Φανταστείτε ότι στέκεστε στη μέση μιας τέλεια κυκλικής αρένας. Κοιτάζετε προς τα πλήθη κατά μήκος των πλευρών της αρένας, και εντοπίζετε τον καλύτερο φίλο σας σε μία θέση και τον καθηγητή μαθηματικών του γυμνασίου σας μερικά τμήματα. Ποια είναι η απόσταση μεταξύ αυτών και εσάς; Πόσο μακριά θα έπρεπε να περπατήσετε για να ταξιδέψετε από τη θέση του φίλου σας στη θέση του δασκάλου σας; Ποια είναι τα μέτρα των γωνιών μεταξύ σας; Αυτά είναι όλα ερωτήματα που σχετίζονται με τις κεντρικές γωνίες.
ΕΝΑ επίκεντρη γωνία είναι η γωνία που σχηματίζεται όταν δύο ακτίνες τραβιούνται από το κέντρο του κύκλου έως τις άκρες του. Σε αυτό το παράδειγμα, οι δύο ακτίνες είναι οι δύο οπτικές σας γραμμές από εσάς, στο κέντρο της αρένας, στον φίλο σας, και στην οπτική σας όψη προς τον δάσκαλό σας. Η γωνία που σχηματίζεται μεταξύ αυτών των δύο γραμμών είναι η κεντρική γωνία. Είναι η γωνία που βρίσκεται πλησιέστερα στο κέντρο του κύκλου.
Ο φίλος σας και ο δάσκαλός σας κάθονται κατά μήκος του περιφέρεια ή τα άκρα του κύκλου. Το μονοπάτι κατά μήκος της αρένας που τους συνδέει είναι ένα τόξο.
Βρείτε την κεντρική γωνία από το μήκος τόξου και την περιφέρεια
Υπάρχουν μερικές εξισώσεις που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για να βρείτε την κεντρική γωνία. Μερικές φορές θα πάρετε το μήκος τόξου, η απόσταση κατά μήκος της περιφέρειας μεταξύ δύο σημείων. (Στο παράδειγμα, αυτή είναι η απόσταση που πρέπει να περπατήσετε γύρω από την αρένα για να πάρετε από τον φίλο σας στον δάσκαλό σας.) Η σχέση μεταξύ κεντρικής γωνίας και μήκους τόξου είναι:
(μήκος τόξου) ÷ περιφέρεια = (κεντρική γωνία) ÷ 360 °
Η κεντρική γωνία θα είναι σε μοίρες.
Αυτή η φόρμουλα έχει νόημα, αν το σκεφτείτε. Το μήκος του τόξου από το συνολικό μήκος γύρω από τον κύκλο (περιφέρεια) είναι το ίδιο ποσοστό με τη γωνία του τόξου από τη συνολική γωνία σε έναν κύκλο (360 μοίρες).
Για να χρησιμοποιήσετε αυτήν την εξίσωση αποτελεσματικά, πρέπει να γνωρίζετε την περιφέρεια του κύκλου. Αλλά μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε αυτόν τον τύπο για να βρείτε το μήκος του τόξου εάν γνωρίζετε την κεντρική γωνία και την περιφέρεια. Ή, εάν έχετε το μήκος τόξου και την κεντρική γωνία, μπορείτε να βρείτε την περιφέρεια!
Βρείτε την κεντρική γωνία από το μήκος τόξου και την ακτίνα
Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε την ακτίνα του κύκλου και το μήκος του τόξου για να βρείτε την κεντρική γωνία. Καλέστε το μέτρο της κεντρικής γωνίας θ. Επειτα:
θ = δ÷ r, όπου s είναι το μήκος τόξου και r είναι η ακτίνα. Το θ μετράται σε ακτίνια.
Και πάλι, μπορείτε να αναδιατάξετε αυτήν την εξίσωση ανάλογα με τις πληροφορίες που έχετε. Μπορείτε να βρείτε το μήκος του τόξου από την ακτίνα και την κεντρική γωνία. Ή μπορείτε να βρείτε την ακτίνα εάν έχετε την κεντρική γωνία και το μήκος του τόξου.
Εάν θέλετε το μήκος του τόξου, η εξίσωση μοιάζει με αυτήν:
s =θ * r, όπου s είναι το μήκος τόξου, r είναι η ακτίνα και θ είναι η κεντρική γωνία σε ακτίνια.
