Περιστροφική κινητική ενέργειαπεριγράφει την ενέργεια της κίνησης που προκύπτει από την περιστροφή ενός αντικειμένου ή την κυκλική κίνηση. Θυμηθείτε ότιγραμμική κινητική ενέργειαμάζαςΜκινείται με ταχύτηταβδίνεται από 1 / 2mv2. Αυτός είναι ένας απλός υπολογισμός για οποιοδήποτε αντικείμενο κινείται σε μια ευθεία γραμμή. Εφαρμόζεται στο κέντρο μάζας του αντικειμένου, επιτρέποντας στο αντικείμενο να προσεγγιστεί ως μάζα σημείου.
Τώρα, εάν θέλουμε να περιγράψουμε την κινητική ενέργεια ενός εκτεταμένου αντικειμένου που υφίσταται πιο περίπλοκη κίνηση, ο υπολογισμός γίνεται πιο δύσκολος.
Θα μπορούσαμε να κάνουμε διαδοχικές προσεγγίσεις χωρίζοντας το εκτεταμένο αντικείμενο σε μικρά κομμάτια, καθένα από τα οποία μπορεί να προσεγγιστεί ως σημείο μάζας και, στη συνέχεια, υπολογίστε τη γραμμική κινητική ενέργεια για κάθε σημείο μάζας ξεχωριστά, και προσθέστε τα όλα για να βρείτε το σύνολο για το αντικείμενο. Όσο μικρότερο σπάσουμε το αντικείμενο, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση. Στο όριο όπου τα κομμάτια γίνονται άπειρα, αυτό μπορεί να γίνει με λογισμό.
Αλλά είμαστε τυχεροί! Όταν πρόκειται για περιστροφική κίνηση, υπάρχει απλοποίηση. Για ένα περιστρεφόμενο αντικείμενο, αν περιγράψουμε τη μαζική κατανομή του σχετικά με τον άξονα περιστροφής σε όρους ροπής αδράνειας,Εγώ, τότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια απλή εξίσωση περιστροφικής κινητικής ενέργειας, που θα συζητηθεί αργότερα σε αυτό το άρθρο.
Στιγμή αδράνειας
Στιγμή αδράνειαςείναι ένα μέτρο του πόσο δύσκολο είναι να αναγκάσει ένα αντικείμενο να αλλάξει την περιστροφική του κίνηση για έναν συγκεκριμένο άξονα. Η ροπή αδράνειας για ένα περιστρεφόμενο αντικείμενο δεν εξαρτάται μόνο από τη μάζα του αντικειμένου, αλλά και από το πώς κατανέμεται αυτή η μάζα γύρω από τον άξονα περιστροφής. Όσο πιο μακριά από τον άξονα διανέμεται η μάζα, τόσο πιο δύσκολη είναι η αλλαγή της περιστροφικής κίνησής της και επομένως τόσο μεγαλύτερη είναι η στιγμή της αδράνειας.
Οι μονάδες SI για ροπή αδράνειας είναι kgm2 (η οποία είναι σύμφωνη με την αντίληψή μας ότι εξαρτάται από τη μάζα και από την απόσταση από τον άξονα περιστροφής). Οι στιγμές αδράνειας για διαφορετικά αντικείμενα μπορούν να βρεθούν σε έναν πίνακα ή από τον λογισμό.
Συμβουλές
Η ροπή αδράνειας για οποιοδήποτε αντικείμενο μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον λογισμό και τον τύπο για τη στιγμή της αδράνειας μίας μάζας σημείου.
Εξίσωση περιστροφικής κινητικής ενέργειας
Ο τύπος περιστροφικής κινητικής ενέργειας δίνεται από:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2
ΟπουΕγώείναι η στιγμή της αδράνειας του αντικειμένου καιωείναι η γωνιακή ταχύτητα του αντικειμένου σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο (rad / s). Η μονάδα SI για περιστροφική κινητική ενέργεια είναι η joule (J).
