Η επίλυση των μυστηρίων του ηλεκτρομαγνητισμού ήταν ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της φυσικής μέχρι σήμερα, και τα διδάγματα που αντλήθηκαν είναι πλήρως ενσωματωμένα στις εξισώσεις του Maxwell.
Ο James Clerk Maxwell δίνει το όνομά του σε αυτές τις τέσσερις κομψές εξισώσεις, αλλά είναι το αποκορύφωμα δεκαετιών εργασίας πολλών φυσικών, συμπεριλαμβανομένων των Michael Faraday, Andre-Marie Ampere και Carl Friedrich Gauss - που δίνουν τα ονόματά τους σε τρεις από τις τέσσερις εξισώσεις - και πολλές οι υπολοιποι. Ενώ ο ίδιος ο Maxwell πρόσθεσε μόνο έναν όρο σε μία από τις τέσσερις εξισώσεις, είχε την προνοητικότητα και την κατανόηση Συλλέξτε το καλύτερο έργο που είχε γίνει στο θέμα και παρουσιάστε τα με τρόπο που χρησιμοποιείται ακόμη από φυσικοί σήμερα.
Για πολλά, πολλά χρόνια, οι φυσικοί πίστευαν ότι ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός ήταν ξεχωριστές δυνάμεις και ξεχωριστά φαινόμενα. Αλλά μέσω του πειραματικού έργου ανθρώπων όπως ο Faraday, έγινε όλο και πιο ξεκάθαρο ότι ήταν στην πραγματικότητα δύο πλευρές του ίδιο φαινόμενο, και οι εξισώσεις του Maxwell παρουσιάζουν αυτήν την ενοποιημένη εικόνα που εξακολουθεί να ισχύει τόσο σήμερα όσο ήταν στο 19ο αιώνας. Εάν πρόκειται να σπουδάσετε φυσική σε υψηλότερα επίπεδα, πρέπει απολύτως να γνωρίζετε τις εξισώσεις του Maxwell και πώς να τις χρησιμοποιήσετε.
Εξισώσεις του Maxwell
Οι εξισώσεις του Maxwell έχουν ως εξής, τόσο στη διαφορική μορφή όσο και στην ολοκληρωμένη μορφή. (Σημειώστε ότι ενώ η γνώση των διαφορικών εξισώσεων είναι χρήσιμη εδώ, μια εννοιολογική κατανόηση είναι δυνατή ακόμη και χωρίς αυτήν.)
Ο νόμος του Gauss για την ηλεκτρική ενέργεια
Διαφορική μορφή:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Ολοκληρωμένη μορφή:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Κανένας νόμος Monopole / νόμος Gauss για μαγνητισμό
Διαφορική μορφή:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Ολοκληρωμένη μορφή:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Ο νόμος της επαγωγής του Faraday
Διαφορική μορφή:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {∂t}
Ολοκληρωμένη μορφή:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
Ampere-Maxwell Law / Ampere's Law
Διαφορική μορφή:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Ολοκληρωμένη μορφή:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Σύμβολα που χρησιμοποιούνται στις εξισώσεις του Maxwell
Οι εξισώσεις του Maxwell χρησιμοποιούν μια πολύ μεγάλη ποικιλία συμβόλων και είναι σημαντικό να καταλάβετε τι σημαίνουν εάν πρόκειται να μάθετε να τα εφαρμόζετε. Ορίστε λοιπόν μια αναλυτική έννοια των συμβόλων που χρησιμοποιούνται:
σι= μαγνητικό πεδίο
μι= ηλεκτρικό πεδίο
ρ= πυκνότητα ηλεκτρικού φορτίου
ε0= διαπερατότητα ελεύθερου χώρου = 8,854 × 10-12 Μ-3 κιλό-1 μικρό4 ΕΝΑ2
ε= συνολικό ηλεκτρικό φορτίο (καθαρό άθροισμα θετικών και αρνητικών φορτίων)
