Είτε πρόκειται για ένα σκέιτερ πάγου που τραβά στα χέρια της και περιστρέφεται πιο γρήγορα όπως κάνει ή μια γάτα που ελέγχει πόσο γρήγορα περιστρέφεται κατά τη διάρκεια ενός φθινοπώρου για να διασφαλιστεί ότι προσγειώνεται στα πόδια του, η έννοια μιας στιγμής αδράνειας είναι ζωτικής σημασίας για τη φυσική της περιστροφικής κίνηση.
Αλλιώς γνωστή ως περιστροφική αδράνεια, η στιγμή της αδράνειας είναι το περιστροφικό ανάλογο μάζας στο δεύτερο από τους νόμους κίνησης του Νεύτωνα, που περιγράφει την τάση ενός αντικειμένου να αντιστέκεται στη γωνιακή επιτάχυνση.
Η ιδέα μπορεί να μην φαίνεται πολύ ενδιαφέρουσα στην αρχή, αλλά σε συνδυασμό με το νόμο της διατήρησης της γωνιακής ορμή, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει πολλά συναρπαστικά φυσικά φαινόμενα και να προβλέψει την κίνηση σε ένα ευρύ φάσμα καταστάσεις.
Ορισμός της ροπής αδράνειας
Η ροπή αδράνειας για ένα αντικείμενο περιγράφει την αντίστασή του στη γωνιακή επιτάχυνση, που αντιστοιχεί στην κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής του.
Ουσιαστικά ποσοτικοποιεί πόσο δύσκολο είναι να αλλάξει η ταχύτητα περιστροφής ενός αντικειμένου, είτε αυτό σημαίνει την έναρξη της περιστροφής του, τη διακοπή του είτε την αλλαγή της ταχύτητας ενός ήδη περιστρεφόμενου αντικειμένου.
Ορισμένες φορές ονομάζεται περιστροφική αδράνεια και είναι χρήσιμο να το θεωρούμε ως ανάλογο μάζας στο δεύτερο νόμο του Νεύτωνα:φάκαθαρά = μαμά. Εδώ, η μάζα ενός αντικειμένου ονομάζεται συχνά αδρανειακή μάζα και περιγράφει την αντίσταση του αντικειμένου στην (γραμμική) κίνηση. Η περιστροφική αδράνεια λειτουργεί ακριβώς έτσι για περιστροφική κίνηση και ο μαθηματικός ορισμός περιλαμβάνει πάντα μάζα.
Η ισοδύναμη έκφραση με τον δεύτερο νόμο για την περιστροφική κίνηση αναφέρεταιροπή (τ, το περιστροφικό ανάλογο δύναμης) στην γωνιακή επιτάχυνσηακαι στιγμή αδράνειαςΕγώ:
\ tau = I \ άλφα
Το ίδιο αντικείμενο μπορεί να έχει πολλές στιγμές αδράνειας, ωστόσο, επειδή ενώ μεγάλο μέρος του ορισμού αφορά την κατανομή της μάζας, αντιπροσωπεύει επίσης τη θέση του άξονα περιστροφής.
Για παράδειγμα, ενώ η στιγμή της αδράνειας για μια ράβδο που περιστρέφεται γύρω από το κέντρο της είναιΕγώ = ML2/ 12 (πούΜείναι μάζα καιμεγάλοείναι το μήκος της ράβδου), η ίδια ράβδος που περιστρέφεται γύρω από το ένα άκρο έχει μια στιγμή αδράνειας που δίνεται απόΕγώ = ML2/3.
Εξισώσεις για τη στιγμή της αδράνειας
Έτσι, η στιγμή αδράνειας ενός σώματος εξαρτάται από τη μάζα τουΜ, η ακτίνα τουΡκαι τον άξονα περιστροφής του.
Σε ορισμένες περιπτώσεις,Ραναφέρεται ωςρε, για απόσταση από τον άξονα περιστροφής και σε άλλα (όπως με τη ράβδο στην προηγούμενη ενότητα) αντικαθίσταται από μήκος,μεγάλο. Το σύμβολοΕγώχρησιμοποιείται για ροπή αδράνειας και έχει μονάδες kg m2.
Όπως θα περίμενε κανείς με βάση όσα έχετε μάθει μέχρι στιγμής, υπάρχουν πολλές διαφορετικές εξισώσεις για τη στιγμή της αδράνειας και κάθε μία αναφέρεται σε ένα συγκεκριμένο σχήμα και έναν συγκεκριμένο άξονα περιστροφής. Σε όλες τις στιγμές αδράνειας, ο όροςΚΥΡΙΟΣ2 εμφανίζεται, αν και για διαφορετικά σχήματα υπάρχουν διαφορετικά κλάσματα μπροστά από αυτόν τον όρο, και σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να υπάρχουν πολλαπλοί όροι που συνοψίζονται.