Η μορφή του τύπου περιστροφικής κινητικής ενέργειας είναι ανάλογη με τη μεταγραφική κινητική εξίσωση. η στιγμή της αδράνειας παίζει το ρόλο της μάζας και η γωνιακή ταχύτητα αντικαθιστά τη γραμμική ταχύτητα. Σημειώστε ότι η εξίσωση περιστροφικής κινητικής ενέργειας δίνει το ίδιο αποτέλεσμα για μια μάζα σημείου με τη γραμμική εξίσωση.
Αν φανταστούμε μια μάζα σημείουΜκινείται σε κύκλο ακτίναςρμε ταχύτηταβ, τότε η γωνιακή του ταχύτητα είναι ω = v / r και η ροπή αδράνειας είναι mr2. Και οι δύο εξισώσεις κινητικής ενέργειας δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα, όπως αναμενόταν:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (mr ^ 2) (v / r) ^ 2 = \ frac {1} {2} \ frac {m \ Cancel {r ^ 2} v ^ 2} {\ cancel {r ^ 2}} = \ frac {1} {2} mv ^ 2 = KE_ {lin}
Εάν ένα αντικείμενο περιστρέφεται και το κέντρο μάζας του κινείται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής (όπως συμβαίνει με ένα τροχαίο ελαστικό), τότε τοσυνολική κινητική ενέργειαείναι το άθροισμα της περιστροφικής κινητικής ενέργειας και των κινητικών μεταφραστικών ενεργειών:
KE_ {tot} = KE_ {rot} + KE_ {lin} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Παραδείγματα χρήσης του τύπου περιστροφικής κινητικής ενέργειας
Ο τύπος περιστροφικής κινητικής ενέργειας έχει πολλές εφαρμογές. Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της απλής κινητικής ενέργειας ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου, για τον υπολογισμό της κινητικής ενέργειας του ένα κυλιόμενο αντικείμενο (ένα αντικείμενο που υποβάλλεται σε περιστροφική και μεταφραστική κίνηση) και για επίλυση για άλλο άγνωστα. Εξετάστε τα ακόλουθα τρία παραδείγματα:
Παράδειγμα 1:Η Γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της περίπου μία φορά κάθε 24 ώρες. Εάν υποθέσουμε ότι έχει ομοιόμορφη πυκνότητα, ποια είναι η περιστροφική κινητική της ενέργεια; (Η ακτίνα της γης είναι 6,37 × 106 m, και η μάζα του είναι 5,97 × 1024 κιλό.)
Για να βρούμε την περιστροφική κινητική ενέργεια, πρέπει πρώτα να βρούμε τη στιγμή της αδράνειας. Προσεγγίζοντας τη Γη ως μια συμπαγή σφαίρα, έχουμε:
I = \ frac {2} {5} mr ^ 2 = \ frac {2} {5} (5,97 \ φορές10 ^ {24} \ κείμενο {kg}) (6,37 \ φορές10 ^ 6 \ κείμενο {m}) ^ 2 = 9,69 \ φορές10 ^ {37} \ κείμενο {kgm} ^ 2
Η γωνιακή ταχύτητα είναι 2π ακτίνια / ημέρα. Η μετατροπή σε rad / s δίνει:
2 \ pi \ frac {\ text {radians}} {\ cancel {\ text {day}}} \ frac {1 \ ακύρωση {\ text {day}}} {86400 \ text {δευτερόλεπτα}} = 7,27 \ φορές10 ^ {-5} \ text {rad / s}
Έτσι η περιστροφική κινητική ενέργεια της Γης είναι τότε:
KE_ {rot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 = \ frac {1} {2} (9,69 \ φορές10 ^ {37} \ κείμενο {kgm} ^ 2) (7,27 \ φορές10 ^ {- 5} \ text {rad / s}) ^ 2 = 2,56 \ φορές 10 ^ {29} \ κείμενο {J}
Διασκεδαστικό γεγονός: Αυτό είναι περισσότερο από 10 φορές τη συνολική ενέργεια που καταναλώνει ο ήλιος σε ένα λεπτό!
