Τι είναι οι πραγματικοί αριθμοί;

Οι πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί σε μια γραμμή αριθμών που εκτείνονται από αρνητικό άπειρο έως μηδέν έως θετικό άπειρο. Αυτή η κατασκευή του συνόλου των πραγματικών αριθμών δεν είναι αυθαίρετη, αλλά μάλλον το αποτέλεσμα μιας εξέλιξης από τους φυσικούς αριθμούς που χρησιμοποιούνται για την καταμέτρηση. Το σύστημα των φυσικών αριθμών έχει πολλές ασυνέπειες, και καθώς οι υπολογισμοί έγιναν πιο περίπλοκοι, το σύστημα αριθμών επεκτάθηκε για να αντιμετωπίσει τους περιορισμούς του. Με πραγματικούς αριθμούς, οι υπολογισμοί δίνουν συνεπή αποτελέσματα και υπάρχουν λίγες εξαιρέσεις ή περιορισμοί όπως υπήρχαν με τις πιο πρωτόγονες εκδόσεις του αριθμητικού συστήματος.

TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από όλους τους αριθμούς σε μια γραμμή αριθμών. Αυτό περιλαμβάνει φυσικούς αριθμούς, ακέραιους αριθμούς, ακέραιους αριθμούς, λογικούς αριθμούς και παράλογους αριθμούς. Δεν περιλαμβάνει φανταστικούς αριθμούς ή σύνθετους αριθμούς.

Το κλείσιμο είναι η ιδιότητα ενός συνόλου αριθμών που σημαίνει ότι εάν επιτρέπονται υπολογισμοί σε αριθμούς που είναι μέλη του συνόλου, οι απαντήσεις θα είναι επίσης αριθμοί που είναι μέλη του συνόλου. Το σετ λέγεται ότι είναι κλειστό.

Οι φυσικοί αριθμοί είναι οι αριθμοί καταμέτρησης, 1, 2, 3... και το σύνολο των φυσικών αριθμών δεν είναι κλειστό. Καθώς οι φυσικοί αριθμοί χρησιμοποιήθηκαν στο εμπόριο, προέκυψαν αμέσως δύο προβλήματα. Ενώ οι φυσικοί αριθμοί μέτρησαν πραγματικά αντικείμενα, για παράδειγμα αγελάδες, αν ένας αγρότης είχε πέντε αγελάδες και πούλησε πέντε αγελάδες, δεν υπήρχε φυσικός αριθμός για το αποτέλεσμα. Τα συστήματα πρώιμων αριθμών ανέπτυξαν πολύ γρήγορα έναν όρο για το μηδέν για την αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος. Το αποτέλεσμα ήταν το σύστημα ολόκληρων αριθμών, που είναι οι φυσικοί αριθμοί συν μηδέν.

Το δεύτερο πρόβλημα συσχετίστηκε επίσης με την αφαίρεση. Όσο οι αριθμοί μετρούν πραγματικά αντικείμενα όπως αγελάδες, ο αγρότης δεν μπορούσε να πουλήσει περισσότερες αγελάδες από ό, τι είχε. Αλλά όταν οι αριθμοί έγιναν αφηρημένοι, η αφαίρεση μεγαλύτερων αριθμών από μικρότερους έδωσε απαντήσεις έξω από το σύστημα ολόκληρων αριθμών. Ως αποτέλεσμα, εισήχθησαν ακέραιοι αριθμοί, οι οποίοι είναι ολόκληροι και αρνητικοί φυσικοί αριθμοί. Το σύστημα αριθμών περιλάμβανε τώρα μια πλήρη γραμμή αριθμών, αλλά μόνο με ακέραιους αριθμούς.

Οι υπολογισμοί σε ένα κλειστό σύστημα αριθμών πρέπει να δίνουν απαντήσεις από το σύστημα αριθμών για λειτουργίες όπως προσθήκη και πολλαπλασιασμός αλλά και για τις αντίστροφες λειτουργίες, αφαίρεση και διαίρεση. Το σύστημα των ακεραίων είναι κλειστό για προσθήκη, αφαίρεση και πολλαπλασιασμό, αλλά όχι για διαίρεση. Εάν ένας ακέραιος διαιρείται με έναν άλλο ακέραιο, το αποτέλεσμα δεν είναι πάντα ακέραιος.