𝜙σι = μαγνητική ροή
Ι= τρέχουσα πυκνότητα
Εγώ= ηλεκτρικό ρεύμα
ντο= ταχύτητα φωτός = 2,998 × 108 Κυρία
μ0 = διαπερατότητα ελεύθερου χώρου = 4π × 10−7 ΟΧΙ2
Επιπλέον, είναι σημαντικό να γνωρίζετε ότι ∇ είναι ο χειριστής del, μια τελεία μεταξύ δύο ποσοτήτων (Χ ∙ Γ) δείχνει ένα κλιμακωτό προϊόν, ένα σύμβολο με τολμηρό πολλαπλασιασμό μεταξύ δύο ποσοτήτων είναι ένα διανυσματικό προϊόν (Χ × Γ), ότι ο χειριστής del με τελεία ονομάζεται «απόκλιση» (π.χ., ∙ Χ= απόκλιση τουΧ= divΧ) και ένας χειριστής del με ένα βαθμωτό προϊόν ονομάζεται μπούκλα (π.χ., ∇× Γ= μπούκλα τουΓ= μπούκλαΓ). Τέλος, τοΕΝΑστο δΕΝΑσημαίνει την επιφάνεια της κλειστής επιφάνειας για την οποία υπολογίζετε (μερικές φορές γράφεται ως dμικρό), και τομικρόστο δμικρόείναι ένα πολύ μικρό μέρος του ορίου της ανοιχτής επιφάνειας για την οποία υπολογίζετε (αν και αυτό είναι μερικές φορές dμεγάλο, αναφερόμενο σε ένα άπειρο στοιχείο μικρής γραμμής).
Παράγωγο των εξισώσεων
Η πρώτη εξίσωση των εξισώσεων του Maxwell είναι ο νόμος του Gauss και δηλώνει ότι η καθαρή ηλεκτρική ροή μέσω ενός η κλειστή επιφάνεια ισούται με το συνολικό φορτίο που περιέχεται στο σχήμα διαιρούμενο με τη διαπερατότητα του δωρεάν χώρος. Αυτός ο νόμος μπορεί να προέλθει από τον νόμο της Coulomb, αφού λάβει το σημαντικό βήμα για να εκφραστεί ο νόμος της Coulomb όσον αφορά το ηλεκτρικό πεδίο και την επίδραση που θα είχε σε ένα φορτίο δοκιμής.
Το δεύτερο από τις εξισώσεις του Maxwell είναι ουσιαστικά ισοδύναμο με τη δήλωση ότι «δεν υπάρχουν μαγνητικά μονοπόλια». Δηλώνει ότι η καθαρή μαγνητική ροή μέσω μιας κλειστής επιφάνειας θα είναι πάντα 0, επειδή τα μαγνητικά πεδία είναι πάντα το αποτέλεσμα ενός δίπολο. Ο νόμος μπορεί να προέλθει από τον νόμο Biot-Savart, ο οποίος περιγράφει το μαγνητικό πεδίο που παράγεται από ένα τρέχον στοιχείο.
Η τρίτη εξίσωση - ο νόμος επαγωγής του Faraday - περιγράφει πώς ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο παράγει μια τάση σε ένα βρόχο σύρματος ή αγωγού. Προήλθε αρχικά από ένα πείραμα. Ωστόσο, δεδομένου του αποτελέσματος ότι μια μεταβαλλόμενη μαγνητική ροή προκαλεί μια ηλεκτροκινητική δύναμη (EMF ή τάση) και συνεπώς ένα ηλεκτρικό ρεύμα σε βρόχος σύρματος, και το γεγονός ότι το EMF ορίζεται ως η ενσωματωμένη γραμμή του ηλεκτρικού πεδίου γύρω από το κύκλωμα, ο νόμος είναι εύκολο να τεθεί μαζί.
Η τέταρτη και τελευταία εξίσωση, ο νόμος του Ampere (ή ο νόμος Ampere-Maxwell που του δίνει πίστωση για το δικό του συνεισφορά) περιγράφει πώς ένα μαγνητικό πεδίο δημιουργείται από ένα κινούμενο φορτίο ή ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο. Ο νόμος είναι το αποτέλεσμα του πειράματος (και έτσι - όπως όλες οι εξισώσεις του Maxwell - δεν ήταν πραγματικά "παράγωγο" με παραδοσιακή έννοια), αλλά χρησιμοποιώνταςΤο θεώρημα του Stokesείναι ένα σημαντικό βήμα για να πάρει το βασικό αποτέλεσμα στη φόρμα που χρησιμοποιείται σήμερα.
