Πώς πετούν τα αεροπλάνα; Γιατί μια καμπύλη ακολουθεί ένα τόσο παράξενο μονοπάτι; Και γιατί πρέπει να ανεβείτε στοεξω αποτων παραθύρων σας κατά τη διάρκεια μιας καταιγίδας; Οι απαντήσεις σε όλες αυτές τις ερωτήσεις είναι οι ίδιες: Είναι αποτέλεσμα της αρχής του Μπερνούλι.
Η αρχή του Bernoulli, που μερικές φορές ονομάζεται και το φαινόμενο Bernoulli, είναι ένα από τα πιο σημαντικά αποτελέσματα στη μελέτη της δυναμικής του ρευστού, που σχετίζεται με την ταχύτητα της ροής του υγρού στην πίεση του υγρού. Αυτό μπορεί να μην φαίνεται ιδιαίτερα σημαντικό, αλλά καθώς το τεράστιο φάσμα φαινομένων βοηθά στην εξήγηση των εκπομπών, ο απλός κανόνας μπορεί να αποκαλύψει πολλά για τη συμπεριφορά ενός συστήματος. Η δυναμική του ρευστού είναι η μελέτη του κινούμενου υγρού, και επομένως είναι λογικό ότι η αρχή και η συνοδευτική εξίσωση (εξίσωση Bernoulli) εμφανίζονται αρκετά συχνά στο πεδίο.
Μαθαίνοντας για την αρχή, την εξίσωση που την περιγράφει και μερικά παραδείγματα της αρχής του Bernoulli σε δράση, σας προετοιμάζει για πολλά προβλήματα που θα συναντήσετε στη δυναμική ρευστού.
Η αρχή του Μπερνούλι
Η αρχή του Bernoulli πήρε το όνομά του από τον Daniel Bernoulli, τον Ελβετό φυσικό και μαθηματικό που το ανέπτυξε. Η αρχή συσχετίζει την πίεση του υγρού με την ταχύτητα και την ανύψωσή του, και μπορεί να εξηγηθεί μέσω της εξοικονόμησης ενέργειας. Εν ολίγοις, δηλώνει ότι εάν η ταχύτητα ενός υγρού αυξάνεται, τότε είτε η στατική του πίεση πρέπει να μειωθεί για να αντισταθμιστεί, είτε η πιθανή ενέργειά του πρέπει να μειωθεί.
Η σχέση με τη διατήρηση της ενέργειας είναι σαφής από αυτό: είτε η πρόσθετη ταχύτητα προέρχεται από το δυναμικό ενέργεια (δηλαδή, η ενέργεια που κατέχει λόγω της θέσης της) ή από την εσωτερική ενέργεια που δημιουργεί την πίεση του υγρό.
Η αρχή Bernoulli εξηγεί συνεπώς τους κύριους λόγους για τη ροή υγρών που πρέπει να λάβουν υπόψη οι φυσικοί στη δυναμική των υγρών. Είτε το ρευστό ρέει ως αποτέλεσμα της ανύψωσης (έτσι η δυνητική του ενέργεια αλλάζει) είτε ρέει λόγω πίεσης διαφορές σε διαφορετικά μέρη του υγρού (έτσι τα υγρά στη ζώνη υψηλής ενέργειας και υψηλότερης πίεσης μετακινούνται στη χαμηλή πίεση ζώνη). Η αρχή είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο επειδή συνδυάζει τους λόγους για τους οποίους κινείται το υγρό.
Ωστόσο, το πιο σημαντικό πράγμα που πρέπει να ληφθεί από την αρχή είναι ότι το ρευστό που ρέει ταχύτερα έχει χαμηλότερη πίεση. Εάν το θυμάστε αυτό, θα μπορείτε να πάρετε το βασικό μάθημα από την αρχή, και αυτό από μόνο του αρκεί για να εξηγήσετε πολλά φαινόμενα, συμπεριλαμβανομένων των τριών στην εισαγωγική παράγραφο.
