Οι τετραγωνικές εξισώσεις είναι τύποι που μπορούν να γραφτούν με τη μορφή Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Μερικές φορές, μια τετραγωνική εξίσωση μπορεί να απλοποιηθεί με factoring ή έκφραση της εξίσωσης ως προϊόν ξεχωριστών όρων. Αυτό μπορεί να κάνει την εξίσωση πιο εύκολη στην επίλυση. Οι παράγοντες μπορεί μερικές φορές να είναι δύσκολο να εντοπιστούν, αλλά υπάρχουν κόλπα που μπορούν να διευκολύνουν τη διαδικασία.
Μειώστε την εξίσωση με τον μεγαλύτερο κοινό παράγοντα
Εξετάστε την τετραγωνική εξίσωση για να προσδιορίσετε εάν υπάρχει ένας αριθμός και / ή μεταβλητή που μπορούν να διαιρέσουν κάθε όρο της εξίσωσης. Για παράδειγμα, εξετάστε την εξίσωση 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. Ο μεγαλύτερος αριθμός που μπορεί να χωριστεί ομοιόμορφα σε κάθε όρο της εξίσωσης είναι 2, οπότε το 2 είναι ο μεγαλύτερος κοινός παράγοντας (GCF).
Διαιρέστε κάθε όρο στην εξίσωση με το GCF και πολλαπλασιάστε ολόκληρη την εξίσωση με το GCF. Στο παράδειγμα εξίσωσης 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0, αυτό θα είχε ως αποτέλεσμα 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).
Απλοποιήστε την έκφραση ολοκληρώνοντας τη διαίρεση σε κάθε όρο. Δεν πρέπει να υπάρχουν κλάσματα στην τελική εξίσωση. Στο παράδειγμα, αυτό θα είχε ως αποτέλεσμα 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.
Αναζητήστε τη διαφορά των τετραγώνων (Εάν B = 0)
Εξετάστε την τετραγωνική εξίσωση για να δείτε αν έχει τη μορφή Ax ^ 2 + 0x - C = 0, όπου A = y ^ 2 και C = z ^ 2. Εάν συμβαίνει αυτό, η τετραγωνική εξίσωση εκφράζει τη διαφορά δύο τετραγώνων. Για παράδειγμα, στην εξίσωση 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 και C = 9 = 3 ^ 2, έτσι y = 2 και z = 3.
Συντελέστε την εξίσωση στη μορφή (yx + z) (yx - z) = 0. Στο παράδειγμα εξίσωσης, y = 2 και z = 3; Επομένως, η συντελεστή τετραγωνικής εξίσωσης είναι (2x + 3) (2x - 3) = 0. Αυτή θα είναι πάντα η παραγοντική μορφή μιας τετραγωνικής εξίσωσης που είναι η διαφορά των τετραγώνων.
Αναζητήστε τέλεια τετράγωνα
Εξετάστε την τετραγωνική εξίσωση για να δείτε αν είναι ένα τέλειο τετράγωνο. Εάν η τετραγωνική εξίσωση είναι ένα τέλειο τετράγωνο, μπορεί να γραφτεί με τη μορφή y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, όπως η εξίσωση 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, η οποία μπορεί να ξαναγραφεί ως (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. Σε αυτήν την περίπτωση, y = 2x και z = 3.
Ελέγξτε αν ο όρος 2yz είναι θετικός. Εάν ο όρος είναι θετικός, οι παράγοντες της τέλειας τετραγωνικής εξίσωσης τετραγώνου είναι πάντα (y + z) (y + z). Για παράδειγμα, στην παραπάνω εξίσωση, το 12x είναι θετικό, επομένως οι παράγοντες είναι (2x + 3) (2x + 3) = 0.
Ελέγξτε αν ο όρος 2yz είναι αρνητικός. Εάν ο όρος είναι αρνητικός, οι παράγοντες είναι πάντα (y - z) (y - z). Για παράδειγμα, εάν η παραπάνω εξίσωση είχε τον όρο -12x αντί για 12x, οι παράγοντες θα ήταν (2x - 3) (2x - 3) = 0.
Αντίστροφη μέθοδος πολλαπλασιασμού FOIL (Εάν A = 1)
Ρυθμίστε την παραγοντική μορφή της τετραγωνικής εξίσωσης γράφοντας (vx + w) (yx + z) = 0. Θυμηθείτε τους κανόνες για πολλαπλασιασμό FOIL (First, Outside, Inside, Last). Δεδομένου ότι ο πρώτος όρος της τετραγωνικής εξίσωσης είναι Ax ^ 2, και οι δύο παράγοντες της εξίσωσης πρέπει να περιλαμβάνουν ένα x.
