Στατιστικές δοκιμές όπως τοτ-ο έλεγχος εξαρτάται εγγενώς από την έννοια της τυπικής απόκλισης. Κάθε μαθητής στα στατιστικά ή στην επιστήμη θα χρησιμοποιεί τυπικές αποκλίσεις τακτικά και θα πρέπει να καταλάβει τι σημαίνει και πώς να το βρει από ένα σύνολο δεδομένων. Ευτυχώς, το μόνο που χρειάζεστε είναι τα αρχικά δεδομένα και ενώ οι υπολογισμοί μπορεί να είναι κουραστικοί όταν έχετε πολλά δεδομένα, σε αυτές τις περιπτώσεις θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε συναρτήσεις ή δεδομένα υπολογιστικών φύλλων για να το κάνετε αυτομάτως. Ωστόσο, το μόνο που χρειάζεται να κάνετε για να κατανοήσετε τη βασική ιδέα είναι να δείτε ένα βασικό παράδειγμα που μπορείτε εύκολα να επεξεργαστείτε με το χέρι. Στον πυρήνα του, η τυπική απόκλιση δείγματος μετρά πόσο η ποσότητα που έχετε επιλέξει διαφέρει σε ολόκληρο τον πληθυσμό με βάση το δείγμα σας.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Χρησιμοποιώνταςνσημαίνει το μέγεθος του δείγματος,μγια τον μέσο όρο των δεδομένων,ΧΕγώ για κάθε μεμονωμένο σημείο δεδομένων (απόΕγώ= 1 έωςΕγώ = ν) και Σ ως σύμβολο αθροίσματος, η διακύμανση του δείγματος (μικρό2) είναι:
μικρό2 = (Σ ΧΕγώ – μ)2 / (ν − 1)
Και η τυπική απόκλιση δείγματος είναι:
μικρό = √μικρό2
Τυπική απόκλιση έναντι Τυπική απόκλιση δείγματος
Οι στατιστικές περιστρέφονται γύρω από την πραγματοποίηση εκτιμήσεων για ολόκληρους πληθυσμούς με βάση μικρότερα δείγματα από τον πληθυσμό και για την αβεβαιότητα της εκτίμησης κατά τη διαδικασία. Οι τυπικές αποκλίσεις ποσοτικοποιούν το μέγεθος της διακύμανσης στον πληθυσμό που μελετάτε. Εάν προσπαθείτε να βρείτε το μέσο ύψος, θα λάβετε μια ομάδα αποτελεσμάτων γύρω από τη μέση (μέση) τιμή, και η τυπική απόκλιση περιγράφει το πλάτος του σμήνους και την κατανομή των υψών στον πληθυσμό.
Η τυπική απόκλιση «δείγματος» υπολογίζει την πραγματική τυπική απόκλιση για ολόκληρο τον πληθυσμό με βάση ένα μικρό δείγμα από τον πληθυσμό. Τις περισσότερες φορές, δεν θα μπορείτε να δοκιμάσετε ολόκληρο τον εν λόγω πληθυσμό, επομένως η τυπική απόκλιση δείγματος είναι συχνά η σωστή έκδοση για χρήση.
Εύρεση της τυπικής απόκλισης δείγματος
Χρειάζεστε τα αποτελέσματά σας και τον αριθμό (ν) ατόμων στο δείγμα σας. Πρώτα, υπολογίστε τον μέσο όρο των αποτελεσμάτων (μ) προσθέτοντας όλα τα μεμονωμένα αποτελέσματα και στη συνέχεια διαιρώντας το με τον αριθμό των μετρήσεων.
