Ας υποθέσουμε ότι έχετε μια συνάρτηση, y = f (x), όπου y είναι συνάρτηση του x. Δεν έχει σημασία ποια είναι η συγκεκριμένη σχέση. Θα μπορούσε να είναι y = x ^ 2, για παράδειγμα, μια απλή και οικεία παραβολή που διέρχεται από την προέλευση. Θα μπορούσε να είναι y = x ^ 2 + 1, μια παραβολή με το ίδιο σχήμα και μια κορυφή μια μονάδα πάνω από την αρχή. Θα μπορούσε να είναι μια πιο περίπλοκη λειτουργία, όπως το y = x ^ 3. Ανεξάρτητα από το ποια είναι η λειτουργία, μια ευθεία γραμμή που διέρχεται από δύο σημεία στην καμπύλη είναι μια σταθερή γραμμή.
Λάβετε τις τιμές x και y για τα δύο σημεία που γνωρίζετε ότι βρίσκονται στην καμπύλη. Τα σημεία δίνονται ως (τιμή x, τιμή y), έτσι το σημείο (0, 1) σημαίνει το σημείο στο καρτεσιανό επίπεδο όπου x = 0 και y = 1. Η καμπύλη y = x ^ 2 + 1 περιέχει το σημείο (0, 1). Περιέχει επίσης το σημείο (2, 5). Μπορείτε να το επιβεβαιώσετε συνδέοντας κάθε ζεύγος τιμών για x και y στην εξίσωση και διασφαλίζοντας ότι η εξίσωση ισορροπεί και τις δύο φορές: 1 = 0 + 1, 5 = 2 ^ 2 + 1. Και τα δύο (0, 1) και (2, 5) είναι σημεία της καμπύλης y = x ^ 2 +1. Μια ευθεία μεταξύ τους είναι μια απόσπαση και και οι δύο (0, 1) και (2, 5) θα είναι επίσης μέρος αυτής της ευθείας γραμμής.
Προσδιορίστε την εξίσωση για την ευθεία γραμμή που περνά και από τα δύο αυτά σημεία επιλέγοντας τιμές που ικανοποιούν την εξίσωση y = mx + b - τη γενική εξίσωση για οποιαδήποτε ευθεία γραμμή - και για τα δύο σημεία. Γνωρίζετε ήδη ότι y = 1 όταν το x είναι 0. Αυτό σημαίνει 1 = 0 + b. Έτσι το b πρέπει να είναι ίσο με 1.
Αντικαταστήστε τις τιμές για x και y στο δεύτερο σημείο στην εξίσωση y = mx + b. Γνωρίζετε y = 5 όταν x = 2 και ξέρετε b = 1. Αυτό σας δίνει 5 = m (2) + 1. Έτσι πρέπει να ισούμαι με 2. Τώρα ξέρετε και τα m και b. Η διαχωριστική γραμμή μεταξύ (0, 1) και (2, 5) είναι y = 2x + 1
Επιλέξτε ένα διαφορετικό ζεύγος σημείων στην καμπύλη σας και μπορείτε να καθορίσετε μια νέα γραμμή απόσπασης. Στην ίδια καμπύλη, y = x ^ 2 + 1, θα μπορούσατε να πάρετε το σημείο (0, 1) όπως κάνατε πριν, αλλά αυτή τη φορά επιλέξτε (1, 2) ως το δεύτερο σημείο. Βάλτε (1, 2) στην εξίσωση για την καμπύλη και παίρνετε 2 = 1 ^ 2 + 1, το οποίο είναι προφανώς σωστό, οπότε γνωρίζετε (1, 2) βρίσκεται επίσης στην ίδια καμπύλη. Η διαχωριστική γραμμή μεταξύ αυτών των δύο σημείων είναι y = mx + b: Βάζοντας 0 και 1 για x και y, θα λάβετε: 1 = m (0) + b, οπότε το b είναι ακόμα ίσο με ένα. Η σύνδεση της τιμής για το νέο σημείο, (1, 2) σας δίνει 2 = mx + 1, το οποίο ισορροπεί εάν το m είναι ίσο με 1. Η εξίσωση για τη διαχωριστική γραμμή μεταξύ (0, 1) και (1, 2) είναι y = x + 1.
βιβλιογραφικές αναφορές
- Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας, Santa Barbara: Secant Lines, Tangent Lines και Limit Definition of a Derivative.
- Wolfram Math World: Secant Line
Συμβουλές
- Παρατηρήστε ότι η γραμμή απομόνωσης αλλάζει καθώς επιλέγετε ένα δεύτερο σημείο πιο κοντά στο πρώτο σημείο. Μπορείτε πάντα να επιλέξετε ένα σημείο στην καμπύλη πιο κοντά από ό, τι στο παρελθόν και να πάρετε μια νέα γραμμή απόσπασης. Καθώς το δεύτερο σημείο σας πλησιάζει και πλησιάζει στο πρώτο σας σημείο, η διαχωριστική γραμμή μεταξύ των δύο πλησιάζει την εφαπτομένη στην καμπύλη στο πρώτο σημείο.
Σχετικά με τον Συγγραφέα
Ο Andrew Breslin γράφει επαγγελματικά από το 1994. Τα άρθρα και τα έργα του έχουν δημοσιευτεί στο "South Florida Sun Sentinel", "St Paul Pioneer Press", "Detroit Free Press", "Charlotte Observer", "Good Medicine" και άλλα. Σπούδασε μοριακή βιολογία στο Πανεπιστήμιο του Westchester και γράφει συχνά για την επιστήμη και τα μαθηματικά.
Φωτογραφικές μονάδες
Jupiterimages / Photos.com / Getty Images