Το προϊόν δύο κλιματικών ποσοτήτων είναι κλιμακούμενο και το προϊόν βαθμίδας με φορέα είναι φορέας, αλλά τι γίνεται με το προϊόν δύο διανυσμάτων; Είναι μια βαθμίδα ή άλλο διάνυσμα; Η απάντηση είναι, θα μπορούσε να είναι είτε!
Υπάρχουν δύο τρόποι λήψης ενός προϊόντος φορέα. Το ένα είναι με τη λήψη του προϊόντος κουκκίδων τους, το οποίο αποδίδει μια βαθμίδα και το άλλο με τη λήψη του διασταυρούμενου προϊόντος τους, το οποίο αποδίδει έναν άλλο φορέα. Το προϊόν που χρησιμοποιείται εξαρτάται από το συγκεκριμένο σενάριο και από ποια ποσότητα προσπαθείτε να βρείτε.
Το εγκάρσιο προϊόν δύο διανυσμάτων αποδίδει έναν τρίτο φορέα που δείχνει προς την κατεύθυνση κάθετη προς το επίπεδο που εκτείνεται από τα δύο διανύσματα, και του οποίου το μέγεθος εξαρτάται από τη σχετική κάθετη των δύο διανύσματα.
Ορισμός του εγκάρσιου προϊόντος των διανυσμάτων
Καθορίζουμε πρώτα το διασταυρούμενο προϊόν των διανυσμάτων μονάδαςΕγώ, ικαικ(διανύσματα μεγέθους 1 που δείχνουν στοx-, y-καιζ-συνιστώσες κατευθύνσεις του τυπικού καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων) ως εξής:
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ έντονα {j} \\ \ έντονα {i \ times i} = \ έντονα {j \ φορές j} = \ έντονα {k \ φορές k} = 0
Σημειώστε ότι αυτές οι σχέσεις είναι αντι-μετατρεπτικές, δηλαδή, αν αλλάξουμε τη σειρά των διανυσμάτων που παίρνουμε το προϊόν, αναστρέφει το σημάδι του προϊόντος:
\ bold {j \ times i} = - \ έντονα {k} \\ \ έντονα {k \ φορές j} = - \ έντονα {i} \\ \ έντονα {i \ φορές k} = - \ έντονα {j}
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους παραπάνω ορισμούς για να αντλήσουμε τον τύπο για το διασταυρούμενο προϊόν δύο τρισδιάστατων διανυσμάτων. Πρώτα, γράψτε διανύσματαένακαισιως εξής:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
Πολλαπλασιάζοντας τα δύο διανύσματα, έχουμε:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ φορές (b_x \ έντονα {i} + b_y \ έντονα {j} + b_z \ έντονη γραφή {k}) \\ = a_xb_x \ bold {i \ times i} + a_xb_y \ bold {i \ times j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ φορές j} + a_yb_z \ έντονα {j \ φορές k} \\ + a_zb_x \ έντονα {k \ φορές i} + a_zb_y \ bold {k \ φορές j} + a_zb_z \ έντονα {k \ φορές k}
Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τις παραπάνω ενότητες διανυσματικών μονάδων, αυτό απλοποιείται:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ φορές j} + a_yb_z \ έντονα {j \ φορές k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} - a_zb_y \ bold {j \ φορές k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ έντονα { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ έντονα {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ έντονα {k}
(Λάβετε υπόψη ότι οι όροι των οποίων το διασταυρούμενο προϊόν ήταν 0, είναι οι όροι που σχηματίζουν το προϊόν κουκκίδων (ονομάζεται επίσης το κλιματικό προϊόν)!Αυτό δεν είναι τυχαίο.)
Με άλλα λόγια:
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {όπου} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Το μέγεθος του εγκάρσιου προϊόντος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Ο τύπος μεταξύ προϊόντων μπορεί επίσης να εκφραστεί ως καθοριστικός παράγοντας του ακόλουθου πίνακα:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {matrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {matrix} \ Bigg | \\ = \ Big | \ begin {matrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ start {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {matrix} \ Μεγάλο | \ έντονο {k}
\ text {Όπου ο καθοριστικός παράγοντας} \ Big | \ begin {matrix} a & b \\ c & d \ end {matrix} \ Big | = διαφήμιση - π.Χ.
