματικό στενό για την αναλογία δύο πλευρών ενός δεξιού τριγώνου, εκφραζόμενο ως κλάσμα: Η αντίθετη πλευρά όποια γωνία μετράτε είναι ο αριθμητής του κλάσματος και η υποτελής χρήση του σωστού τριγώνου είναι η παρονομαστής. Μόλις κυριαρχήσετε σε αυτήν την ιδέα, γίνεται δομικό στοιχείο για έναν τύπο γνωστό ως νόμο των ημιτονοειδών, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για εύρεση λείπουν γωνίες και πλευρές για ένα τρίγωνο αρκεί να γνωρίζετε τουλάχιστον δύο από τις γωνίες και τη μία πλευρά ή δύο πλευρές και μία γωνία.
Ανακεφαλαίωση του νόμου των ημιτονοειδών
Ο νόμος των ημιτονοειδών σας λέει ότι η αναλογία μιας γωνίας σε ένα τρίγωνο προς την απέναντι πλευρά θα είναι η ίδια και για τις τρεις γωνίες ενός τριγώνου. Ή, για να το θέσω με άλλο τρόπο:
αμαρτία (Α) /ένα = αμαρτία (B) /σι = αμαρτία (C) /ντο, όπου A, B και C είναι οι γωνίες του τριγώνου και α, β και ντο είναι τα μήκη των πλευρών απέναντι από αυτές τις γωνίες.
Αυτή η φόρμα είναι η πιο χρήσιμη για την εύρεση ελλείψεων γωνιών. Εάν χρησιμοποιείτε τον νόμο των ημιτονοειδών για να βρείτε το μήκος που λείπει από μια πλευρά του τριγώνου, μπορείτε επίσης να το γράψετε με τα ημιτόνια στον παρονομαστή:
ένα/ sin (A) = σι/ sin (B) = ντο/sin(C)
Εύρεση μιας γωνίας που λείπει με τον νόμο των ημιτονοειδών
Φανταστείτε ότι έχετε ένα τρίγωνο με μία γνωστή γωνία - ας πούμε ότι η γωνία Α μετρά 30 μοίρες. Γνωρίζετε επίσης το μέτρο των δύο πλευρών του τριγώνου: πλευρά ένα, η οποία είναι αντίθετη γωνία Α, μετρά 4 μονάδες και πλάγια σι μετρά 6 μονάδες.
Προσοχή στη διφορούμενη περίπτωση του νόμου των ημιτονοειδών, η οποία μπορεί να προκύψει εάν, όπως σε αυτό το πρόβλημα, δεδομένου του μήκους των δύο πλευρών και μιας γωνίας που δεν είναι μεταξύ τους. Η αμφιλεγόμενη περίπτωση είναι απλώς μια προειδοποίηση ότι σε αυτό το συγκεκριμένο σύνολο περιστάσεων, μπορεί να υπάρχουν δύο πιθανές απαντήσεις για να διαλέξετε. Έχετε ήδη βρει μια πιθανή απάντηση. Για να αναλύσετε μια άλλη πιθανή απάντηση, αφαιρέστε τη γωνία που μόλις βρήκατε από 180 μοίρες. Προσθέστε το αποτέλεσμα στην πρώτη γνωστή γωνία που είχατε. Εάν το αποτέλεσμα είναι μικρότερο από 180 μοίρες, αυτό το "αποτέλεσμα" που μόλις προσθέσατε στην πρώτη γνωστή γωνία είναι μια δεύτερη πιθανή λύση.
Εισαγάγετε όλες τις γνωστές πληροφορίες στην πρώτη μορφή του νόμου των ημιτονοειδών, η οποία είναι καλύτερη για την εύρεση ελλείψεων γωνιών:
sin (30) / 4 = sin (B) / 6 = sin (C) /ντο
Στη συνέχεια, επιλέξτε έναν στόχο. σε αυτήν την περίπτωση, βρείτε το μέτρο της γωνίας Β.
Η ρύθμιση του προβλήματος είναι τόσο απλή όσο η ρύθμιση της πρώτης και δεύτερης έκφρασης αυτής της εξίσωσης μεταξύ τους. Δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για την τρίτη θητεία αυτή τη στιγμή. Λοιπόν, έχετε:
sin (30) / 4 = sin (B) / 6
Χρησιμοποιήστε μια αριθμομηχανή ή ένα γράφημα για να βρείτε το ημίτονο της γνωστής γωνίας. Σε αυτήν την περίπτωση, sin (30) = 0,5, οπότε έχετε:
(0,5) / 4 = sin (B) / 6, το οποίο απλοποιεί:
0.125 = sin (B) / 6
Πολλαπλασιάστε κάθε πλευρά της εξίσωσης με 6 για να απομονώσετε την ημιτονοειδή μέτρηση της άγνωστης γωνίας. Αυτό σας δίνει:
0,75 = αμαρτία (Β)
Βρείτε το αντίστροφο ημίτονο ή το τόξο της άγνωστης γωνίας, χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή ή τον πίνακα. Σε αυτήν την περίπτωση, το αντίστροφο ημίτονο 0,75 είναι περίπου 48,6 μοίρες.