οΚΥΡΙΟΣ2 συνιστώσα είναι η στιγμή της αδράνειας για μια μάζα σημείου σε απόστασηΡαπό τον άξονα περιστροφής και η εξίσωση για ένα συγκεκριμένο άκαμπτο σώμα δημιουργείται ως άθροισμα σημείων μάζας, ή ενσωματώνοντας έναν άπειρο αριθμό μικρών σημείων μάζας πάνω στο αντικείμενο.
Ενώ σε ορισμένες περιπτώσεις μπορεί να είναι χρήσιμο να αντλήσουμε τη στιγμή της αδράνειας ενός αντικειμένου με βάση ένα απλό αριθμητικό άθροισμα σημείων μάζας ή από ενοποίηση, στην πράξη υπάρχουν πολλά αποτελέσματα για κοινά σχήματα και άξονες περιστροφής που μπορείτε απλά να χρησιμοποιήσετε χωρίς να χρειάζεται να το αντλήσετε πρώτα:
Στερεός κύλινδρος (άξονας συμμετρίας):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Στερεός κύλινδρος (άξονας κεντρικής διαμέτρου ή διάμετρος της κυκλικής διατομής στο μέσο του κυλίνδρου):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Στερεά σφαίρα (κεντρικός άξονας):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Λεπτό σφαιρικό κέλυφος (κεντρικός άξονας):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Στεφάνη (άξονας συμμετρίας, δηλαδή κάθετα στο κέντρο):
I = MR ^ 2
Στεφάνι (άξονας διαμέτρου, δηλαδή, κατά μήκος της διαμέτρου του κύκλου που σχηματίζεται από τη στεφάνη):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Ράβδος (κεντρικός άξονας, κάθετος στο μήκος της ράβδου):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Ράβδος (περιστρέφεται γύρω από το άκρο):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Περιστροφική αδράνεια και άξονας περιστροφής
Η κατανόηση γιατί υπάρχουν διαφορετικές εξισώσεις για κάθε άξονα περιστροφής είναι ένα βασικό βήμα για να κατανοήσουμε την έννοια μιας στιγμής αδράνειας.
Σκεφτείτε για ένα μολύβι: Μπορείτε να το περιστρέψετε περιστρέφοντάς το στη μέση, μέχρι το τέλος ή περιστρέφοντάς τον γύρω από τον κεντρικό άξονά του. Επειδή η περιστροφική αδράνεια ενός αντικειμένου εξαρτάται από την κατανομή της μάζας γύρω από τον άξονα περιστροφής, καθεμία από αυτές τις καταστάσεις είναι διαφορετική και απαιτεί ξεχωριστή εξίσωση για να την περιγράψει.
Μπορείτε να πάρετε μια ενστικτώδη κατανόηση της έννοιας της ροπής αδράνειας εάν κλιμακώσετε το ίδιο επιχείρημα έως και έναν πόλο σημαίας 30 ποδιών.
Το γύρισμα από άκρο σε άκρο θα ήταν πολύ δύσκολο - αν μπορούσατε να το διαχειριστείτε καθόλου - ενώ η περιστροφή του πόλου για τον κεντρικό άξονα του θα ήταν πολύ πιο εύκολη. Αυτό συμβαίνει επειδή η ροπή εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την απόσταση από τον άξονα περιστροφής και από τα 30 πόδια το παράδειγμα του πόλου σημαίας, η περιστροφή του από άκρο σε άκρο περιλαμβάνει κάθε ακραίο άκρο 15 πόδια μακριά από τον άξονα του περιστροφή.
Ωστόσο, αν τον περιστρέψετε γύρω από τον κεντρικό άξονα, τα πάντα είναι πολύ κοντά στον άξονα. Η κατάσταση μοιάζει πολύ με τη μεταφορά ενός βαρύ αντικειμένου στο μήκος του βραχίονα έναντι κρατώντας το κοντά στο σώμα σας, ή χειρίζοντας έναν μοχλό από το τέλος εναντίον κοντά στο υπομόχλιο.
Γι 'αυτό χρειάζεστε μια διαφορετική εξίσωση για να περιγράψετε τη ροπή αδράνειας για το ίδιο αντικείμενο ανάλογα με τον άξονα περιστροφής. Ο άξονας που επιλέγετε επηρεάζει το πόσο μακριά είναι τα μέρη του σώματος από τον άξονα περιστροφής, παρόλο που η μάζα του σώματος παραμένει η ίδια.