Εξίσωση Bernoulli
Η εξίσωση Bernoulli θέτει την αρχή Bernoulli σε σαφέστερους, πιο ποσοτικούς όρους. Η εξίσωση δηλώνει ότι:
P + \ frac {1} {2} \ rho v ^ 2 + \ rho gh = \ text {σταθερά σε ολόκληρο}
ΕδώΠείναι η πίεση,ρείναι η πυκνότητα του υγρού,βείναι η ταχύτητα του ρευστού,σολείναι η επιτάχυνση λόγω βαρύτητας καιηείναι το ύψος ή το βάθος. Ο πρώτος όρος στην εξίσωση είναι απλά η πίεση, ο δεύτερος όρος είναι η κινητική ενέργεια του ρευστό ανά μονάδα όγκου και ο τρίτος όρος είναι η δυναμική βαρυτική ενέργεια ανά μονάδα όγκου για το υγρό. Όλα αυτά εξισώνονται με μια σταθερά, οπότε μπορείτε να το δείτε αν έχετε την τιμή ταυτόχρονα και την τιμή αργότερα χρόνο, μπορείτε να ρυθμίσετε τα δύο να είναι ισότιμα μεταξύ τους, πράγμα που αποδεικνύεται ότι είναι ένα ισχυρό εργαλείο για την επίλυση της δυναμικής του υγρού προβλήματα:
P_1 + \ frac {1} {2} \ rho v_1 ^ 2 + \ rho gh_1 = P_2 + \ frac {1} {2} \ rho v_2 ^ 2 + \ rho gh_2
Ωστόσο, είναι σημαντικό να σημειώσετε τους περιορισμούς στην εξίσωση του Bernoulli. Συγκεκριμένα, υποθέτει ότι υπάρχει μια ευθυγράμμιση μεταξύ των σημείων 1 και 2 (τα μέρη που επισημαίνονται από τους συνδρομητές), υπάρχει μια σταθερή ροή, υπάρχει καμία τριβή στη ροή (λόγω ιξώδους εντός του υγρού ή μεταξύ του υγρού και των πλευρών του σωλήνα) και ότι το ρευστό έχει σταθερά πυκνότητα. Αυτό δεν συμβαίνει γενικά, αλλά για αργή ροή ρευστού που μπορεί να περιγραφεί ως στρωτή ροή, οι προσεγγίσεις της εξίσωσης είναι κατάλληλες.
Εφαρμογές της Αρχής του Μπερνούλι - ένας σωλήνας με περιορισμό
Το πιο συνηθισμένο παράδειγμα της αρχής του Μπερνούλι είναι αυτό ενός ρευστού που ρέει μέσω ενός οριζόντιου σωλήνα, που στενεύει στη μέση και στη συνέχεια ανοίγει ξανά. Αυτό είναι εύκολο να επιλυθεί με την αρχή του Bernoulli, αλλά πρέπει επίσης να χρησιμοποιήσετε την εξίσωση συνέχειας για να την επεξεργαστείτε, η οποία αναφέρει:
ρA_1v_1 = ρA_2v_2
Αυτό χρησιμοποιεί τους ίδιους όρους, εκτός απόΕΝΑ, που σημαίνει την περιοχή διατομής του σωλήνα, και δεδομένου ότι η πυκνότητα είναι ίση και στα δύο σημεία, αυτοί οι όροι μπορούν να αγνοηθούν για τους σκοπούς αυτού του υπολογισμού. Κατ 'αρχάς, αναδιατάξτε την εξίσωση συνέχειας για να δώσετε μια έκφραση για την ταχύτητα στο περιορισμένο τμήμα:
v_2 = \ frac {A_1v_1} {A_2}
Αυτό μπορεί στη συνέχεια να εισαχθεί στην εξίσωση του Bernoulli για την επίλυση της πίεσης στο μικρότερο τμήμα του σωλήνα:
P_1 + \ frac {1} {2} \ rho v_1 ^ 2 + \ rho gh_1 = P_2 + \ frac {1} {2} \ rho v_2 ^ 2 + \ rho gh_2 \\ P_1 + \ frac {1} {2 } \ rho v_1 ^ 2 + \ rho gh_1 = P_2 + \ frac {1} {2} \ rho \ bigg (\ frac {A_1v_1} {A_2} \ bigg) ^ 2 + \ rho gh_2
Αυτό μπορεί να τακτοποιηθεί εκ νέου γιαΠ2, σημειώνοντας ότι σε αυτήν την περίπτωση,η1 = η2, και έτσι ο τρίτος όρος σε κάθε πλευρά ακυρώνεται.
