Τα βασικά του λογισμού

Ο υπολογισμός υπάρχει από τα αρχαία χρόνια και, στην απλούστερη μορφή του, χρησιμοποιείται για την καταμέτρηση. Η σημασία του στον κόσμο των μαθηματικών είναι η πλήρωση του κενού της επίλυσης πολύπλοκων προβλημάτων, όταν πιο απλά μαθηματικά δεν μπορούν να δώσουν την απάντηση. Αυτό που πολλοί άνθρωποι δεν συνειδητοποιούν είναι ότι ο λογισμός διδάσκεται επειδή χρησιμοποιείται στην καθημερινή ζωή έξω από τις αίθουσες γυμνασίου και κολλεγίων. Από το σχεδιασμό ενός κτιρίου έως τον υπολογισμό των πληρωμών δανείων, ο λογισμός μας περιβάλλει.

Δύο άντρες του 17ου αιώνα, ο Gottfried Wilhelm Liebniz και ο Sir Isaac Newton πιστώνεται συχνά ότι εργάζονται για την ανάπτυξη αρχών λογισμού. Ωστόσο, λόγω των διαφορών στις οποίες ο άνθρωπος ανέπτυξε πρώτα συμπεράσματα, θεωρήθηκε ότι οι δύο εργάστηκαν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο για το θέμα. Άλλοι ισχυρισμοί σχετικά με την προέλευση αυτού του τύπου μαθηματικών περιλαμβάνουν τους Έλληνες που ασχολούνται με τις κύριες ιδέες που αποτελούν τη βάση για τον υπολογισμό ήδη από το 450 π.Χ.

Ο υπολογισμός αποτελείται από δύο κύριους κλάδους που ονομάζονται διαφορικός και ακέραιος λογισμός. Το διαφορικό λογισμό ασχολείται με παράγωγα και τις εφαρμογές τους. Ο ακέραιος λογισμός υπονοεί μια μορφή μαθηματικών που προσδιορίζει τους όγκους, τις περιοχές και τις λύσεις στις εξισώσεις. Το διαφορικό λογισμό είναι μια μελέτη των συναρτήσεων και του ρυθμού μεταβολής των συναρτήσεων όταν μεταβάλλονται οι μεταβλητές. Ο ακέραιος υπολογισμός επικεντρώνεται στον προσδιορισμό μαθηματικών απαντήσεων όπως το συνολικό μέγεθος ή η τιμή.

Ένα σημαντικό χαρακτηριστικό του διαφορικού λογισμού είναι η χρήση γραφημάτων. Οποιοδήποτε πρόβλημα στο οποίο η απάντηση ορίζεται ως ένα σημείο σε ένα γράφημα είναι όπου εμπλέκεται ο διαφορικός λογισμός. Συνήθως αναγνωρίζει την απότομη καμπύλη, συνήθως γνωστή ως κλίση. Σε εφαρμογές πραγματικού κόσμου, η απότομη καμπύλη θα μπορούσε να αντιπροσωπεύεται από πράγματα όπως λόφος ή γέφυρα. Ο ακέραιος υπολογισμός κάνει το επόμενο βήμα εργαζόμενος για την επίλυση ερωτήσεων, όπως «πόσο νερό θα χρειαζόταν για να γεμίσει ένα πισίνα?" Οι αριθμοί και οι μεταβλητές ενσωματώνονται σε μια πιο περίπλοκη εξίσωση ή τύπο για να φτάσουν στον τελικό απάντηση.

Το Calculus έχει πολλές πραγματικές εφαρμογές. Όταν υπάρχει ένα πιο περίπλοκο πρόβλημα για επίλυση ή περιλαμβάνει ασυνήθιστα σχήματα ή μεγέθη, το λογισμό γίνεται το εργαλείο για να φτάσει στη λύση. Για παράδειγμα, εάν υπάρχει μια ασυνήθιστη στέγη, όπως οι στέγες που εκτείνονται πάνω από αθλητικά στάδια, οι σχεδιαστές θα χρησιμοποιούν εργαλεία λογισμού για να σχεδιάσουν το μέγεθος και τη δύναμη της κατασκευής. Για κάθε επαγγελματία που προσπαθεί να προσδιορίσει την εργασία, την περιοχή, τον όγκο, την κλίση ή την επιφάνεια, ο λογισμός θα δώσει την απάντηση.

Στο διαφορικό λογισμό, η μέτρηση του ρυθμού μεταβολής σε οποιοδήποτε δεδομένο σημείο σε μια καμπύλη ονομάζεται παράγωγο. Συχνά, περιγράφεται ως μέτρηση της κλίσης μιας γραμμής σε εξισώσεις. Ας υποθέσουμε ότι η γραμμή είναι ευθεία σε ένα γράφημα, με το γράφημα να έχει συντεταγμένη X και Y. Η κλίση (m) ορίζεται ως η διαφορά στο Υ διαιρούμενη με τη διαφορά στο X. Εδώ είναι η διαφορική εξίσωση λογισμού: (Y2-Y1) Κλίση = m = (X2-X1) Ο ακέραιος υπολογισμός περιλαμβάνει τον υπολογισμό περιοχών. Κατά τον υπολογισμό μιας περιοχής, αυτή η διαδικασία «ολοκλήρωσης» οδηγεί σε έναν τύπο γνωστό ως ολοκλήρωση. Μερικοί θα αναφέρουν το ακέραιο ως το αντι-παράγωγο που βρίσκεται στο διαφορικό λογισμό. Παρακάτω είναι μια απλή μορφή ακέραιου λογισμού: Για μια συνάρτηση της μορφής k * xn, το ακέραιο ισούται με k * x (n + 1) (n + 1) Αυτά οι τύποι, ενώ είναι απλοί και βασικοί, παρέχουν στοιχειώδη παραδείγματα για την εισαγωγή του ευρέως και εκτεταμένου μαθηματικού κόσμου που είναι γνωστό ως λογισμός.