Η άλγεβρα συνεπάγεται συχνά απλοποίηση των εκφράσεων, αλλά ορισμένες εκφράσεις είναι πιο συγκεχυμένες για την αντιμετώπιση από άλλες. Οι σύνθετοι αριθμοί περιλαμβάνουν την ποσότητα που είναι γνωστή ωςΕγώ, έναν «φανταστικό» αριθμό με την ιδιότηταΕγώ= √−1. Εάν πρέπει απλώς να εκφράσετε έναν πολύπλοκο αριθμό, μπορεί να φαίνεται τρομακτικό, αλλά είναι μια πολύ απλή διαδικασία μόλις μάθετε τους βασικούς κανόνες.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Απλοποιήστε τους σύνθετους αριθμούς ακολουθώντας τους κανόνες της άλγεβρας με τους σύνθετους αριθμούς.
Τι είναι ένας σύνθετος αριθμός;
Οι σύνθετοι αριθμοί καθορίζονται από τη συμπερίληψή τους τουΕγώόρος, που είναι η τετραγωνική ρίζα του πλην ενός. Στα μαθηματικά βασικού επιπέδου, οι τετραγωνικές ρίζες αρνητικών αριθμών δεν υπάρχουν πραγματικά, αλλά περιστασιακά εμφανίζονται σε προβλήματα άλγεβρας. Η γενική φόρμα για έναν σύνθετο αριθμό δείχνει τη δομή τους:
z = a + bi
Οπουζεπισημαίνει τον σύνθετο αριθμό,ένααντιπροσωπεύει οποιονδήποτε αριθμό (ονομάζεται "πραγματικό" μέρος) και
σιαντιπροσωπεύει έναν άλλο αριθμό (που ονομάζεται "φανταστικό" μέρος), και οι δύο μπορεί να είναι θετικοί ή αρνητικοί. Έτσι, ένα παράδειγμα σύνθετου αριθμού είναι:z = 2 −4i
Δεδομένου ότι όλες οι τετραγωνικές ρίζες των αρνητικών αριθμών μπορούν να αναπαρασταθούν με πολλαπλάσια τουΕγώ, αυτή είναι η φόρμα για όλους τους πολύπλοκους αριθμούς. Τεχνικά, ένας κανονικός αριθμός περιγράφει απλώς μια ειδική περίπτωση ενός σύνθετου αριθμού όπουσι= 0, επομένως όλοι οι αριθμοί θα μπορούσαν να θεωρηθούν περίπλοκοι.
Βασικοί κανόνες για την άλγεβρα με σύνθετους αριθμούς
Για να προσθέσετε και να αφαιρέσετε πολύπλοκους αριθμούς, απλώς προσθέστε ή αφαιρέστε τα πραγματικά και φανταστικά μέρη ξεχωριστά. Έτσι για πολύπλοκους αριθμούςζ = 2 – 4Εγώκαιβ = 3 + 5Εγώ, το άθροισμα είναι:
\ start {aligned} z + w & = (2 - 4i) + (3 + 5i) \\ & = (2 + 3) + (-4 + 5) i \\ & = 5 + 1i \\ & = 5 + i \ end {στοίχιση}
Η αφαίρεση των αριθμών λειτουργεί με τον ίδιο τρόπο:
\ start {aligned} z- w & = (2 - 4i) - (3 + 5i) \\ & = (2 - 3) + (-4 - 5) i \\ & = -1 -9i \ end {στοίχιση }
Ο πολλαπλασιασμός είναι μια άλλη απλή λειτουργία με πολύπλοκους αριθμούς, επειδή λειτουργεί σαν συνηθισμένος πολλαπλασιασμός, εκτός από το ότι πρέπει να το θυμάστεΕγώ2 = −1. Έτσι, για τον υπολογισμό 3Εγώ × −4Εγώ:
3i × -4i = -12i ^ 2
Αλλά από τότεΕγώ2= −1, τότε:
-12i ^ 2 = -12 × -1 = 12
Με πλήρεις σύνθετους αριθμούς (χρήσηζ = 2 – 4Εγώκαιβ = 3 + 5Εγώκαι πάλι), τους πολλαπλασιάζετε με τον ίδιο τρόπο που θα κάνατε με τους συνηθισμένους αριθμούς όπως (ένα + σι) (ντο + ρε), χρησιμοποιώντας τη μέθοδο «πρώτη, εσωτερική, εξωτερική, τελευταία» (FOIL), για να δώσει (ένα + σι) (ντο + ρε) = μετα Χριστον + προ ΧΡΙΣΤΟΥ + Ενα δ + βδ. Το μόνο που πρέπει να θυμάστε είναι να απλοποιήσετε τυχόν περιπτώσειςΕγώ2. Έτσι, για παράδειγμα:
\ start {aligned} z × w & = (2 -4i) (3 + 5i) \\ & = (2 × 3) + (-4i × 3) + (2 × 5i) + (−4i × 5i) \ \ & = 6 -12i + 10i - 20i ^ 2 \\ & = 6 -2i + 20 \\ & = 26 + 2i \ τέλος {στοίχιση}
Διαίρεση σύνθετων αριθμών
Ο διαχωρισμός των σύνθετων αριθμών περιλαμβάνει τον πολλαπλασιασμό του αριθμητή και του παρονομαστή του κλάσματος με το σύμπλοκο σύζευξης του παρονομαστή. Το σύνθετο σύζευγμα σημαίνει απλώς την έκδοση του σύνθετου αριθμού με το φανταστικό μέρος να αντιστρέφεται σε ένδειξη. Ετσι, γιαζ = 2 – 4Εγώ, το σύμπλοκο σύζευγμαζ = 2 + 4Εγώ, και γιαβ = 3 + 5Εγώ, β = 3 −5Εγώ. Για το πρόβλημα:
\ frac {z} {w} = \ frac {2 -4i} {3 + 5i}
Το συζυγές που απαιτείται είναιβ*. Διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με αυτό για να δώσετε:
\ frac {z} {w} = \ frac {(2 -4i) (3 -5i)} {(3 + 5i) (3-5i)}
Και μετά εργάζεστε όπως στην προηγούμενη ενότητα. Ο αριθμητής δίνει:
\ start {aligned} (2 -4i) (3 -5i) & = 6 -12i 10i + 20i ^ 2 \\ & = -14-22i \ end {στοίχιση}
Και ο παρονομαστής δίνει:
\ start {aligned} (3 + 5i) (3-5i) & = 9 + 15i - 15i -25i ^ 2 \\ & = 9 + 25 \\ & = 34 \ end {στοίχιση}
Αυτό σημαίνει:
\ begin {aligned} \ frac {z} {w} & = \ frac {-14 - 22i} {34} \\ \, \\ & = \ frac {-14} {34} - \ frac {22i} { 34} \\ \, \\ & = \ frac {-7} {17} - \ frac {11i} {17} \ τέλος {στοίχιση}
Απλοποίηση σύνθετων αριθμών
Χρησιμοποιήστε τους παραπάνω κανόνες όπως απαιτείται για να απλοποιήσετε τις σύνθετες εκφράσεις. Για παράδειγμα:
z = \ frac {(4 + 2i) + (2 -i)} {(2 + 2i) (2+ i)}
Αυτό μπορεί να απλοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον κανόνα προσθήκης στον αριθμητή, τον κανόνα πολλαπλασιασμού στον παρονομαστή και, στη συνέχεια, ολοκληρώνοντας τη διαίρεση. Για τον αριθμητή:
(4 + 2i) + (2 - i) = 6 + i
Για τον παρονομαστή:
\ start {aligned} (2 + 2i) (2+ i) & = 4 + 4i + 2i + 2i ^ 2 \\ & = (4 -2) + 6i \\ & = 2 + 6i \ τέλος {στοίχιση}
Η επαναφορά τους στη θέση του δίνει:
z = \ frac {6 + i} {2 + 6i}
Ο πολλαπλασιασμός και των δύο μερών με το συζυγές του παρονομαστή οδηγεί σε:
\ start {aligned} z & = \ frac {(6 + i) (2 - 6i)} {(2 + 6i) (2 -6i)} \\ \, \\ & = \ frac {12 + 2i -36i -6i ^ 2} {4 + 12i -12i -36i ^ 2} \\ \, \\ & = \ frac {18 - 34i} {40} \\ \, \\ & = \ frac {9 - 17i} {20} \\ \, \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {στοίχιση}
Αυτό σημαίνειζαπλοποιείται ως εξής:
\ begin {aligned} z & = \ frac {(4 + 2i) + (2 - i)} {(2 + 2i) (2+ i)} \\ & = \ frac {9} {20} - \ frac {17i} {20} \\ \ end {στοίχιση}