Παράδειγμα 2:Ένας ομοιόμορφος κύλινδρος μάζας 0,75 kg και ακτίνα 0,1 m κυλάει στο πάτωμα με σταθερή ταχύτητα 4 m / s. Ποια είναι η κινητική του ενέργεια;
Η συνολική κινητική ενέργεια δίνεται από:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} I \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2
Σε αυτήν την περίπτωση, I = 1/2 mr2 είναι η στιγμή της αδράνειας για έναν συμπαγή κύλινδρο, καιωσχετίζεται με τη γραμμική ταχύτητα μέσω ω = v / r.
Η απλοποίηση της έκφρασης για ολική κινητική ενέργεια και η σύνδεση τιμών δίνει:
KE_ {tot} = \ frac {1} {2} (\ frac {1} {2} mr ^ 2) (v / r) ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {1 } {4} mv ^ 2 + \ frac {1} {2} mv ^ 2 = \ frac {3} {4} mv ^ 2 \\ = \ frac {3} {4} (0,75 \ κείμενο {kg}) (4 \ κείμενο {m / s}) = 2,25 \ κείμενο {J}
Σημειώστε ότι δεν χρειαζόμασταν καν να χρησιμοποιήσουμε την ακτίνα! Ακυρώθηκε λόγω της άμεσης σχέσης μεταξύ της περιστροφικής ταχύτητας και της γραμμικής ταχύτητας.
Παράδειγμα 3:Ένας μαθητής με ένα ποδήλατο παραμένει κάτω από έναν λόφο από το υπόλοιπο. Εάν το κατακόρυφο ύψος του λόφου είναι 30 μέτρα, πόσο γρήγορα πηγαίνει ο μαθητής στο κάτω μέρος του λόφου; Ας υποθέσουμε ότι το ποδήλατο ζυγίζει 8 κιλά, ο αναβάτης ζυγίζει 50 κιλά, κάθε τροχός ζυγίζει 2,2 κιλά (συμπεριλαμβάνεται στο βάρος ποδηλάτου) και κάθε τροχός έχει διάμετρο 0,7 μ. Προσέξτε τους τροχούς ως στεφάνες και υποθέστε ότι η τριβή είναι ελάχιστη.
Εδώ μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μηχανική εξοικονόμηση ενέργειας για να βρούμε την τελική ταχύτητα. Η πιθανή ενέργεια στην κορυφή του λόφου μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια στο κάτω μέρος. Αυτή η κινητική ενέργεια είναι το άθροισμα της κινητικής ενέργειας μετάφρασης ολόκληρου του ατόμου + του συστήματος ποδηλάτου και των περιστροφικών κινητικών ενεργειών των ελαστικών.
Συνολική ενέργεια του συστήματος:
E_ {tot} = PE_ {top} = mgh = (50 \ κείμενο {kg} + 8 \ κείμενο {kg}) (9,8 \ κείμενο {m / s} ^ 2) (30 \ κείμενο {m}) = 17,052 \ κείμενο {J}
Ο τύπος της συνολικής ενέργειας από την άποψη της κινητικής ενέργειας στο κάτω μέρος του λόφου είναι:
E_ {tot} = KE_ {bottom} = \ frac {1} {2} I_ {tires} \ omega ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = \ frac {1} {2} (2 \ φορές m_ {ελαστικό} \ φορές r_ {ban} ^ 2) (v / r_ {ban}) ^ 2 + \ frac {1} {2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = m_ {ελαστικό} v ^ 2 + \ frac {1} { 2} m_ {tot} v ^ 2 \\ = (m_ {ελαστικό} + \ frac {1} {2} m_ {tot}) v ^ 2
Επίλυση γιαβδίνει:
v = \ sqrt {\ frac {E_ {tot}} {m_ {ban} + \ frac {1} {2} m_ {tot}}}
Τέλος, συνδέοντας αριθμούς λαμβάνουμε την απάντησή μας:
v = \ sqrt {\ frac {17.052 \ text {J}} {2.2 \ text {kg} + \ frac {1} {2} 58 \ text {kg}}} = 23,4 \ κείμενο {m / s}