Προειδοποιήσεις
Βρίσκοντας μια πλευρά με το νόμο των ημιτονοειδών
Φανταστείτε ότι έχετε ένα τρίγωνο με γνωστές γωνίες 15 και 30 μοιρών (ας τα ονομάσουμε Α και Β αντίστοιχα) και το μήκος της πλευράς ένα, η οποία είναι αντίθετη γωνία Α, έχει μήκος 3 μονάδες.
Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου προσθέτουν πάντα έως και 180 μοίρες. Έτσι, αν γνωρίζετε ήδη δύο γωνίες, μπορείτε να βρείτε το μέτρο της τρίτης γωνίας αφαιρώντας τις γνωστές γωνίες από το 180:
180 - 15 - 30 = 135 μοίρες
Έτσι, η γωνία που λείπει είναι 135 μοίρες.
Συμπληρώστε τις πληροφορίες που γνωρίζετε ήδη στον τύπο του sines, χρησιμοποιώντας τη δεύτερη φόρμα (η οποία είναι ευκολότερη κατά τον υπολογισμό μιας πλευράς που λείπει):
3 / sin (15) = σι/ sin (30) = ντο/sin(135)
Επιλέξτε από ποια πλευρά λείπει θέλετε να βρείτε το μήκος. Σε αυτήν την περίπτωση, για λόγους ευκολίας, βρείτε το μήκος της πλευράς σι.
Για να ρυθμίσετε το πρόβλημα, θα επιλέξετε δύο από τις ημιτονοειδείς σχέσεις που δίνονται στον νόμο των ημιτονοειδών: Αυτή που περιέχει τον στόχο σας (πλευρά σι) και αυτό για το οποίο γνωρίζετε ήδη όλες τις πληροφορίες (αυτή είναι η πλευρά ένα και γωνία Α). Ορίστε αυτές τις δύο ημιτονοειδείς σχέσεις μεταξύ τους:
3 / sin (15) = σι/sin(30)
Τώρα λύστε για σι. Ξεκινήστε χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή ή έναν πίνακα για να βρείτε τις τιμές της αμαρτίας (15) και της αμαρτίας (30) και να τις γεμίσετε στην εξίσωση σας (για χάρη αυτού του παραδείγματος, χρησιμοποιήστε το κλάσμα 1/2 αντί του 0,5), το οποίο δίνει εσείς:
3/0.2588 = σι/(1/2)
Σημειώστε ότι ο δάσκαλός σας θα σας πει πόσο μακριά (και εάν) θα στρογγυλοποιήσετε τις ημιτονοειδείς τιμές σας. Μπορεί επίσης να σας ζητήσουν να χρησιμοποιήσετε την ακριβή τιμή της ημιτονοειδούς λειτουργίας, η οποία στην περίπτωση της αμαρτίας (15) είναι η πολύ βρώμικη (√6 - √2) / 4.
Στη συνέχεια, απλοποιήστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης, θυμηθείτε ότι η διαίρεση με ένα κλάσμα είναι η ίδια με τον πολλαπλασιασμό με το αντίστροφο:
11.5920 = 2_b_
Αλλάξτε τις πλευρές της εξίσωσης για λόγους ευκολίας, καθώς οι μεταβλητές αναφέρονται συνήθως στα αριστερά:
2_b_ = 11.5920
Και τέλος, ολοκληρώστε την επίλυση σι. Σε αυτήν την περίπτωση, το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να διαιρέσετε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με το 2, το οποίο σας δίνει:
σι = 5.7960
Έτσι, η λείπει πλευρά του τριγώνου σας έχει μήκος 5.7960 μονάδες. Θα μπορούσατε εξίσου εύκολα να χρησιμοποιήσετε την ίδια διαδικασία για την επίλυση των πλευρών ντο, ορίζοντας τον όρο του στο δίκαιο των ημιτονοειδών με τον όρο για την πλευρά ένα, αφού γνωρίζετε ήδη τις πλήρεις πληροφορίες αυτής της πλευράς.