Λύστε για v και y λαμβάνοντας υπόψη όλους τους παράγοντες του Α στην τετραγωνική εξίσωση. Εάν A = 1, τότε και τα δύο v και y θα είναι πάντα 1. Στο παράδειγμα εξίσωση x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, έτσι v και y μπορούν να επιλυθούν στην συντελεστή εξίσωσης για να πάρει (1x + w) (1x + z) = 0
Προσδιορίστε εάν τα w και z είναι θετικά ή αρνητικά. Ισχύουν οι ακόλουθοι κανόνες: C = θετικό και B = θετικό. Και οι δύο παράγοντες έχουν ένα + σύμβολο C = θετικό και B = αρνητικό. Και οι δύο παράγοντες έχουν ένα - C = αρνητικό και B = θετικό. ο παράγοντας με τη μεγαλύτερη τιμή έχει ένα + σύμβολο C = αρνητικό και B = αρνητικό. ο συντελεστής με τη μεγαλύτερη τιμή έχει ένα σύμβολο - στο παράδειγμα εξίσωσης από το Βήμα 2, B = -9 και C = +8, έτσι Και οι δύο παράγοντες της εξίσωσης θα έχουν - σημάδια, και η συντελεστή εξίσωσης μπορεί να γραφτεί ως (1x - w) (1x - z) = 0.
Δημιουργήστε μια λίστα με όλους τους παράγοντες C για να βρείτε τις τιμές για τα w και z. Στο παραπάνω παράδειγμα, C = 8, έτσι οι παράγοντες είναι 1 και 8, 2 και 4, -1 και -8, και -2 και -4. Οι παράγοντες πρέπει να προσθέσουν έως το B, το οποίο είναι -9 στο παράδειγμα εξίσωσης, οπότε w = -1 και z = -8 (ή το αντίστροφο) και η εξίσωση μας είναι πλήρως συνυπολογισμένη ως (1x - 1) (1x - 8) = 0
Μέθοδος κουτιού (Εάν δεν = 1)
Μειώστε την εξίσωση στην απλούστερη μορφή της, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Greatest Common Factor που αναφέρεται παραπάνω. Για παράδειγμα, στην εξίσωση 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0, το GCF είναι 9, επομένως η εξίσωση απλοποιείται σε 9 (x ^ 2 + 3x - 10).
Σχεδιάστε ένα κουτί και διαιρέστε το σε έναν πίνακα με δύο σειρές και δύο στήλες. Βάλτε το Ax ^ 2 της απλοποιημένης εξίσωσης στη σειρά 1, τη στήλη 1 και το C της απλοποιημένης εξίσωσης στη σειρά 2, στήλη 2.
Πολλαπλασιάστε το A με το C και βρείτε όλους τους παράγοντες του προϊόντος. Στο παραπάνω παράδειγμα, A = 1 και C = -10, έτσι το προϊόν είναι (1) (- 10) = -10. Οι συντελεστές του -10 είναι -1 και 10, -2 και 5, 1 και -10, και 2 και -5.
Προσδιορίστε ποιοι από τους παράγοντες του προϊόντος AC προσθέτουν έως το Β. Στο παράδειγμα, B = 3. Οι συντελεστές του -10 που προσθέτουν έως 3 είναι -2 και 5.
Πολλαπλασιάστε κάθε έναν από τους προσδιορισμένους παράγοντες με x. Στο παραπάνω παράδειγμα, αυτό θα είχε ως αποτέλεσμα -2x και 5x. Βάλτε αυτούς τους δύο νέους όρους στους δύο κενούς χώρους στο γράφημα, έτσι ώστε ο πίνακας να μοιάζει με αυτό:
x ^ 2 | 5χ
-2x | -10
Βρείτε το GCF για κάθε σειρά και στήλη του πλαισίου. Στο παράδειγμα, το CGF για την επάνω σειρά είναι x και για την κάτω σειρά είναι -2. Το GCF για την πρώτη στήλη είναι x και για τη δεύτερη στήλη είναι 5.
Γράψτε τη συντελεστή εξίσωσης στη φόρμα (w + v) (y + z) χρησιμοποιώντας τους παράγοντες που προσδιορίζονται από τις γραμμές γραφήματος για τα w και v, και τους παράγοντες που προσδιορίζονται από τις στήλες γραφήματος για τα y και z. Εάν η εξίσωση απλοποιήθηκε στο Βήμα 1, θυμηθείτε να συμπεριλάβετε το GCF της εξίσωσης στην παραγοντοποιημένη έκφραση. Στην περίπτωση του παραδείγματος, η συντελεστής εξίσωσης θα είναι 9 (x - 2) (x + 5) = 0.
Συμβουλές
Βεβαιωθείτε ότι η εξίσωση είναι σε τυπική τετραγωνική μορφή πριν ξεκινήσετε οποιαδήποτε από τις περιγραφόμενες μεθόδους.
Δεν είναι πάντα εύκολο να προσδιορίσετε ένα τέλειο τετράγωνο ή διαφορά τετραγώνων. Εάν μπορείτε να δείτε γρήγορα ότι η τετραγωνική εξίσωση που προσπαθείτε να συνυπολογίσετε βρίσκεται σε μία από αυτές τις μορφές, τότε αυτό μπορεί να είναι μεγάλη βοήθεια. Ωστόσο, μην ξοδεύετε πολύ χρόνο προσπαθώντας να το καταλάβετε, καθώς οι άλλες μέθοδοι θα μπορούσαν να είναι πιο γρήγορες.
Ελέγχετε πάντα την εργασία σας πολλαπλασιάζοντας τους παράγοντες χρησιμοποιώντας τη μέθοδο FOIL. Οι παράγοντες πρέπει πάντα να πολλαπλασιάζονται πίσω στην αρχική τετραγωνική εξίσωση.