Μια άλλη, συχνά πολύ βολική, διατύπωση του εγκάρσιου προϊόντος είναι (δείτε το τέλος αυτού του άρθρου για την παραγωγή):
\ bold {a × b} = | \ έντονα {a} | | \ έντονα {b} | \ sin (θ) \ έντονα {n}
Οπου:
- |ένα| είναι το μέγεθος (μήκος) του διανύσματοςένα
- |σι| είναι το μέγεθος (μήκος) του διανύσματοςσι
- θ είναι η γωνία μεταξύ ένακαι σι
- νείναι το διάνυσμα μονάδων κάθετο στο επίπεδο που εκτείνεται από ένακαισι
Κάθετα διανύσματα και ο δεξί κανόνας
Στην περιγραφή του εγκάρσιου προϊόντος, αναφέρεται ότι η διεύθυνση του εγκάρσιου προϊόντος είναι κάθετη προς το επίπεδο που εκτείνεται από το φορέαένακαι διάνυσμασι. Αλλά αυτό αφήνει δύο δυνατότητες: Μπορεί να δείξειεκτόςτο αεροπλάνο ήσετο επίπεδο που εκτείνεται από αυτά τα διανύσματα. Η πραγματικότητα είναι ότι μπορούμε να επιλέξουμε είτε αρκεί να είμαστε συνεπείς. Η ευνοημένη κατεύθυνση που επέλεξαν οι μαθηματικοί και οι επιστήμονες, ωστόσο, καθορίζεται από κάτι που ονομάζεταιδεξί κανόνα.
Για να προσδιορίσετε την κατεύθυνση ενός διανύσματος διανύσματος χρησιμοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού, δείξτε το δείκτη του δεξιού χεριού σας προς την κατεύθυνση του διανύσματοςένακαι το μεσαίο δάχτυλό σας προς την κατεύθυνση του διανύσματοςσι. Στη συνέχεια, ο αντίχειρας σας δείχνει προς την κατεύθυνση του διανύσματος σταυρού προϊόντος.
Μερικές φορές αυτές οι οδηγίες είναι δύσκολο να απεικονιστούν σε ένα επίπεδο κομμάτι χαρτί, τόσο συχνά γίνονται οι ακόλουθες συμβάσεις:
Για να υποδείξουμε ένα διάνυσμα που πηγαίνει στη σελίδα, σχεδιάζουμε έναν κύκλο με ένα Χ σε αυτό (σκεφτείτε ότι αντιπροσωπεύει τα φτερά της ουράς στο τέλος του βέλους καθώς το βλέπετε από πίσω). Για να δείξουμε ένα διάνυσμα που πηγαίνει προς την αντίθετη κατεύθυνση έξω από τη σελίδα, σχεδιάζουμε έναν κύκλο με μια τελεία σε αυτό (σκεφτείτε αυτό ως την άκρη του βέλους που δείχνει προς τα έξω από τη σελίδα).
•••ναι
Ιδιότητες του διασταυρούμενου προϊόντος
Τα ακόλουθα είναι διάφορες ιδιότητες του διανύσματος διανύσματος προϊόντος:
\ # \ κείμενο {1. Εάν} \ έντονα {a} \ κείμενο {και} \ έντονα {b} \ κείμενο {είναι παράλληλα, τότε} \ έντονα {a \ φορές b} = 0
\ # \ κείμενο {2. } \ έντονα {a \ φορές b} = - \ έντονα {b \ φορές α}
\ # \ κείμενο {3. } \ έντονα {a \ φορές (b + c)} = \ έντονα {a \ φορές b} + \ έντονα {a \ φορές c}
\ # \ κείμενο {4. } (c \ bold {a) \ φορές b} = c (\ έντονο {a \ φορές b})
\ # \ κείμενο {5. } \ έντονα {a \ cdot (b \ φορές c}) = \ έντονα {(a \ φορές b) \ cdot c}
\ text {Where} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {μήτρα } \ Bigg |
Γεωμετρική ερμηνεία του διασταυρούμενου προϊόντος
Όταν το φορέα διασταυρούμενου προϊόντος διαμορφώνεται σε όρους αμαρτίας (θ), το μέγεθος του μπορεί να ερμηνευθεί ως αντιπροσωπεύοντας την περιοχή του παραλληλόγραμμου που εκτείνεται από τους δύο φορείς. Αυτό συμβαίνει γιατί γιαα × β, |σι| sin (θ) = το ύψος του παραλληλογράμματος, όπως φαίνεται, και |ένα| είναι η βάση.