Για παράδειγμα, οι καρδιακοί παλμοί (σε παλμούς ανά λεπτό) πέντε ανδρών και πέντε γυναικών είναι:
71, 83, 63, 70, 75, 69, 62, 75, 66, 68
Που οδηγεί σε μέσο όρο:
\ start {aligned} μ & = \ frac {71 + 83 + 63 + 70 + 75 + 69 + 62 + 75 + 66 + 68} {10} \\ & = \ frac {702} {10} \\ & = 70.2 \ τέλος {στοίχιση}
Το επόμενο στάδιο είναι να αφαιρεθεί ο μέσος όρος από κάθε μεμονωμένη μέτρηση και στη συνέχεια να τετραγωνιστεί το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, για το πρώτο σημείο δεδομένων:
(71 - 70.2)^2 = 0.8^2 = 0.64
Και για το δεύτερο:
(83- 70.2)^2 = 12.8^2 = 163.84
Συνεχίζετε με αυτόν τον τρόπο μέσω των δεδομένων και, στη συνέχεια, προσθέστε αυτά τα αποτελέσματα. Έτσι, για τα παραδείγματα δεδομένων, το άθροισμα αυτών των τιμών είναι:
0.64 + 163.84 +51.84 + 0.04 + 23.04 + 1.44 + 67.24 +23.04 + 17.64 + 4.84 = 353.6
Το επόμενο στάδιο διακρίνει μεταξύ της τυπικής απόκλισης δείγματος και της τυπικής απόκλισης πληθυσμού. Για την απόκλιση δείγματος, διαιρείτε αυτό το αποτέλεσμα με το μέγεθος δείγματος μείον ένα (ν−1). Στο παράδειγμά μας,ν= 10, έτσιν – 1 = 9.
Αυτό το αποτέλεσμα δίνει τη διακύμανση του δείγματος, που υποδηλώνεται μεμικρό2, το οποίο για παράδειγμα είναι:
s ^ 2 = \ frac {353.6} {9} = 39.289
Η τυπική απόκλιση δείγματος (μικρό) είναι απλώς η θετική τετραγωνική ρίζα αυτού του αριθμού:
s = \ sqrt {39.289} = 6.268
Εάν υπολογίζατε την τυπική απόκλιση πληθυσμού (σ) η μόνη διαφορά είναι ότι διαιρείται μενπροκειμένουν −1.
Ολόκληρος ο τύπος για την τυπική απόκλιση δείγματος μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας το σύμβολο αθροίσματος Σ, με το άθροισμα να είναι ολόκληρο το δείγμα καιΧΕγώ που αντιπροσωπεύει τοΕγώτο αποτέλεσμα απόν. Η διακύμανση δείγματος είναι:
s ^ 2 = \ frac {(\ sum_i x_i - μ) ^ 2} {n - 1}
Και η τυπική απόκλιση δείγματος είναι απλώς:
s = \ sqrt {s ^ 2}
Μέση απόκλιση έναντι Τυπική απόκλιση
Η μέση απόκλιση διαφέρει ελαφρώς από την τυπική απόκλιση. Αντί να τετραγωνίζετε τις διαφορές μεταξύ του μέσου και κάθε τιμής, αντί να παίρνετε την απόλυτη διαφορά (αγνοώντας τυχόν αρνητικά σημάδια) και στη συνέχεια να βρείτε τον μέσο όρο αυτών. Για το παράδειγμα στην προηγούμενη ενότητα, το πρώτο και το δεύτερο σημείο δεδομένων (71 και 83) δίνουν:
x_1 - μ = 71 - 70,2 = 0,8 \\ x_2 - μ = 83 - 70,2 = 12,8
Το τρίτο σημείο δεδομένων δίνει αρνητικό αποτέλεσμα
x_3 - μ = 63 - 70,2 = -7,2
Αλλά απλώς αφαιρείτε το σύμβολο μείον και το λαμβάνετε ως 7.2.
Το άθροισμα όλων αυτών των δώρων διαιρείται μενδίνει τη μέση απόκλιση. Στο παράδειγμα:
\ start {aligned} & \ frac {0,8 + 12,8 + 7,2 + 0,2 + 4,8 + 1,2 + 8,2 + 4,8 + 4,2 + 2,2} {10} \\ & = \ frac {46,4} {10} \\ & = 4,64 \ τέλος {στοίχιση}
Αυτό διαφέρει ουσιαστικά από την τυπική απόκλιση που υπολογίστηκε πριν, επειδή δεν περιλαμβάνει τετράγωνα και ρίζες.