Η στοιχειώδης άλγεβρα είναι ένας από τους κύριους κλάδους των μαθηματικών. Η Άλγεβρα εισάγει την έννοια της χρήσης μεταβλητών για την αναπαράσταση αριθμών και καθορίζει τους κανόνες για τον τρόπο χειρισμού εξισώσεων που περιέχουν αυτές τις μεταβλητές. Οι μεταβλητές είναι σημαντικές επειδή επιτρέπουν τη διαμόρφωση γενικευμένων μαθηματικών νόμων και επιτρέπουν την εισαγωγή άγνωστων αριθμών σε εξισώσεις. Αυτοί οι άγνωστοι αριθμοί είναι το επίκεντρο των προβλημάτων άλγεβρας, που συνήθως σας ζητούν να επιλύσετε την υποδεικνυόμενη μεταβλητή. Οι "τυπικές" μεταβλητές στην άλγεβρα παρουσιάζονται συχνά ως x και y.
Επίλυση γραμμικών και παραβολικών εξισώσεων
Μετακινήστε τυχόν σταθερές τιμές από την πλευρά της εξίσωσης με τη μεταβλητή στην άλλη πλευρά του σημείου ίσο. Για παράδειγμα, για την εξίσωση
4x ^ 2 + 9 = 16
αφαιρέστε το 9 και από τις δύο πλευρές της εξίσωσης για να αφαιρέσετε το 9 από τη μεταβλητή πλευρά:
4x ^ 2 + 9 - 9 = 16 - 9
που απλοποιείται
4x ^ 2 = 7
Διαιρέστε την εξίσωση με τον συντελεστή του μεταβλητού όρου. Για παράδειγμα,
\ text {if} 4x ^ 2 = 7 \ text {τότε} \ frac {4x ^ 2} {4} = \ frac {7} {4}
που οδηγεί σε
x ^ 2 = 1,75
Πάρτε τη σωστή ρίζα της εξίσωσης για να αφαιρέσετε τον εκθέτη της μεταβλητής. Για παράδειγμα,
\ text {if} x ^ 2 = 1,75 \ κείμενο {τότε} \ sqrt {x ^ 2} = \ sqrt {1,75}
που οδηγεί σε
x = 1,32
Λύστε για την ένδειξη μεταβλητής με ρίζες
Απομονώστε την έκφραση που περιέχει τη μεταβλητή χρησιμοποιώντας την κατάλληλη αριθμητική μέθοδο για να ακυρώσετε τη σταθερά στο πλάι της μεταβλητής. Για παράδειγμα, εάν
\ sqrt {x + 27} + 11 = 15
θα απομονώσετε τη μεταβλητή χρησιμοποιώντας αφαίρεση:
\ sqrt {x + 27} + 11 - 11 = 15 - 11 = 4
Αυξήστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με τη δύναμη της ρίζας της μεταβλητής για να απαλλαγείτε από τη μεταβλητή της ρίζας. Για παράδειγμα,
\ sqrt {x + 27} = 4 \ κείμενο {τότε} (\ sqrt {x + 27}) ^ 2 = 4 ^ 2
που σου δίνει
x + 27 = 16
Απομονώστε τη μεταβλητή χρησιμοποιώντας την κατάλληλη αριθμητική μέθοδο για να ακυρώσετε τη σταθερά στο πλάι της μεταβλητής. Για παράδειγμα, εάν
x + 27 = 16
χρησιμοποιώντας αφαίρεση:
x = 16 - 27 = -11
Επίλυση τετραγωνικών εξισώσεων
Ορίστε την εξίσωση στο μηδέν. Για παράδειγμα, για την εξίσωση
2x ^ 2 - x = 1
αφαιρέστε το 1 και από τις δύο πλευρές για να ρυθμίσετε την εξίσωση στο μηδέν
2x ^ 2 - x - 1 = 0
Συντελέστε ή συμπληρώστε το τετράγωνο του τετραγωνικού, όποιο από τα δύο είναι πιο εύκολο. Για παράδειγμα, για την εξίσωση
2x ^ 2 - x - 1 = 0
είναι ευκολότερο να λαμβάνονται υπόψη, έτσι:
2x ^ 2 - x - 1 = 0 \ κείμενο {γίνεται} (2x + 1) (x - 1) = 0
Λύστε την εξίσωση για τη μεταβλητή. Για παράδειγμα, εάν
(2x + 1) (x - 1) = 0
τότε η εξίσωση είναι μηδέν όταν:
2x + 1 = 0
Υπονοεί πως
2x = -1 \ text {, έτσι} x = - \ frac {1} {2}
ή πότε
\ text {when} x - 1 = 0 \ text {, παίρνετε} x = 1
Αυτές είναι οι λύσεις για την τετραγωνική εξίσωση.