Χρήση των εξισώσεων για τη στιγμή της αδράνειας
Το κλειδί για τον υπολογισμό της ροπής αδράνειας για ένα άκαμπτο σώμα είναι η εκμάθηση της χρήσης και της εφαρμογής των κατάλληλων εξισώσεων.
Σκεφτείτε το μολύβι από την προηγούμενη ενότητα, που περιστρέφεται από άκρο σε άκρο γύρω από ένα κεντρικό σημείο κατά μήκος του. Ενώ δεν είναιτέλειοςράβδος (η αιχμηρή άκρη σπάει αυτό το σχήμα, για παράδειγμα) μπορεί να μοντελοποιηθεί έτσι ώστε να σας εξοικονομήσει μια ολόκληρη στιγμή παραγώγων αδράνειας για το αντικείμενο.
Έτσι μοντελοποιώντας το αντικείμενο ως ράβδο, θα χρησιμοποιούσατε την ακόλουθη εξίσωση για να βρείτε τη στιγμή της αδράνειας, σε συνδυασμό με τη συνολική μάζα και το μήκος του μολυβιού:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Μια μεγαλύτερη πρόκληση είναι η εύρεση της στιγμής αδράνειας για σύνθετα αντικείμενα.
Για παράδειγμα, σκεφτείτε δύο μπάλες που συνδέονται μεταξύ τους με μια ράβδο (την οποία θα αντιμετωπίσουμε ως μαζικές για να απλοποιήσουμε το πρόβλημα). Η μπάλα 1 είναι 2 κιλά και βρίσκεται 2 μέτρα μακριά από τον άξονα περιστροφής, και η μπάλα δύο είναι 5 κιλά σε μάζα και 3 μέτρα μακριά από τον άξονα περιστροφής.
Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να βρείτε τη στιγμή της αδράνειας για αυτό το σύνθετο αντικείμενο, θεωρώντας ότι κάθε μπάλα είναι μια μάζα σημείου και δουλεύοντας από τον βασικό ορισμό που:
\ start {aligned} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ sum _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ end {στοίχιση}
Με τους συνδρομητές απλώς να διαφοροποιούνται μεταξύ διαφορετικών αντικειμένων (δηλαδή, μπάλα 1 και μπάλα 2). Το αντικείμενο δύο σφαιρών θα είχε τότε:
\ start {aligned} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m}) ^ 2 + 5 \; \ κείμενο {kg} × (3 \; \ κείμενο {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ κείμενο {kg m} ^ 2 + 45 \; \ κείμενο {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ κείμενο {kg m} ^ 2 \ τέλος {στοίχιση}
Στιγμή αδράνειας και διατήρηση της γωνιακής ορμής
Η γωνιακή ορμή (το περιστροφικό ανάλογο για γραμμική ορμή) ορίζεται ως το προϊόν της περιστροφικής αδράνειας (δηλαδή, η ροπή αδράνειας,Εγώ) του αντικειμένου και της γωνιακής ταχύτητάς τουω), η οποία μετράται σε μοίρες / δευτερόλεπτα ή rad / s.
Αναμφίβολα θα εξοικειωθείτε με τον νόμο της διατήρησης της γραμμικής ορμής και η γωνιακή ορμή διατηρείται επίσης με τον ίδιο τρόπο. Η εξίσωση για γωνιακή ορμήμεγάλο) είναι:
L = Ιω
Το να σκεφτόμαστε τι σημαίνει αυτό στην πράξη εξηγεί πολλά φυσικά φαινόμενα, επειδή (απουσία άλλων δυνάμεων), όσο υψηλότερη είναι η περιστροφική αδράνεια ενός αντικειμένου, τόσο χαμηλότερη είναι η γωνιακή του ταχύτητα.
Εξετάστε ένα σκέιτερ πάγου που περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα με τα χέρια τεντωμένα και σημειώστε ότι τα χέρια του που απλώνονται αυξάνουν την ακτίναΡγια την οποία κατανέμεται η μάζα του, οδηγώντας σε μεγαλύτερη αδράνεια από ό, τι αν τα χέρια του ήταν κοντά στο σώμα του.
Ανμεγάλο1 υπολογίζεται με τεντωμένα τα χέρια του καιμεγάλο2, αφού τραβήξει τα χέρια του πρέπει να έχει την ίδια τιμή (επειδή διατηρείται η γωνιακή ορμή), τι θα συμβεί αν μειώσει τη στιγμή της αδράνειας του τραβώντας στα χέρια του; Η γωνιακή του ταχύτηταωαυξάνεται για να αντισταθμίσει.
Οι γάτες εκτελούν παρόμοιες κινήσεις για να τους βοηθήσουν να προσγειωθούν στα πόδια τους όταν πέφτουν.
