Τι είναι οι φανταστικοί αριθμοί;

Οι μαθηματικοί ανακάλυψαν φανταστικούς αριθμούς για να επιλύσουν προβλήματα άλγεβρας που διαφορετικά δεν ήταν άλυτα. Όταν τετραγωνίζετε έναν φανταστικό αριθμό, λαμβάνετε έναν αρνητικό αριθμό. Αν και μπορεί να φαίνονται λίγο περίεργοι στην αρχή, οι φανταστικοί αριθμοί έχουν πολλές σημαντικές πρακτικές χρήσεις στα μαθηματικά, τις επιστήμες και τη μηχανική.

TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)

Όταν τετραγωνίζετε έναν φανταστικό αριθμό, το αποτέλεσμα είναι ένας αρνητικός αριθμός.

Συνήθως ασχολείστε με πραγματικούς αριθμούς στην καθημερινή ζωή - τη θερμοκρασία έξω, την απόσταση από το σπίτι ενός φίλου ή τον αριθμό των πενών στο βάζο αλλαγής σας. Αυτοί οι αριθμοί αντιπροσωπεύουν πραγματικά αντικείμενα και φαινόμενα. Εκτός από τους ολόκληρους αριθμούς που χρησιμοποιούμε για την καταμέτρηση, οι πραγματικοί αριθμοί περιλαμβάνουν μηδέν και αρνητικούς αριθμούς. Ορισμένοι αριθμοί είναι λογικοί. τα παίρνετε διαιρώντας έναν ολόκληρο αριθμό με τον άλλο. Άλλοι αριθμοί, όπως πι, μι, και η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι παράλογη. Δεν υπάρχει λόγος ακέραιου αριθμού για αυτούς. Μπορεί να σας βοηθήσει να απεικονίσετε πραγματικούς αριθμούς ως σημάδια σε μια απέραντα μεγάλη γραμμή, με το μηδέν να βρίσκεται στη μέση.

Στα τέλη του 1500, οι μαθηματικοί ανακάλυψαν την ύπαρξη φανταστικών αριθμών. Απαιτούνται φανταστικοί αριθμοί για την επίλυση εξισώσεων όπως x ^ 2 + 1 = 0. Για να διακρίνουν τους φανταστικούς αριθμούς από τους πραγματικούς, οι μαθηματικοί χρησιμοποιούν το γράμμα Εγώ, συνήθως με πλάγιους χαρακτήρες, όπως Εγώ, 3i, 8.4i, όπου Εγώ είναι η τετραγωνική ρίζα του -1 και ο αριθμός πριν χρησιμοποιηθεί ως πολλαπλασιαστής. Για παράδειγμα, το 8.4i είναι η τετραγωνική ρίζα του -8.4. Ορισμένοι τεχνικοί κλάδοι, όπως η ηλεκτρολογία, προτιμούν να χρησιμοποιούν το γράμμα ι αντί Εγώ. Όχι μόνο διαφέρουν από τους πραγματικούς αριθμούς, αλλά και οι φανταστικοί αριθμοί έχουν τον δικό τους αριθμό "γραμμή".

Στα μαθηματικά, υπάρχει μια γραμμή φανταστικών αριθμών που μοιάζει πολύ με την πραγματική γραμμή αριθμών. Οι δύο γραμμές κάθονται σε ορθή γωνία μεταξύ τους, όπως οι άξονες x και y ενός γραφήματος. Τέμνονται στα μηδενικά σημεία κάθε γραμμής. Αυτές οι γραμμές αριθμών σας βοηθούν να δείτε πώς λειτουργούν οι πραγματικοί και φανταστικοί αριθμοί.

Από μόνες τους, οι πραγματικές και φανταστικές γραμμές αριθμών, όπως κάθε γραμμή στη γεωμετρία, καταλαμβάνουν μία διάσταση και έχουν άπειρο μήκος. Μαζί, οι δύο γραμμές αριθμών σχηματίζουν αυτό που οι μαθηματικοί ονομάζουν το σύνθετο επίπεδο αριθμού - δύο διαστάσεις που περιγράφουν οποιονδήποτε αριθμό, είτε είναι πραγματικό, φανταστικό είτε πολύπλοκο. Για παράδειγμα, το 72.15 είναι ένας πραγματικός αριθμός και το -15i είναι ένας φανταστικός αριθμός. Για αυτούς τους δύο αριθμούς, μπορείτε να βρείτε ένα σημείο στο σύνθετο επίπεδο αριθμού: 72.15, -15i. Σημειώστε ότι αυτός ο αριθμός βρίσκεται στο αεροπλάνο, όχι απευθείας στις φανταστικές ή πραγματικές γραμμές αριθμών. Είναι σαν το Σαν Φρανσίσκο, το οποίο έχει γεωγραφικό πλάτος και μήκος αλλά δεν βρίσκεται ούτε στον ισημερινό ούτε στον πρώτο μεσημβρινό.

Οι φανταστικοί και σύνθετοι αριθμοί λειτουργούν σαν τους πραγματικούς. Μπορείτε να προσθέσετε, να αφαιρέσετε, να πολλαπλασιάσετε και να τα διαιρέσετε σε οποιονδήποτε συνδυασμό. Ακολουθούν τους κανονικούς κανόνες των μαθηματικών, με τη ρυτίδα ότι οι φανταστικοί αριθμοί, όταν τετραγωνίζονται, δίνουν αρνητική απάντηση.

Οι φανταστικοί αριθμοί είναι χρήσιμα εργαλεία που βοηθούν στην επίλυση δύσκολων μαθηματικών προβλημάτων. Στην ηλεκτρονική, οι εξισώσεις που περιγράφουν τα κυκλώματα AC χρησιμοποιούν φανταστικά και πολύπλοκα αριθμητικά μαθηματικά. Οι φυσικοί χρησιμοποιούν πολύπλοκους αριθμούς όταν αντιμετωπίζουν ηλεκτρομαγνητικά κύματα, τα οποία συνδυάζουν ιδιότητες ηλεκτρισμού και μαγνητισμού. Η κβαντομηχανική, η μελέτη των υποατομικών σωματιδίων, χρησιμοποιεί επίσης πολύπλοκους αριθμούς. Στη γεωμετρία, η μελέτη των φράκταλ σχημάτων που μαιάνδρου και διακλαδίζεται σε διαφορετικές κατευθύνσεις περιλαμβάνει πολύπλοκα αριθμητικά αριθμητικά.