Η εξίσωση Schrodinger είναι η πιο θεμελιώδης εξίσωση στην κβαντομηχανική, και η εκμάθηση πώς να τη χρησιμοποιήσετε και τι σημαίνει είναι απαραίτητη για οποιονδήποτε εκκολαπτόμενο φυσικό. Η εξίσωση πήρε το όνομά του από τον Erwin Schrödinger, ο οποίος κέρδισε το βραβείο Νόμπελ μαζί με τον Paul Dirac το 1933 για τη συνεισφορά τους στην κβαντική φυσική.
Η εξίσωση του Schrodinger περιγράφει τη λειτουργία κυμάτων ενός κβαντικού μηχανικού συστήματος, το οποίο δίνει πιθανολογικές πληροφορίες σχετικά με τη θέση ενός σωματιδίου και άλλες παρατηρήσιμες ποσότητες όπως το ορμή. Το πιο σημαντικό πράγμα που θα συνειδητοποιήσετε για την κβαντική μηχανική αφού μάθετε για την εξίσωση είναι ότι οι νόμοι στην κβαντική σφαίρα είναιπολύ διαφορετικόαπό αυτά της κλασικής μηχανικής.
Η λειτουργία κύματος
Η συνάρτηση κυμάτων είναι μία από τις πιο σημαντικές έννοιες της κβαντικής μηχανικής, επειδή κάθε σωματίδιο αντιπροσωπεύεται από μια συνάρτηση κυμάτων. Δίνεται συνήθως το ελληνικό γράμμα psi (Ψκαι εξαρτάται από τη θέση και το χρόνο. Όταν έχετε μια έκφραση για τη λειτουργία κύματος ενός σωματιδίου, σας λέει όλα όσα μπορεί να είναι γνωστά το φυσικό σύστημα και διαφορετικές τιμές για παρατηρήσιμες ποσότητες μπορούν να ληφθούν με την εφαρμογή ενός χειριστή το.
Το τετράγωνο του συντελεστή της λειτουργίας κύματος σας λέει την πιθανότητα εύρεσης του σωματιδίου σε μια θέσηΧσε μια δεδομένη στιγμήτ. Αυτό συμβαίνει μόνο εάν η συνάρτηση είναι «κανονικοποιημένη», που σημαίνει ότι το άθροισμα του τετραγωνικού συντελεστή σε όλες τις πιθανές τοποθεσίες πρέπει να είναι ίσο με 1, δηλαδή ότι το σωματίδιο είναιβέβαιοςνα βρίσκεταικάπου.
Σημειώστε ότι η λειτουργία κύματος παρέχει μόνο πιθανολογικές πληροφορίες, και έτσι δεν μπορείτε να προβλέψετε το αποτέλεσμα οποιασδήποτε παρατήρησης, αν και εσείςμπορώκαθορίστε τον μέσο όρο σε πολλές μετρήσεις.
Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη λειτουργία κύματος για να υπολογίσετε το«Τιμή προσδοκίας»για τη θέση του σωματιδίου τη στιγμήτ, με την αναμενόμενη τιμή να είναι η μέση τιμή τουΧθα λάβετε εάν επαναλάβετε τη μέτρηση πολλές φορές.
Και πάλι, αυτό δεν σας λέει τίποτα για μια συγκεκριμένη μέτρηση. Στην πραγματικότητα, η λειτουργία κύματος είναι περισσότερο μια κατανομή πιθανότητας για ένα μόνο σωματίδιο από οτιδήποτε συγκεκριμένο και αξιόπιστο. Χρησιμοποιώντας τον κατάλληλο χειριστή, μπορείτε επίσης να λάβετε τιμές προσδοκίας για ορμή, ενέργεια και άλλες παρατηρήσιμες ποσότητες.
Η εξίσωση Schrodinger
Η εξίσωση Schrodinger είναι γραμμική μερική διαφορική εξίσωση που περιγράφει την εξέλιξη του a κβαντική κατάσταση με παρόμοιο τρόπο με τους νόμους του Νεύτωνα (ιδίως ο δεύτερος νόμος) στην κλασική Μηχανική.