P_2 = P_1 + \ frac {1} {2} \ rho \ bigg (v_1 ^ 2 - \ bigg (\ frac {A_1v_1} {A_2} \ bigg) ^ 2 \ bigg)
Χρησιμοποιώντας την πυκνότητα νερού στους 4 βαθμούς Κελσίου,ρ= 1000 kg / m3, η αξία τουΠ1 = 100 kPa, η αρχική ταχύτητα τουβ1 = 1,5 m / s και εμβαδόν τουΕΝΑ1 = 5.3 × 10−4 Μ2 καιΕΝΑ2 = 2.65 × 10−4 Μ2. Αυτό δίνει:
\ begin {aligned} P_2 & = 10 ^ 5 \ text {Pa} + \ frac {1} {2} × 1000 \ κείμενο {kg / m} ^ 3 \ bigg ((1,5 \ κείμενο {m / s}) ^ 2 - \ bigg (\ frac {5,3 × 10 ^ {- 4} \ κείμενο {m} ^ 2 × 1,5 \ κείμενο {m / s}} {2,65 × 10 ^ {- 4} \ κείμενο {m} ^ 2} \ bigg) ^ 2 \ bigg) \\ & = 9,66 × 10 ^ 4 \ κείμενο {Pa} \ end {στοίχιση}
Όπως προβλέπεται από την αρχή του Bernoulli, η πίεση μειώνεται όταν υπάρχει αύξηση της ταχύτητας από τον αγωγό συστολής. Ο υπολογισμός του άλλου μέρους αυτής της διαδικασίας περιλαμβάνει βασικά το ίδιο πράγμα, εκτός από το αντίστροφο. Τεχνικά, θα υπάρξει κάποια απώλεια κατά τη διάρκεια της περιορισμού, αλλά για ένα απλοποιημένο σύστημα όπου δεν χρειάζεται να λαμβάνετε υπόψη το ιξώδες, αυτό είναι ένα αποδεκτό αποτέλεσμα.
Άλλα παραδείγματα της Αρχής του Μπερνούλι
Μερικά άλλα παραδείγματα της αρχής του Bernoulli σε δράση μπορούν να βοηθήσουν στην αποσαφήνιση των εννοιών. Το πιο γνωστό είναι το παράδειγμα που προέρχεται από την αεροδυναμική και τη μελέτη του σχεδιασμού των πτερυγίων του αεροπλάνου ή των αερολυμάτων (αν και υπάρχουν κάποιες μικρές διαφωνίες σχετικά με τις λεπτομέρειες).
Το πάνω μέρος της πτέρυγας του αεροπλάνου είναι καμπύλο ενώ το κάτω μέρος είναι επίπεδο και επειδή το ρεύμα αέρα περνά από τη μία άκρη του πτέρυγα προς το άλλο σε ίσες χρονικές περιόδους, αυτό οδηγεί σε χαμηλότερη πίεση στην κορυφή της πτέρυγας από ό, τι στο κάτω μέρος της πτέρυγα. Η συνοδευτική διαφορά πίεσης (σύμφωνα με την αρχή του Bernoulli) δημιουργεί τη δύναμη ανύψωσης που δίνει το επίπεδο ανύψωσης και το βοηθά να κατεβεί από το έδαφος.
Οι υδροηλεκτρικοί σταθμοί παραγωγής ενέργειας εξαρτώνται επίσης από την αρχή Bernoulli για να λειτουργήσουν, με έναν από τους δύο τρόπους. Πρώτον, σε ένα υδροηλεκτρικό φράγμα, το νερό από μια δεξαμενή ταξιδεύει κάτω από μερικούς μεγάλους σωλήνες που ονομάζονται penstocks, πριν χτυπήσει μια τουρμπίνα στο τέλος. Όσον αφορά την εξίσωση του Bernoulli, η δυναμική βαρυτική ενέργεια μειώνεται καθώς το νερό κινείται κάτω από το σωλήνα, αλλά σε πολλά σχέδια, το νερό εξέρχεται στοίδιοΤαχύτητα. Από την εξίσωση, είναι σαφές ότι πρέπει να υπήρξε μια αλλαγή στην πίεση για να εξισορροπηθεί η εξίσωση, και πράγματι, αυτός ο τύπος στροβίλου παίρνει την ενέργειά του από την ενέργεια πίεσης στο υγρό.
Αναμφισβήτητα ένας απλούστερος τύπος στροβίλου για κατανόηση ονομάζεται παλμική τουρμπίνα. Αυτό λειτουργεί μειώνοντας το μέγεθος του σωλήνα πριν από την τουρμπίνα (χρησιμοποιώντας ακροφύσιο), το οποίο αυξάνει το ταχύτητα του νερού (σύμφωνα με την εξίσωση συνέχειας) και μειώνει την πίεση (από τον Bernoulli's αρχή). Η μεταφορά ενέργειας σε αυτή την περίπτωση προέρχεται από την κινητική ενέργεια του νερού.