Η διαφορά μεταξύ της κλασικής μηχανικής και της κβαντικής μηχανικής είναι τεράστια. Ενώ στην κλασική μηχανική τα σωματίδια και τα αντικείμενα έχουν σαφώς καθορισμένες θέσεις, στην κβαντομηχανική (πριν από μια μέτρηση) α Το σωματίδιο μπορεί να ειπωθεί ότι έχει μόνο ένα εύρος πιθανών θέσεων, οι οποίες περιγράφονται ως προς τις πιθανότητες από το κύμα λειτουργία.
Η εξίσωση Schrodinger καθορίζει τη λειτουργία κύματος των κβαντικών μηχανικών συστημάτων και η εκμάθηση πώς να χρησιμοποιείται και να ερμηνεύεται είναι ένα σημαντικό μέρος κάθε μαθήματος στην κβαντομηχανική. Ένα από τα απλούστερα παραδείγματα μιας λύσης σε αυτήν την εξίσωση είναι για ένα σωματίδιο σε ένα κουτί.
Η λειτουργία κύματος
Στην κβαντική μηχανική, ένα σωματίδιο αντιπροσωπεύεται από έναλειτουργία κυμάτων. Αυτό δηλώνεται συνήθως με το ελληνικό γράμμα psi (Ψ) και εξαρτάται τόσο από τη θέση όσο και από τον χρόνο, και περιέχει όλα όσα είναι γνωστά για το σωματίδιο.
Το συντελεστή αυτής της συνάρτησης τετράγωνο σας λέει την πιθανότητα το σωματίδιο να βρεθεί στη θέση του
Χκατά το χρόνοτ, υπό την προϋπόθεση ότι η λειτουργία είναι "κανονικοποιημένη". Αυτό σημαίνει απλώς προσαρμοσμένο έτσι ώστε να είναι βέβαιο ότι βρίσκεταιμερικοίθέσηΧεκείνη τη στιγμήτόταν αθροίζονται τα αποτελέσματα σε κάθε τοποθεσία, δηλαδή η συνθήκη κανονικοποίησης λέει ότι:\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση κυμάτων για να υπολογίσετε την τιμή προσδοκίας για τη θέση ενός σωματιδίου τη στιγμήτ, όπου η τιμή προσδοκίας σημαίνει απλώς τη μέση τιμή που θα θέλατεΧεάν επαναλάβετε τη μέτρηση πολλές φορές. Φυσικά, αυτό δεν σημαίνει ότι θα είναι το αποτέλεσμα που θα λάβετε για οποιαδήποτε δεδομένη μέτρηση - δηλαδήαποτελεσματικάτυχαία, αν και ορισμένες τοποθεσίες είναι συνήθως πολύ πιο πιθανές από άλλες.
Υπάρχουν πολλές άλλες ποσότητες για τις οποίες μπορείτε να υπολογίσετε τιμές προσδοκίας, όπως τιμές ορμής και ενέργειας, καθώς και πολλές άλλες «παρατηρήσιμες».
Εξίσωση Schrodinger
Η εξίσωση Schrodinger είναι μια διαφορική εξίσωση που χρησιμοποιείται για την εύρεση της τιμής για τη συνάρτηση κυμάτων και των ιδιοτήτων για την ενέργεια του σωματιδίου. Η εξίσωση μπορεί να προκύψει από τη διατήρηση της ενέργειας και τις εκφράσεις για την κινητική και δυνητική ενέργεια ενός σωματιδίου. Ο απλούστερος τρόπος για να το γράψετε είναι:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Αλλά εδώΗαντιπροσωπεύει τοΧάμιλτον χειριστής, η οποία από μόνη της είναι μια αρκετά μεγάλη έκφραση:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ part x ^ 2} + V (x)
Εδώ,Μείναι η μάζα, ℏ είναι η σταθερά του Planck διαιρούμενη με 2π καιΒ (Χ) είναι μια γενική συνάρτηση για την πιθανή ενέργεια του συστήματος. Ο Hamiltonian έχει δύο ξεχωριστά μέρη - ο πρώτος όρος είναι η κινητική ενέργεια του συστήματος και ο δεύτερος όρος είναι η πιθανή ενέργεια.