Ο διαχωρισμός ενός μικρού ακέραιου από έναν μεγαλύτερο δίνει ένα κλάσμα. Τέτοια κλάσματα προστέθηκαν στο σύστημα αριθμών ως λογικοί αριθμοί. Οι λογικοί αριθμοί ορίζονται ως οποιοσδήποτε αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως αναλογία δύο ακέραιων αριθμών. Οποιοσδήποτε αυθαίρετος δεκαδικός αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως λογικός αριθμός. Για παράδειγμα, το 2.864 είναι 2864/1000 και το 0.89632 είναι 89632 / 100,000. Η γραμμή αριθμών φάνηκε τώρα να είναι πλήρης.

Υπάρχουν αριθμοί στη γραμμή αριθμών που δεν μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα ακέραιων αριθμών. Το ένα είναι η αναλογία των πλευρών ενός ορθογώνιου τριγώνου προς την υποτείνουσα. Εάν δύο από τις πλευρές ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι 1 και 1, η υποτείνουσα είναι η τετραγωνική ρίζα του 2. Η τετραγωνική ρίζα των δύο είναι ένα άπειρο δεκαδικό που δεν επαναλαμβάνεται. Αυτοί οι αριθμοί ονομάζονται παράλογοι και περιλαμβάνουν όλους τους πραγματικούς αριθμούς που δεν είναι λογικοί. Με αυτόν τον ορισμό, η γραμμή αριθμών όλων των πραγματικών αριθμών είναι πλήρης επειδή οποιοσδήποτε άλλος πραγματικός αριθμός που δεν είναι λογικός περιλαμβάνεται στον ορισμό του παράλογου.

Αν και η πραγματική γραμμή αριθμών λέγεται ότι εκτείνεται από αρνητικό σε θετικό άπειρο, το ίδιο το άπειρο δεν είναι πραγματικός αριθμός αλλά μάλλον μια έννοια του συστήματος αριθμών που το ορίζει ως ποσότητα μεγαλύτερη από οποιαδήποτε αριθμός. Μαθηματικά άπειρο είναι η απάντηση στο 1 / x καθώς το x φτάνει στο μηδέν, αλλά η διαίρεση με το μηδέν δεν ορίζεται. Εάν το άπειρο ήταν ένας αριθμός, θα οδηγούσε σε αντιφάσεις, επειδή το άπειρο δεν ακολουθεί τους νόμους της αριθμητικής. Για παράδειγμα, το άπειρο συν 1 είναι ακόμα άπειρο.

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι κλειστό για προσθήκη, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση εκτός από τη διαίρεση με μηδέν, το οποίο δεν ορίζεται. Το σετ δεν είναι κλειστό για τουλάχιστον μία άλλη λειτουργία.

Οι κανόνες πολλαπλασιασμού στο σύνολο των πραγματικών αριθμών καθορίζουν ότι ο πολλαπλασιασμός ενός αρνητικού και a Ο θετικός αριθμός δίνει έναν αρνητικό αριθμό ενώ ο πολλαπλασιασμός θετικών ή αρνητικών αριθμών δίνει θετικό απαντήσεις. Αυτό σημαίνει ότι η ειδική περίπτωση πολλαπλασιασμού ενός αριθμού από μόνη της αποδίδει έναν θετικό αριθμό τόσο για θετικούς όσο και για αρνητικούς αριθμούς. Το αντίστροφο αυτής της ειδικής περίπτωσης είναι η τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού, δίνοντας τόσο θετική όσο και αρνητική απάντηση. Για την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού, δεν υπάρχει απάντηση στο σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Η έννοια του συνόλου φανταστικών αριθμών αντιμετωπίζει το ζήτημα των αρνητικών τετραγωνικών ριζών στους πραγματικούς αριθμούς. Η τετραγωνική ρίζα του μείον 1 ορίζεται ως i και όλοι οι φανταστικοί αριθμοί είναι πολλαπλάσια του i. Για να ολοκληρωθεί η θεωρία αριθμών, το σύνολο των πολύπλοκων αριθμών ορίζεται ως συμπεριλαμβανομένων όλων των πραγματικών και όλων των φανταστικών αριθμών. Οι πραγματικοί αριθμοί μπορούν να συνεχίσουν να απεικονίζονται σε μια οριζόντια γραμμή αριθμών, ενώ οι φανταστικοί αριθμοί είναι μια κατακόρυφη γραμμή αριθμών, με τους δύο να τέμνονται στο μηδέν. Οι σύνθετοι αριθμοί είναι σημεία στο επίπεδο των δύο γραμμών αριθμών, το καθένα με πραγματικό και φανταστικό στοιχείο.