Το Θεώρημα Κεντρικής Γωνίας
Ας προσθέσουμε μια παραλλαγή στο παράδειγμά σας όπου βρίσκεστε στην αρένα με τον γείτονά σας και τον δάσκαλό σας. Τώρα υπάρχει ένα τρίτο άτομο που γνωρίζετε στην αρένα: ο διπλανός γείτονάς σας. Και ένα ακόμη πράγμα: Είναι πίσω σας. Πρέπει να γυρίσεις για να τα δεις.
Ο γείτονάς σας απέχει περίπου απέναντι από τον φίλο σας και τον δάσκαλό σας. Από την άποψη του γείτονά σας, υπάρχει μια γωνία που σχηματίζεται από την οπτική γωνία τους προς τον φίλο και την οπτική γωνία του προς τον δάσκαλο. Αυτό ονομάζεται εγγεγραμμένη γωνία. Ενα εγγεγραμένη γωνία είναι μια γωνία που σχηματίζεται από τρία σημεία κατά μήκος της περιφέρειας ενός κύκλου.
Το Central Angle Theorem εξηγεί τη σχέση μεταξύ του μεγέθους της κεντρικής γωνίας, που σχηματίζεται από εσάς, και της εγγεγραμμένης γωνίας, που σχηματίζεται από τον γείτονά σας. ο Θεώρημα Κεντρικής Γωνίας δηλώνει ότι η κεντρική γωνία είναι διπλάσια από την εγγεγραμμένη γωνία. (Αυτό προϋποθέτει ότι χρησιμοποιείτε τα ίδια τελικά σημεία. Κοιτάζετε και ο δάσκαλος και ο φίλος, όχι κανένας άλλος).
Εδώ είναι ένας άλλος τρόπος να το γράψετε. Ας καλέσουμε τη θέση του φίλου σας Α, τη θέση του δασκάλου σας Β και τη θέση Γ του γείτονά σας. Εσείς, στο κέντρο, μπορείτε να είστε Ο.
Έτσι, για τρία σημεία A, B και C κατά την περιφέρεια ενός κύκλου και το σημείο O στο κέντρο, η κεντρική γωνία ∠AOC είναι διπλάσια από την εγγεγραμμένη γωνία ∠ABC.
Αυτό είναι, ∠AOC = 2∠ABC.
Αυτό έχει νόημα. Είστε πιο κοντά στον φίλο και τον δάσκαλο, έτσι ώστε να σας φαίνονται πιο μακριά (μεγαλύτερη γωνία). Στον γείτονά σας στην άλλη πλευρά του σταδίου, φαίνονται πολύ πιο κοντά (μικρότερη γωνία).
Εξαίρεση στο Θεώρημα Central Angle
Τώρα, ας αλλάξουμε τα πράγματα. Ο γείτονάς σας στην άκρη της αρένας αρχίζει να κινείται! Έχουν ακόμα μια οπτική επαφή με τον φίλο και τον δάσκαλο, αλλά οι γραμμές και οι γωνίες συνεχίζουν να αλλάζουν καθώς ο γείτονας κινείται. Μαντέψτε τι: Εφόσον ο γείτονας μένει έξω από το τόξο μεταξύ του φίλου και του γείτονα, το Θεώρημα Central Angle εξακολουθεί να ισχύει!
Αλλά τι συμβαίνει όταν ο γείτονας κινείται μεταξύ ο φίλος και ο δάσκαλος; Τώρα ο γείτονάς σας είναι μέσα μικρό τόξο, η σχετικά μικρή απόσταση μεταξύ του φίλου και του δασκάλου σε σύγκριση με τη μεγαλύτερη απόσταση γύρω από την υπόλοιπη αρένα. Στη συνέχεια, θα εξαιρέσετε το Θεώρημα Central Angle.
ο εξαίρεση στο Θεώρημα Central Angle δηλώνει ότι όταν το σημείο Γ, ο γείτονας, βρίσκεται μέσα στο μικρό τόξο, η εγγεγραμμένη γωνία είναι το συμπλήρωμα της μισής κεντρικής γωνίας. (Θυμηθείτε ότι μια γωνία και είναι συμπλήρωμα προσθέστε στους 180 βαθμούς.)
Ετσι: εγγεγραμμένη γωνία = 180 - (κεντρική γωνία ÷ 2)
Ή: ∠ABC = 180 - (∠AOC ÷ 2)
Απεικονίζω
Το Math Open Reference έχει ένα εργαλείο για να απεικονίσει το Central Angle Theorem και την εξαίρεσή του. Μπορείτε να σύρετε το "γείτονα" σε όλα τα διαφορετικά μέρη του κύκλου και να παρακολουθήσετε τις γωνίες να αλλάζουν. Δοκιμάστε το εάν θέλετε μια οπτική ή επιπλέον πρακτική!