Επίλυση εξίσωσης για κλάσματα
Συντελεστής κάθε παρονομαστή. Για παράδειγμα,
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {x ^ 2 - 9}
μπορεί να ληφθεί υπόψη για να γίνει:
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {(x - 3) (x + 3)}
Πολλαπλασιάστε κάθε πλευρά της εξίσωσης με το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών. Το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο είναι η έκφραση στην οποία κάθε παρονομαστής μπορεί να χωριστεί ομοιόμορφα. Για την εξίσωση
\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} = \ frac {10} {(x - 3) (x + 3)}
το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο είναι (Χ − 3)(Χ+ 3). Ετσι,
(x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {1} {x - 3} + \ frac {1} {x + 3} \ bigg) = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
γίνεται
\ frac {(x - 3) (x + 3)} {x - 3} + \ frac {(x - 3) (x + 3)} {x + 3} = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
Ακύρωση όρων και επίλυσηΧ. Για παράδειγμα, ακύρωση όρων για την εξίσωση
\ frac {(x - 3) (x + 3)} {x - 3} + \ frac {(x - 3) (x + 3)} {x + 3} = (x - 3) (x + 3) \ bigg (\ frac {10} {(x - 3) (x + 3)} \ bigg)
δίνει:
(x + 3) + (x - 3) = 10
Οδηγεί σε
2x = 10 \ κείμενο {και} x = 5
Αντιμετώπιση Εκθετικών Εξισώσεων
Απομονώστε την εκθετική έκφραση ακυρώνοντας τυχόν σταθερούς όρους. Για παράδειγμα,
100 × (14 ^ x) + 6 = 10
γίνεται
\ start {aligned} 100 × (14 ^ x) + 6 - 6 & = 10 - 6 \\ & = 4 \ end {στοίχιση}
Ακυρώστε τον συντελεστή της μεταβλητής διαιρώντας και τις δύο πλευρές με τον συντελεστή. Για παράδειγμα,
100 × (14 ^ x) = 4
γίνεται
\ frac {100 × (14 ^ x)} {100} = \ frac {4} {100} \\ \, \\ 14 ^ x = 0,04
Πάρτε το φυσικό αρχείο καταγραφής της εξίσωσης για να κατεβάσετε τον εκθέτη που περιέχει τη μεταβλητή. Για παράδειγμα,
14 ^ x = 0,04
μπορεί να γραφτεί ως (χρησιμοποιώντας ορισμένες ιδιότητες λογάριθμων):
\ ln (14 ^ x) = \ ln (0,04) \\ x × \ ln (14) = \ ln \ bigg (\ frac {1} {25} \ bigg) \\ x × \ ln (14) = \ ln (1) - \ ln (25) \\ x × \ ln (14) = 0 - \ ln (25)
Λύστε την εξίσωση για τη μεταβλητή. Για παράδειγμα,
x × \ ln (14) = 0 - \ ln (25) \ κείμενο {γίνεται} x = \ frac {- \ ln (25)} {\ ln (14)} = -1,22
Λύση για λογαριθμικές εξισώσεις
Απομονώστε το φυσικό αρχείο καταγραφής της μεταβλητής. Για παράδειγμα, η εξίσωση
2 \ ln (3x) = 4 \ κείμενο {γίνεται} \ ln (3x) = \ frac {4} {2} = 2
Μετατρέψτε την εξίσωση log σε εκθετική εξίσωση αυξάνοντας το log σε εκθέτη της κατάλληλης βάσης. Για παράδειγμα,
\ ln (3x) = 2
γίνεται:
e ^ {\ ln (3x)} = e ^ 2
Λύστε την εξίσωση για τη μεταβλητή. Για παράδειγμα,
e ^ {\ ln (3x)} = e ^ 2
γίνεται
\ frac {3x} {3} = \ frac {e ^ 2} {3} \ text {so} x = 2.46