•••Ντάνα Τσεν | Επιστήμη
Το μέγεθος του τριπλού προϊόντος φορέαα (β × γ) μπορεί με τη σειρά του να ερμηνευθεί ως ο όγκος του παραλληλεπίπεδου που εκτείνεται από τα διανύσματαένα, σικαιντο. Αυτό είναι επειδή(β × γ) δίνει ένα διάνυσμα του οποίου το μέγεθος είναι η περιοχή που εκτείνεται από το διάνυσμασικαι διάνυσμαντο, και του οποίου η κατεύθυνση είναι κάθετη προς αυτήν την περιοχή. Λήψη του προϊόντος κουκκίδας του διανύσματοςέναμε αυτό το αποτέλεσμα, πολλαπλασιάζει ουσιαστικά τη βασική έκταση επί το ύψος.
Παραδείγματα
Παράδειγμα 1:Η δύναμη σε ένα σωματίδιο φόρτισηςεκινείται με ταχύτηταβστο μαγνητικό πεδίοσιδίνεται από:
\ bold {F} = q \ έντονα {v \ φορές B}
Ας υποθέσουμε ότι ένα ηλεκτρόνιο διέρχεται από ένα μαγνητικό πεδίο 0,005 Τ με ταχύτητα 2 × 107 Κυρία. Εάν περνά κάθετα στο πεδίο, τότε η δύναμη που θα νιώσει είναι:
\ bold {F} = q \ έντονα {v \ φορές B} = qvB \ sin (\ theta) \ έντονα {n} = (-1.602 \ φορές 10 ^ {19}) (2 \ φορές 10 ^ 7) (0.005 ) \ sin (90) \ έντονα {n} = -1.602 \ φορές 10 ^ {- 14} \ κείμενο {N} \ έντονα {n}
Ωστόσο, εάν το ηλεκτρόνιο κινείται παράλληλα με το πεδίο, τότε θ = 0, και sin (0) = 0, κάνοντας τη δύναμη 0.
Σημειώστε ότι για το ηλεκτρόνιο που διέρχεται κάθετα μέσα από το πεδίο, αυτή η δύναμη θα την αναγκάσει να κινηθεί σε κυκλική διαδρομή. Η ακτίνα αυτής της κυκλικής διαδρομής μπορεί να βρεθεί ρυθμίζοντας τη μαγνητική δύναμη ίση με την κεντρομόλο δύναμη και λύνοντας την ακτίναρ:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ υπονοεί r = \ frac {mv} {qB}
Για το παραπάνω παράδειγμα, η σύνδεση των αριθμών αποδίδει μια ακτίνα περίπου 0,0227 m.