Ωστόσο, η εξίσωση Schrodinger είναι μια εξίσωση κυμάτων για τη συνάρτηση κυμάτων του εν λόγω σωματιδίου, και έτσι η χρήση της εξίσωσης για την πρόβλεψη της μελλοντικής κατάστασης ενός συστήματος ονομάζεται μερικές φορές «μηχανική κυμάτων». Η ίδια η εξίσωση προέρχεται από τη διατήρηση της ενέργειας και βασίζεται σε έναν χειριστή που ονομάζεται Χάμιλτον.
Η απλούστερη μορφή της εξίσωσης Schrodinger για καταγραφή είναι:
H Ψ = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Όπου ℏ είναι η σταθερά του μειωμένου Planck (δηλαδή η σταθερά διαιρούμενη με 2π) καιΗείναι ο χειριστής Hamiltonian, ο οποίος αντιστοιχεί στο άθροισμα της δυνητικής ενέργειας και της κινητικής ενέργειας (συνολική ενέργεια) του κβαντικού συστήματος. Ωστόσο, ο Hamiltonian είναι μια αρκετά μεγάλη έκφραση, οπότε η πλήρης εξίσωση μπορεί να γραφτεί ως:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Σημειώνοντας ότι μερικές φορές (για ρητά τρισδιάστατα προβλήματα), το πρώτο μερικό παράγωγο γράφεται ως χειριστής Laplacian ∇2. Ουσιαστικά, το Hamiltonian ενεργεί στη λειτουργία κύματος για να περιγράψει την εξέλιξή του στο χώρο και το χρόνο. Αλλά στην ανεξάρτητη από την έκδοση έκδοση της εξίσωσης (δηλαδή όταν το σύστημα δεν εξαρτάται από)τ), ο Hamiltonian δίνει την ενέργεια του συστήματος.
Η επίλυση της εξίσωσης Schrodinger σημαίνει εύρεση τουλειτουργία κβαντικών μηχανικών κυμάτωνπου το ικανοποιεί για μια συγκεκριμένη κατάσταση.
Η εξίσωση Schrodinger που εξαρτάται από το χρόνο
Η εξίσωση Schrodinger που εξαρτάται από το χρόνο είναι η έκδοση από την προηγούμενη ενότητα και περιγράφει την εξέλιξη της λειτουργίας κύματος για ένα σωματίδιο στο χρόνο και στο χώρο. Μια απλή περίπτωση που πρέπει να ληφθεί υπόψη είναι ένα ελεύθερο σωματίδιο επειδή η πιθανή ενέργειαΒ= 0 και η λύση παίρνει τη μορφή ενός επίπεδου κύματος. Αυτές οι λύσεις έχουν τη μορφή:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Οπουκ = 2π / λ, λείναι το μήκος κύματος, καιω = μι / ℏ.
Για άλλες καταστάσεις, το τμήμα δυναμικής ενέργειας της αρχικής εξίσωσης περιγράφει οριακές συνθήκες για το χωρικό μέρος της λειτουργίας κύματος και συχνά διαχωρίζεται σε συνάρτηση εξέλιξης του χρόνου και ανεξάρτητη από το χρόνο εξίσωση.
Η εξίσωση Schrodinger ανεξάρτητη από το χρόνο
Για στατικές καταστάσεις ή λύσεις που σχηματίζουν όρθια κύματα (όπως το δυναμικό πηγάδι, λύσεις τύπου "particle in a box"), μπορείτε να διαχωρίσετε τη λειτουργία κύματος σε μέρη χρόνου και χώρου:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Όταν το περάσετε πλήρως, το μερίδιο χρόνου μπορεί να ακυρωθεί, αφήνοντας μια μορφή της εξίσωσης Schrodinger πουμόνοεξαρτάται από τη θέση του σωματιδίου. Η συνάρτηση ανεξάρτητου κύματος χρόνου δίνεται από:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
Εδώμιείναι η ενέργεια του κβαντικού μηχανικού συστήματος, καιΗείναι ο χειριστής της Χάμιλτον. Αυτή η μορφή της εξίσωσης παίρνει την ακριβή μορφή μιας εξίσωσης ιδιοτιμής, με τη συνάρτηση κυμάτων είναι η ιδιοκατασκευή, και η ενέργεια είναι η ιδιοτιμή όταν εφαρμόζεται ο χειριστής Hamiltonian σε αυτό. Επεκτείνοντας το Hamiltonian σε μια πιο ρητή μορφή, μπορεί να γραφτεί πλήρως ως:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Το χρονικό μέρος της εξίσωσης περιέχεται στη συνάρτηση:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Λύσεις στην εξίσωση Schrodinger που είναι ανεξάρτητη από το χρόνο
Η ανεξάρτητη από το χρόνο εξίσωση Schrodinger προσφέρεται για αρκετά απλές λύσεις, διότι μειώνει την πλήρη μορφή της εξίσωσης. Ένα τέλειο παράδειγμα αυτού είναι η ομάδα λύσεων «σωματίδιο σε κουτί» όπου το σωματίδιο θεωρείται ότι βρίσκεται σε άπειρο τετραγωνικό δυναμικό σε μία διάσταση, επομένως υπάρχει μηδενικό δυναμικό (δηλ.Β= 0) καθ 'όλη τη διάρκεια, και δεν υπάρχει πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο έξω από το πηγάδι.