Με το τέντωμα των ποδιών και της ουράς τους, αυξάνουν τη στιγμή της αδράνειας και μειώνουν την ταχύτητα περιστροφής τους, και αντιστρόφως μπορούν να τραβήξουν στα πόδια τους για να μειώσουν τη στιγμή της αδράνειας τους και να αυξήσουν την ταχύτητα περιστροφής τους. Χρησιμοποιούν αυτές τις δύο στρατηγικές - μαζί με άλλες πτυχές του "αντανακλαστικού διόρθωσης" - για να διασφαλίσουν ότι τα πόδια τους προσγειώνονται Πρώτον, και μπορείτε να δείτε ξεχωριστές φάσεις του κατσαρώματος και του τεντώματος σε φωτογραφίες μιας γάτας με χρονική καθυστέρηση προσγείωση.
Στιγμή αδράνειας και περιστροφικής κινητικής ενέργειας
Συνεχίζοντας τις παραλληλότητες μεταξύ γραμμικής κίνησης και περιστροφικής κίνησης, τα αντικείμενα έχουν επίσης περιστροφική κινητική ενέργεια με τον ίδιο τρόπο που έχουν γραμμική κινητική ενέργεια.
Σκεφτείτε μια μπάλα που κυλάει στο έδαφος, και οι δύο περιστρέφονται γύρω από τον κεντρικό της άξονα και προχωρούν γραμμικά προς τα εμπρός: Η συνολική κινητική ενέργεια της μπάλας είναι το άθροισμα της γραμμικής κινητικής της ενέργειαςμικ και την περιστροφική κινητική του ενέργειαμισαπίλα. Οι παραλληλισμοί μεταξύ αυτών των δύο ενεργειών αντικατοπτρίζονται στις εξισώσεις και για τις δύο, θυμόμαστε ότι ένα αντικείμενο η ροπή αδράνειας είναι το περιστροφικό ανάλογο μάζας και η γωνιακή του ταχύτητα είναι το περιστροφικό ανάλογο της γραμμικής ταχύτηταβ):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Μπορείτε να δείτε ξεκάθαρα ότι και οι δύο εξισώσεις έχουν ακριβώς την ίδια μορφή, με τα κατάλληλα περιστροφικά ανάλογα να αντικαθιστούν την εξίσωση περιστροφικής κινητικής ενέργειας.
Φυσικά, για να υπολογίσετε την περιστροφική κινητική ενέργεια, θα πρέπει να αντικαταστήσετε την κατάλληλη έκφραση για τη στιγμή της αδράνειας για το αντικείμενο στο χώρο γιαΕγώ. Λαμβάνοντας υπόψη τη μπάλα και μοντελοποιώντας το αντικείμενο ως μια στερεή σφαίρα, η εξίσωση είναι αυτή η περίπτωση:
\ begin {aligned} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ τέλος {στοίχιση}
Η συνολική κινητική ενέργεια (μιμικρό παιδί) είναι το άθροισμα αυτής και της κινητικής ενέργειας της μπάλας, ώστε να μπορείτε να γράψετε:
\ begin {aligned} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { ευθυγραμμισμένος}
Για μια μπάλα 1 kg που κινείται με γραμμική ταχύτητα 2 m / s, με ακτίνα 0,3 m και με γωνιακή ταχύτητα 2π rad / s, η συνολική ενέργεια θα είναι:
\ begin {aligned} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ κείμενο {kg} × (0,3 \; \ text {m}) ^ 2 × (2π \; \ text {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ κείμενο {J} + 0,71 \; \ κείμενο {J} \\ & = 2.71 \; \ κείμενο {J} \ end {στοίχιση}
Ανάλογα με την κατάσταση, ένα αντικείμενο μπορεί να διαθέτει μόνο γραμμική κινητική ενέργεια (για παράδειγμα, μια μπάλα πέφτει από ένα ύψος χωρίς να έχει μεταδοθεί περιστροφή) ή μόνο περιστροφική κινητική ενέργεια (μια μπάλα περιστρέφεται αλλά παραμένει στη θέση της).
Θυμηθείτε ότι είναισύνολοενέργεια που διατηρείται. Εάν μια μπάλα κλωτσήσει σε έναν τοίχο χωρίς αρχική περιστροφή, και αναπηδά με χαμηλότερη ταχύτητα αλλά με μια περιστροφή που προσδίδεται, καθώς και την ενέργεια έχασε από τον ήχο και τη θερμότητα όταν έπαιρνε επαφή, μέρος της αρχικής κινητικής ενέργειας μεταφέρθηκε σε περιστροφική κινητική ενέργεια και έτσικλίσηπιθανώς να κινηθείτε τόσο γρήγορα όσο έκανε πριν επιστρέψετε.