Παράδειγμα 2:Η ροπή φυσικής ποσότητας υπολογίζεται επίσης χρησιμοποιώντας ένα διασταυρούμενο προϊόν φορέα. Εάν μια δύναμηφάεφαρμόζεται σε ένα αντικείμενο στη θέσηραπό το σημείο περιστροφής, τη ροπήτγια το κεντρικό σημείο δίνεται από:
\ bold {\ tau} = \ έντονα {r \ φορές F}
Εξετάστε την κατάσταση στην οποία μια δύναμη 7 Ν ασκείται υπό γωνία προς το άκρο μίας ράβδου 0,75 του οποίου το άλλο άκρο είναι προσκολλημένο σε έναν άξονα. Η γωνία μεταξύρκαιφάείναι 70 μοίρες, οπότε η ροπή μπορεί να υπολογιστεί:
\ bold {\ tau} = \ έντονα {r \ φορές F} = rF \ sin (\ theta) = (0,75) (7) \ sin (70) \ έντονα {n} = 4,93 \ κείμενο {Nm} \ έντονα { ν}
Η κατεύθυνση της ροπής,ν, βρίσκεται μέσω του δεξιού κανόνα. Εάν εφαρμοστεί στην παραπάνω εικόνα, αυτό δίνει μια κατεύθυνση που βγαίνει από τη σελίδα ή την οθόνη. Γενικά, μια ροπή που εφαρμόζεται σε ένα αντικείμενο θα θέλει να προκαλέσει την περιστροφή του αντικειμένου. Ο φορέας ροπής θα βρίσκεται πάντα στην ίδια κατεύθυνση με τον άξονα περιστροφής.
Στην πραγματικότητα, ένας απλοποιημένος δεξί κανόνας μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε αυτήν την περίπτωση: Χρησιμοποιήστε το δεξί σας χέρι για να "πιάσετε" τον άξονα περιστροφής στο με τέτοιο τρόπο ώστε τα δάχτυλά σας να κυρτώνουν προς την κατεύθυνση που η σχετική ροπή θα θέλει να κάνει το αντικείμενο να περιστραφεί. Στη συνέχεια, ο αντίχειρας σας δείχνει προς την κατεύθυνση του διανύσματος ροπής.
Παράγωγο τύπου πολλαπλών προϊόντων
\ text {Εδώ θα δείξουμε πώς ο τύπος μεταξύ προϊόντων} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ έντονα {b} | \ sin (θ) \ έντονο {n} \ κείμενο {μπορεί να προκύψει.}
Εξετάστε δύο διανύσματαένακαισιμε γωνίαθμεταξυ τους. Ένα δεξί τρίγωνο μπορεί να σχηματιστεί σχεδιάζοντας μια γραμμή από την άκρη του διανύσματοςένασε κάθετο σημείο επαφής στο φορέασι.
Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα, έχουμε την ακόλουθη σχέση:
\ Big | \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ έντονο {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ έντονα {a} | ^ 2
\ text {Where} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ κείμενο {είναι η προβολή του διανύσματος} \ έντονη {a} \ text {πάνω στο διάνυσμα} \ έντονα {b}.
Απλοποιώντας λίγο την έκφραση, έχουμε τα εξής:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ έντονα {b} | ^ 2} + | \ έντονα {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ έντονα { α} | ^ 2
Στη συνέχεια, πολλαπλασιάστε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με |σι|2 και μετακινήστε τον πρώτο όρο στη δεξιά πλευρά για να λάβετε:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ έντονα {b} | ^ 2 - | \ έντονα { a \ cdot b} | ^ 2
Δουλεύοντας με τη δεξιά πλευρά, πολλαπλασιάστε τα πάντα και μετά απλοποιήστε:
| \ έντονα {a} | ^ 2 | \ έντονα {b} | ^ 2 - | \ έντονα {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z) (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ έντονα {a \ φορές b} | ^ 2
Ορίζοντας το αποτέλεσμα ίσο με την αριστερή πλευρά της προηγούμενης εξίσωσης, έχουμε την ακόλουθη σχέση:
| \ έντονα {a \ φορές b} | = | \ έντονα {a} || \ έντονα {b} || \ sin (\ theta) |
Αυτό μας δείχνει ότι τα μεγέθη είναι τα ίδια στον τύπο, οπότε το τελευταίο πράγμα που πρέπει να κάνετε για να αποδείξετε τον τύπο είναι να δείξετε ότι οι κατευθύνσεις είναι επίσης ίδιες. Αυτό μπορεί να γίνει απλά λαμβάνοντας τα προϊόντα κουκκίδων τουέναμεα × βκαισιμεα × βκαι δείχνοντας ότι είναι 0, υπονοώντας ότι η κατεύθυνση τουα × β είναι κάθετο και στα δύο.