Όλοι οι μαθητές μαθηματικών και πολλοί φοιτητές συναντούν πολυώνυμα σε κάποιο στάδιο κατά τη διάρκεια των σπουδών τους, αλλά ευτυχώς είναι εύκολο να αντιμετωπιστούν μόλις μάθετε τα βασικά. Οι κύριες λειτουργίες που θα πρέπει να κάνετε με πολυωνυμικές εκφράσεις είναι η προσθήκη, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός και διαίρεση και ενώ η διαίρεση μπορεί να είναι περίπλοκη, τις περισσότερες φορές θα μπορείτε να χειριστείτε τα βασικά ευκολία.
Πολυώνυμα: Ορισμός και παραδείγματα
Πολυώνυμος περιγράφει μια αλγεβρική έκφραση με έναν ή περισσότερους όρους που περιλαμβάνουν μια μεταβλητή (ή περισσότερες από μία), με εκθέτες και πιθανώς σταθερές. Δεν μπορούν να περιλαμβάνουν διαίρεση από μια μεταβλητή, δεν μπορούν να έχουν αρνητικούς ή κλασματικούς εκθέτες και πρέπει να έχουν έναν πεπερασμένο αριθμό όρων.
Αυτό το παράδειγμα δείχνει ένα πολυώνυμο:
x ^ 3 + 2 x ^ 2 - 9 x - 4
Και αυτό δείχνει ένα άλλο:
xy ^ 2 - 3 x + ε
Υπάρχουν πολλοί τρόποι ταξινόμησης των πολυωνύμων, συμπεριλαμβανομένου του βαθμού (το άθροισμα των εκθετών με τον υψηλότερο όρο ισχύος, π.χ. 3 στο πρώτο παράδειγμα) και βάσει του αριθμού των όρων που περιέχουν, όπως monomials (ένας όρος), binomials (δύο όροι) και trinomials (τρεις όροι).
Προσθήκη και αφαίρεση πολυώνυμων
Η προσθήκη και η αφαίρεση πολυωνύμων εξαρτάται από το συνδυασμό όρων "like". Ένας όμοιος όρος είναι ένας με τις ίδιες μεταβλητές και εκθέτες με έναν άλλο, αλλά ο αριθμός τους πολλαπλασιασμένος επί (ο συντελεστής) μπορεί να είναι διαφορετικός. Για παράδειγμα,Χ2 και 4Χ 2 είναι σαν όροι επειδή έχουν την ίδια μεταβλητή και εκθετική, και 2xy 4 και 6xy 4 είναι σαν όροι επίσης. Ωστόσο,Χ2, Χ3, Χ2ε2 καιε2 δεν μοιάζουν με όρους, επειδή ο καθένας περιέχει διαφορετικούς συνδυασμούς μεταβλητών και εκθετών.
Προσθέστε πολυώνυμα συνδυάζοντας όμοιους όρους με τον ίδιο τρόπο που θα κάνατε με άλλους αλγεβρικούς όρους. Για παράδειγμα, δείτε το πρόβλημα:
(x ^ 3 + 3 x) + (9 x ^ 3 + 2 x + ε)
Συλλέξτε τους παρόμοιους όρους για να λάβετε:
(x ^ 3 + 9 x ^ 3) + (3 x + 2 x) + y
Και μετά αξιολογήστε απλά προσθέτοντας τους συντελεστές και συνδυάζοντας σε έναν μόνο όρο:
10 x ^ 3 + 5 x + ε
Λάβετε υπόψη ότι δεν μπορείτε να κάνετε τίποταεγιατί δεν έχει όμοιο όρο.
Η αφαίρεση λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο:
(4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y) - (2 x ^ 4 + 2 y ^ 2 + y)
Αρχικά, σημειώστε ότι όλοι οι όροι στο δεξί βραχίονα αφαιρούνται από αυτούς στο αριστερό βραχίονα, οπότε γράψτε το ως:
4 x ^ 4 + 3 y ^ 2 + 6 y - 2 x ^ 4 - 2 y ^ 2- y
Συνδυάστε όρους όπως και αξιολογήστε για να λάβετε:
(4 x ^ 4 - 2 x ^ 4) + (3 y ^ 2 - 2 y ^ 2) + (6 y - y) = 2 x ^ 4 + y ^ 2 + 5 y
Για ένα πρόβλημα σαν αυτό:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2)
Σημειώστε ότι το σύμβολο μείον εφαρμόζεται σε ολόκληρη την έκφραση στο σωστό παρένθεση, οπότε τα δύο αρνητικά σημάδια πριν από το 3Χ2 γίνετε ένα πρόσθετο σημάδι:
(4 xy + x ^ 2) - (6 xy - 3 x ^ 2) = 4 xy + x ^ 2 - 6 xy + 3 x ^ 2
Στη συνέχεια, υπολογίστε όπως πριν.
