Μερικές φορές η "εκθετική ανάπτυξη" είναι απλώς μια ομιλία, μια αναφορά σε οτιδήποτε μεγαλώνει παράλογα ή απίστευτα γρήγορα. Αλλά σε ορισμένες περιπτώσεις, μπορείτε να πάρετε κυριολεκτικά την ιδέα της εκθετικής ανάπτυξης. Για παράδειγμα, ένας πληθυσμός κουνελιών μπορεί να αυξηθεί εκθετικά καθώς κάθε γενιά πολλαπλασιάζεται, έπειτα ο απόγονος τους πολλαπλασιάζεται και ούτω καθεξής. Επιχειρησιακό ή προσωπικό εισόδημα μπορεί επίσης να αυξηθεί εκθετικά. Όταν σας ζητηθεί να κάνετε πραγματικούς υπολογισμούς της εκθετικής ανάπτυξης, θα εργαστείτε με τρία στοιχεία: Αρχική αξία, ρυθμός ανάπτυξης (ή φθορά) και χρόνο.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Για να υπολογίσετε την εκθετική ανάπτυξη, χρησιμοποιήστε τον τύπο ε(τ) = α__εΚΤ, όπου ένα είναι η τιμή στην αρχή, κ είναι ο ρυθμός ανάπτυξης ή αποσύνθεσης, τ είναι χρόνος και ε(τ) είναι η αξία του πληθυσμού τη στιγμή τ.
Φανταστείτε ότι ένας επιστήμονας μελετά την ανάπτυξη ενός νέου είδους βακτηρίων. Ενώ μπορούσε να εισαγάγει τις τιμές της αρχικής ποσότητας, του ρυθμού ανάπτυξης και του χρόνου σε έναν υπολογιστή αύξησης του πληθυσμού, αποφάσισε να υπολογίσει το ρυθμό αύξησης του πληθυσμού των βακτηρίων με μη αυτόματο τρόπο.
Κοιτώντας πίσω στα σχολαστικά του αρχεία, ο επιστήμονας βλέπει ότι ο αρχικός του πληθυσμός ήταν 50 βακτήρια. Πέντε ώρες αργότερα, μέτρησε 550 βακτήρια.
Εισαγωγή των πληροφοριών του επιστήμονα στην εξίσωση για εκθετική ανάπτυξη ή παρακμή, ε(τ) = α__εΚΤ, αυτός έχει:
550 = 50_εκ_5
Το μόνο άγνωστο αριστερό στην εξίσωση είναι κ, ή ο ρυθμός της εκθετικής ανάπτυξης.
Για να ξεκινήσετε την επίλυση για κ, διαιρέστε πρώτα και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με 50. Αυτό σας δίνει:
550/50 = (50_εκ_5) / 50, το οποίο απλοποιεί:
11 = μι_k_5
Στη συνέχεια, πάρτε τον φυσικό λογάριθμο και των δύο πλευρών, ο οποίος σημειώνεται ως ln (Χ). Αυτό σας δίνει:
ln (11) = ln (μι_k_5)
Ο φυσικός λογάριθμος είναι η αντίστροφη συνάρτηση του μιΧ, έτσι "αναιρεί" αποτελεσματικά το μιΧ λειτουργία στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, αφήνοντάς σας με:
ln (11) = _k_5
Στη συνέχεια, διαιρέστε και τις δύο πλευρές με 5 για να απομονώσετε τη μεταβλητή, η οποία σας δίνει:
κ = ln (11) / 5
Τώρα γνωρίζετε τον ρυθμό της εκθετικής αύξησης για αυτόν τον πληθυσμό βακτηρίων: κ = ln (11) / 5. Εάν πρόκειται να κάνετε περαιτέρω υπολογισμούς με αυτόν τον πληθυσμό - για παράδειγμα, συνδέοντας τον ρυθμό ανάπτυξης στην εξίσωση και υπολογίζοντας το μέγεθος του πληθυσμού σε τ = 10 ώρες - είναι καλύτερο να αφήσετε την απάντηση σε αυτήν τη φόρμα. Αλλά αν δεν εκτελείτε περαιτέρω υπολογισμούς, μπορείτε να εισαγάγετε αυτήν την τιμή σε έναν υπολογιστικό εκθετικής συνάρτησης - ή στον επιστημονικό υπολογιστή σας - για να λάβετε εκτιμώμενη τιμή 0,479579. Ανάλογα με τις ακριβείς παραμέτρους του πειράματός σας, μπορείτε να το στρογγυλοποιήσετε σε 0,48 / ώρα για ευκολία υπολογισμού ή σημειογραφία.
Συμβουλές
Εάν ο ρυθμός ανάπτυξής σας ήταν μικρότερος από 1, σας λέει ότι ο πληθυσμός συρρικνώνεται. Αυτό είναι γνωστό ως ο ρυθμός αποσύνθεσης ή ο ρυθμός εκθετικής αποσύνθεσης.