Υπάρχει επίσης ένα τετράγωνο πηγάδι, όπου το δυναμικό στους «τοίχους» του πηγαδιού δεν είναι απεριόριστο και ακόμη και αν είναι υψηλότερο από την ενέργεια του σωματιδίου, υπάρχειμερικοίδυνατότητα εύρεσης του σωματιδίου έξω από αυτό λόγω κβαντικής σήραγγας. Για το άπειρο δυναμικό, οι λύσεις έχουν τη μορφή:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Οπουμεγάλοείναι το μήκος του πηγαδιού.
Ένα δυναμικό λειτουργίας δέλτα είναι μια πολύ παρόμοια ιδέα με το πηγάδι δυναμικού, εκτός από το πλάτοςμεγάλοπηγαίνει στο μηδέν (δηλαδή είναι άπειρο γύρω από ένα μόνο σημείο) και το βάθος του πηγαδιού πηγαίνει στο άπειρο, ενώ το προϊόν των δύο (Ε0) παραμένει σταθερό. Σε αυτήν την πολύ εξιδανικευμένη κατάσταση, υπάρχει μόνο μία δεσμευμένη κατάσταση, που δίνεται από:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
Με ενέργεια:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Διάλυμα υδρογόνου Atom στην εξίσωση Schrodinger
Τέλος, η λύση ατόμων υδρογόνου έχει προφανείς εφαρμογές στη φυσική του πραγματικού κόσμου, αλλά στην πράξη η κατάσταση για ένα ηλεκτρόνιο γύρω από τον πυρήνα ενός ατόμου υδρογόνου μπορεί να φανεί αρκετά παρόμοιο με το πιθανό πηγάδι προβλήματα. Ωστόσο, η κατάσταση είναι τρισδιάστατη και περιγράφεται καλύτερα σε σφαιρικές συντεταγμένεςρ, θ, ϕ. Η λύση σε αυτήν την περίπτωση δίνεται από:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
ΟπουΠείναι τα πολυώνυμα Legendre,Ρείναι συγκεκριμένες ακτινικές λύσεις, καιΝείναι μια σταθερά που διορθώνετε χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι η λειτουργία κύματος πρέπει να ομαλοποιηθεί. Η εξίσωση αποδίδει επίπεδα ενέργειας που δίδονται από:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
ΟπουΖεδώ είναι ο ατομικός αριθμός (έτσιΖ= 1 για ένα άτομο υδρογόνου),μιστην περίπτωση αυτή είναι η φόρτιση ενός ηλεκτρονίου (και όχι η σταθεράμι = 2.7182818...), ϵ0 είναι η διαπερατότητα του ελεύθερου χώρου καιμείναι η μειωμένη μάζα, η οποία βασίζεται στις μάζες του πρωτονίου και του ηλεκτρονίου σε ένα άτομο υδρογόνου. Αυτή η έκφραση είναι καλή για οποιοδήποτε άτομο που μοιάζει με υδρογόνο, που σημαίνει οποιαδήποτε κατάσταση (συμπεριλαμβανομένων των ιόντων) όπου υπάρχει ένα ηλεκτρόνιο σε τροχιά γύρω από έναν κεντρικό πυρήνα.
