Είδη λογικής στη γεωμετρία

Η γεωμετρία είναι μια γλώσσα που συζητά σχήματα και γωνίες αναμεμιγμένες με αλγεβρικούς όρους. Η γεωμετρία εκφράζει τις σχέσεις μεταξύ μονοδιάστατων, δισδιάστατων και τρισδιάστατων αριθμών σε μαθηματικές εξισώσεις. Η γεωμετρία χρησιμοποιείται εκτενώς στη μηχανική, τη φυσική και άλλους επιστημονικούς τομείς. Οι μαθητές αποκτούν γνώσεις περίπλοκων επιστημονικών και μαθηματικών μελετών μαθαίνοντας πώς οι γεωμετρικές έννοιες ανακαλύπτονται, αιτιολογούνται και αποδεικνύονται.

Η επαγωγική συλλογιστική είναι μια μορφή συλλογισμού που καταλήγει σε ένα συμπέρασμα βασισμένο σε πρότυπα και παρατηρήσεις. Εάν χρησιμοποιείται από μόνη της, η επαγωγική συλλογιστική δεν είναι μια ακριβής μέθοδος για να καταλήξετε σε αληθινά και ακριβή συμπεράσματα. Πάρτε το παράδειγμα τριών φίλων: Jim, Mary και Frank. Ο Φρανκ παρατηρεί τον Τζιμ και τη Μαρία να πολεμά Ο Φρανκ παρατηρεί ότι ο Τζιμ και η Μαρία διαφωνούν τρεις ή τέσσερις φορές κατά τη διάρκεια της εβδομάδας και κάθε φορά που τους βλέπει, διαφωνούν. Η δήλωση, «Ο Τζιμ και η Μαίρη παλεύουν όλη την ώρα», είναι ένα επαγωγικό συμπέρασμα, το οποίο καταλήγει με περιορισμένη παρατήρηση του πώς αλληλεπιδρούν ο Τζιμ και η Μαρία. Η επαγωγική συλλογιστική μπορεί να οδηγήσει τους μαθητές προς την κατεύθυνση του σχηματισμού μιας έγκυρης υπόθεσης, όπως το «Jim and Mary Fight συχνά». Αλλά η επαγωγική συλλογιστική δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως η μοναδική βάση για να αποδειχθεί μια ιδέα. Η επαγωγική συλλογιστική απαιτεί παρατήρηση, ανάλυση, συμπεράσματα (αναζήτηση μοτίβου) και επιβεβαίωση της παρατήρησης μέσω περαιτέρω δοκιμών για να καταλήξουμε σε έγκυρα συμπεράσματα.

Η συλλογική συλλογιστική είναι μια βήμα προς βήμα, λογική προσέγγιση για την απόδειξη μιας ιδέας με παρατήρηση και δοκιμή. Η συλλογική συλλογιστική ξεκινά με ένα αρχικό, αποδεδειγμένο γεγονός και δημιουργεί ένα επιχείρημα μία δήλωση κάθε φορά για να αποδείξει αναμφισβήτητα μια νέα ιδέα. Ένα συμπέρασμα στο οποίο καταλήξαμε μέσω της συλλογικής συλλογιστικής βασίζεται σε μια βάση μικρότερων συμπερασμάτων στα οποία κάθε πρόοδος οδηγεί σε μια τελική δήλωση.

Τα αξιώματα και τα αξιώματα χρησιμοποιούνται στη διαδικασία ανάπτυξης επαγωγικών και συλλογικών επιχειρημάτων. Ένα αξίωμα είναι μια δήλωση σχετικά με τους πραγματικούς αριθμούς που γίνεται αποδεκτή ως αλήθεια χωρίς να απαιτείται επίσημη απόδειξη. Για παράδειγμα, το αξίωμα που ο αριθμός τρία έχει μεγαλύτερη τιμή από το νούμερο δύο είναι ένα αυτονόητο αξίωμα. Ένα αξίωμα είναι παρόμοιο και ορίζεται ως δήλωση για τη γεωμετρία που γίνεται αποδεκτή ως αληθινή χωρίς απόδειξη. Για παράδειγμα, ένας κύκλος είναι μια γεωμετρική μορφή που μπορεί να χωριστεί ομοιόμορφα σε 360 μοίρες. Αυτή η δήλωση ισχύει για κάθε κύκλο, σε κάθε περίπτωση. Επομένως, αυτή η δήλωση είναι ένα γεωμετρικό αξίωμα.

Ένα θεώρημα είναι το αποτέλεσμα ή το συμπέρασμα ενός επακριβώς κατασκευασμένου αφαιρετικού επιχειρήματος και μπορεί να είναι το αποτέλεσμα ενός καλά διερευνημένου επαγωγικού επιχειρήματος. Εν ολίγοις, ένα θεώρημα είναι μια δήλωση στη γεωμετρία που έχει αποδειχθεί, και ως εκ τούτου μπορεί να βασιστεί σε μια πραγματική δήλωση κατά τη δημιουργία λογικών αποδείξεων για άλλα προβλήματα γεωμετρίας. Οι δηλώσεις ότι «δύο σημεία καθορίζουν μια γραμμή» και «τρία σημεία καθορίζουν ένα επίπεδο» είναι κάθε γεωμετρικά θεωρήματα.