Κάθε παρατηρήσιμη τιμή στην κβαντική μηχανική σχετίζεται με έναν χειριστή και στην ανεξάρτητη από το χρόνο έκδοση της εξίσωσης Schrodinger, ο Hamiltonian είναι ο ενεργειακός φορέας. Ωστόσο, στην έκδοση που εξαρτάται από το χρόνο που φαίνεται παραπάνω, το Hamiltonian δημιουργεί επίσης την εξέλιξη του χρόνου της λειτουργίας κυμάτων.
Συνδυάζοντας όλες τις πληροφορίες που περιέχονται στην εξίσωση, μπορείτε να περιγράψετε την εξέλιξη του σωματιδίου στο χώρο και το χρόνο και να προβλέψετε και τις πιθανές ενεργειακές τιμές για αυτό.
Η εξίσωση Schrodinger ανεξάρτητη από το χρόνο
Το εξαρτώμενο από το χρόνο μέρος της εξίσωσης μπορεί να αφαιρεθεί - για να περιγράψει μια κατάσταση που δεν εξελίσσεται με το χρόνο - διαχωρίζοντας τη λειτουργία κύματος σε μέρη χώρου και χρόνου:Ψ(Χ, τ) = Ψ(Χ) φά(τ). Τα εξαρτώμενα από το χρόνο τμήματα μπορούν στη συνέχεια να ακυρωθούν από την εξίσωση, γεγονός που αφήνει την ανεξάρτητη από το χρόνο έκδοση της εξίσωσης Schrodinger:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
μιείναι η ενέργεια του συστήματος. Αυτό έχει την ακριβή μορφή μιας εξίσωσης ιδιοτιμής, μεΨ(Χ) είναι η ιδιογενής λειτουργία, καιμιείναι η ιδιοτιμή, γι 'αυτό η εξίσωση ανεξάρτητη από το χρόνο συχνά ονομάζεται εξίσωση ιδιοτιμής για την ενέργεια ενός κβαντικού μηχανικού συστήματος. Η συνάρτηση χρόνου δίνεται απλώς από:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
Η εξίσωση ανεξάρτητη από το χρόνο είναι χρήσιμη επειδή απλοποιεί τους υπολογισμούς για πολλές καταστάσεις όπου η εξέλιξη του χρόνου δεν είναι ιδιαίτερα κρίσιμη. Αυτή είναι η πιο χρήσιμη μορφή για προβλήματα «σωματιδίων σε κουτί» και ακόμη και για τον προσδιορισμό των επιπέδων ενέργειας για ηλεκτρόνια γύρω από ένα άτομο.
Σωματίδιο σε κουτί (Άπειρο τετράγωνο πηγάδι)
Μία από τις απλούστερες λύσεις για την εξίσωση Schrodinger που είναι ανεξάρτητη από το χρόνο είναι για ένα σωματίδιο σε ένα απέραντο βαθύ τετράγωνο πηγάδι (δηλ. ένα άπειρο δυναμικό πηγάδι) ή ένα μονοδιάστατο κουτί βάσης μήκοςμεγάλο. Φυσικά, αυτοί είναι θεωρητικοί εξιδανικεύσεις, αλλά δίνει μια βασική ιδέα για το πώς λύνεις την εξίσωση Schrodinger χωρίς να υπολογίζεις πολλές από τις επιπλοκές που υπάρχουν στη φύση.