Πολλαπλασιασμός πολυωνυμικών εκφράσεων
Πολλαπλασιάστε τις πολυωνυμικές εκφράσεις χρησιμοποιώντας τη διανομητική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού. Με λίγα λόγια, πολλαπλασιάστε κάθε όρο στο πρώτο πολυώνυμο με κάθε όρο στο δεύτερο. Κοιτάξτε αυτό το απλό παράδειγμα:
4 x × (2 x ^ 2 + y)
Το επιλύετε αυτό χρησιμοποιώντας την ιδιότητα διανομής, οπότε:
\ start {aligned} 4 x × (2 x ^ 2 + y) & = (4 x × 2 x ^ 2) + (4 x × y) \\ & = 8 x ^ 3 + 4 xy \ end {στοίχιση}
Αντιμετωπίστε πιο περίπλοκα προβλήματα με τον ίδιο τρόπο:
\ start {aligned} (2 y ^ 3 + 3 x) × & (5 x ^ 2 + 2 x) \\ & = (2 y ^ 3 × (5 x ^ 2 + 2 x)) + (3 x × (5 x ^ 2 + 2 x)) \\ & = (2 y ^ 3 × 5 x ^ 2) + (2 y ^ 3 × 2 x) + (3 x × 5 x ^ 2) + (3 x × 2 x) \\ & = 10 y ^ 3x ^ 2 + 4 y ^ 3x + 15 x ^ 3 + 6 x ^ 2 \ end {στοίχιση}
Αυτά τα προβλήματα μπορεί να περιπλέκονται για μεγαλύτερες ομάδες, αλλά η βασική διαδικασία παραμένει η ίδια.
Διαχωρισμός πολυωνυμικών εκφράσεων
Ο διαχωρισμός των πολυωνυμικών εκφράσεων διαρκεί περισσότερο, αλλά μπορείτε να το αντιμετωπίσετε με βήματα. Κοιτάξτε την έκφραση:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2}
Πρώτα, γράψτε την έκφραση σαν μια μακρά διαίρεση, με τον διαιρέτη στα αριστερά και το μέρισμα στα δεξιά:
x + 2) \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10}
Διαιρέστε τον πρώτο όρο στο μέρισμα με τον πρώτο όρο στον διαιρέτη και τοποθετήστε το αποτέλεσμα στη γραμμή πάνω από το τμήμα. Σε αυτήν την περίπτωση,Χ2 ÷ Χ = Χ, Έτσι:
\ start {aligned} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \ τέλος {στοίχιση}
Πολλαπλασιάστε αυτό το αποτέλεσμα με ολόκληρο τον διαιρέτη, έτσι σε αυτήν την περίπτωση,Χ + 2) × Χ = Χ2 + 2 Χ. Βάλτε αυτό το αποτέλεσμα κάτω από τη διαίρεση:
\ start {aligned} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \ end {στοίχιση}
Αφαιρέστε το αποτέλεσμα στη νέα γραμμή από τους όρους που βρίσκονται ακριβώς πάνω από αυτό (σημειώστε ότι τεχνικά αλλάζετε το σύμβολο, οπότε αν είχατε αρνητικό αποτέλεσμα θα το προσθέσατε αντ 'αυτού) και τοποθετήστε το σε μια γραμμή κάτω από αυτό. Μετακινήστε επίσης τον τελικό όρο από το αρχικό μέρισμα.
\ start {aligned} & x \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ τέλος {στοίχιση}
Τώρα επαναλάβετε τη διαδικασία με τον διαιρέτη και το νέο πολυώνυμο στην κατώτατη γραμμή. Διαιρέστε λοιπόν τον πρώτο όρο του διαιρέτη (Χ) από τον πρώτο όρο του μερίσματος (−5Χ) και το θέστε παραπάνω:
\ start {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \ τέλος {στοίχιση}
Πολλαπλασιάστε αυτό το αποτέλεσμα (−5Χ ÷ Χ= −5) από τον αρχικό διαιρέτη (έτσι (Χ + 2) × −5 = −5 Χ−10) και βάλτε το αποτέλεσμα σε μια νέα κατώτατη γραμμή:
\ start {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \ τέλος {στοίχιση}
Στη συνέχεια, αφαιρέστε την κάτω γραμμή από την επόμενη προς τα πάνω (οπότε σε αυτήν την περίπτωση αλλάξτε το σύμβολο και προσθέστε) και τοποθετήστε το αποτέλεσμα σε μια νέα κατώτατη γραμμή:
\ start {aligned} & x -5 \\ x + 2) & \ overline {x ^ 2 - 3 x - 10} \\ & x ^ 2 + 2 x \\ & 0 - 5 x - 10 \\ & -5 x - 10 \\ & 0 \ quad 0 \ end {στοίχιση}
Δεδομένου ότι υπάρχει τώρα μια σειρά μηδενικών στο κάτω μέρος, η διαδικασία έχει ολοκληρωθεί. Εάν απομένουν μη μηδενικοί όροι, θα επαναλάβετε τη διαδικασία ξανά. Το αποτέλεσμα είναι στην πρώτη γραμμή, οπότε:
\ frac {x ^ 2 - 3 x - 10} {x + 2} = x - 5
Αυτή η διαίρεση και μερικά άλλα μπορούν να επιλυθούν πιο απλά εάν μπορείτε παράγοντας το πολυώνυμο στο μέρισμα.