Με την πιθανή ενέργεια να είναι 0 έξω από το πηγάδι όπου η πυκνότητα πιθανότητας είναι επίσης 0, η εξίσωση Schrodinger για αυτήν την κατάσταση γίνεται:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
Και η γενική λύση για μια εξίσωση αυτής της φόρμας είναι:
Ψ (x) = A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
Ωστόσο, η εξέταση των οριακών συνθηκών μπορεί να περιορίσει αυτό. ΓιαΧ= 0 καιΧ= L, δηλαδή οι πλευρές του κουτιού ή τα τοιχώματα του φρεατίου, η λειτουργία κύματος πρέπει να μηδενιστεί. Η συνάρτηση συνημίτονο έχει τιμή 1 όταν το όρισμα είναι 0, έτσι ώστε να πληρούνται οι οριακές συνθήκες, η σταθεράσιπρέπει να ισούται με μηδέν. Αυτό αφήνει:
Ψ (x) = A \ sin (kx)
Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε τις συνθήκες ορίου για να ορίσετε μια τιμή γιακ. Δεδομένου ότι η συνάρτηση sin πηγαίνει στο μηδέν σε τιμέςνπ, όπου ο κβαντικός αριθμόςν= 0, 1, 2, 3… και ούτω καθεξής, αυτό σημαίνει πότεΧ = μεγάλο, η εξίσωση θα λειτουργήσει μόνο εάνκ = νπ / μεγάλο. Τέλος, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το γεγονός ότι η λειτουργία κύματος πρέπει να ομαλοποιηθεί για να βρείτε την τιμή τουΕΝΑ(ενοποίηση σε όλα τα δυνατάΧτιμές, δηλαδή από 0 έωςμεγάλοκαι, στη συνέχεια, ορίστε το αποτέλεσμα ίσο με 1 και αναδιατάξτε), για να φτάσετε στην τελική έκφραση:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Χρησιμοποιώντας την αρχική εξίσωση και αυτό το αποτέλεσμα, μπορείτε στη συνέχεια να επιλύσετεμι, που αποδίδει:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}
Σημειώστε ότι το γεγονός ότινείναι σε αυτήν την έκφραση σημαίνει ότι τα επίπεδα ενέργειας είναιποσοτικοποιήθηκε, έτσι δεν μπορούν να πάρουνόποιοςτιμή, αλλά μόνο ένα διακριτό σύνολο ειδικών τιμών ενεργειακού επιπέδου ανάλογα με τη μάζα του σωματιδίου και το μήκος του κουτιού.
Σωματίδιο σε κουτί
Το ίδιο πρόβλημα γίνεται λίγο πιο περίπλοκο εάν το δυναμικό πηγάδι έχει πεπερασμένο ύψος τοίχου. Για παράδειγμα, εάν το δυναμικόΒ (Χ) παίρνει την τιμήΒ0 εκτός του δυναμικού πηγαδιού και 0 μέσα σε αυτό, η λειτουργία κύματος μπορεί να προσδιοριστεί στις τρεις κύριες περιοχές που καλύπτονται από το πρόβλημα. Ωστόσο, αυτή είναι μια πιο εμπλεκόμενη διαδικασία, οπότε εδώ θα μπορείτε να βλέπετε μόνο τα αποτελέσματα αντί να εκτελείτε ολόκληρη τη διαδικασία.
Εάν το πηγάδι είναι στοΧ= 0 έωςΧ = μεγάλοκαι πάλι, για την περιοχή όπουΧ<0 η λύση είναι:
Ψ (x) = Be ^ {kx}
Για την περιοχήΧ > μεγάλο, είναι:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Οπου
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
Για την περιοχή μέσα στο πηγάδι, όπου 0 <Χ < μεγάλο, η γενική λύση είναι:
Ψ (x) = C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
Οπου
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
Στη συνέχεια, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις συνθήκες ορίου για να προσδιορίσετε τις τιμές των σταθερώνΕΝΑ, σι, ντοκαιρε, σημειώνοντας ότι, καθώς έχει καθορισμένες τιμές στα τοιχώματα του φρεατίου, η συνάρτηση κυμάτων και το πρώτο παράγωγό της πρέπει να είναι συνεχής παντού και η συνάρτηση κυμάτων πρέπει να είναι πεπερασμένη παντού.
Σε άλλες περιπτώσεις, όπως ρηχά κουτιά, στενά κουτιά και πολλές άλλες συγκεκριμένες καταστάσεις, υπάρχουν προσεγγίσεις και διαφορετικές λύσεις που μπορείτε να βρείτε.