Παραδείγματα εξισώσεων του Maxwell: Νόμος Gauss
Για να είμαι ειλικρινής, ειδικά εάν δεν είστε ακριβώς πάνω στον υπολογισμό του φορέα σας, οι εξισώσεις του Maxwell φαίνονται αρκετά τρομακτικές παρά το πόσο μικρές είναι όλες. Ο καλύτερος τρόπος για να τους κατανοήσετε πραγματικά είναι να δείτε μερικά παραδείγματα χρήσης τους στην πράξη και ο νόμος του Gauss είναι το καλύτερο μέρος για να ξεκινήσετε. Ο νόμος του Gauss είναι ουσιαστικά μια πιο θεμελιώδης εξίσωση που κάνει τη δουλειά του νόμου του Coulomb και είναι είναι πολύ εύκολο να αντλήσουμε το νόμο του Coulomb από αυτό, λαμβάνοντας υπόψη το ηλεκτρικό πεδίο που παράγεται από ένα σημείο χρέωση.
Κλήση της χρέωσηςε, το βασικό σημείο για την εφαρμογή του νόμου του Gauss είναι η επιλογή της σωστής «επιφάνειας» για την εξέταση της ηλεκτρικής ροής. Σε αυτήν την περίπτωση, μια σφαίρα λειτουργεί καλά, η οποία έχει εμβαδόνΕΝΑ = 4πρ2, επειδή μπορείτε να κεντράρετε τη σφαίρα στο σημείο φόρτισης. Αυτό είναι ένα τεράστιο όφελος για την επίλυση προβλημάτων όπως αυτό γιατί τότε δεν χρειάζεται να ενσωματώσετε ένα διαφορετικό πεδίο σε όλη την επιφάνεια. το πεδίο θα είναι συμμετρικό γύρω από το σημείο φόρτισης, και έτσι θα είναι σταθερό σε όλη την επιφάνεια της σφαίρας. Έτσι, η ολοκληρωμένη μορφή:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Μπορεί να εκφραστεί ως:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Σημειώστε ότι τομιγια το ηλεκτρικό πεδίο έχει αντικατασταθεί με απλό μέγεθος, επειδή το πεδίο από ένα σημείο φόρτισης απλώς απλώνεται εξίσου σε όλες τις κατευθύνσεις από την πηγή. Τώρα, διαιρώντας από την επιφάνεια της σφαίρας δίνει:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Δεδομένου ότι η δύναμη σχετίζεται με το ηλεκτρικό πεδίο απόμι = φά/ε, όπουεείναι μια δοκιμαστική χρέωση,φά = qE, και έτσι:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
Όπου οι συνδρομητές έχουν προστεθεί για να διαφοροποιήσουν τις δύο χρεώσεις. Αυτός είναι ο νόμος του Coulomb που αναφέρεται σε τυπική μορφή, που φαίνεται να είναι μια απλή συνέπεια του νόμου του Gauss.
Παραδείγματα εξισώσεων του Maxwell: Νόμος του Faraday
Ο νόμος του Faraday σάς επιτρέπει να υπολογίζετε την ηλεκτροκινητική δύναμη σε έναν βρόχο σύρματος που προκύπτει από ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο. Ένα απλό παράδειγμα είναι ένας βρόχος σύρματος, με ακτίναρ= 20 cm, σε μαγνητικό πεδίο που αυξάνεται σε μέγεθος απόσιΕγώ = 1 T έωςσιφά = 10 T στο διάστημα του Δτ= 5 s - ποιο είναι το επαγόμενο EMF σε αυτήν την περίπτωση; Η ολοκληρωμένη μορφή του νόμου περιλαμβάνει τη ροή:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {∂t}
που ορίζεται ως:
ϕ = BA \ cos (θ)
Το βασικό μέρος του προβλήματος εδώ είναι η εύρεση του ρυθμού αλλαγής της ροής, αλλά επειδή το πρόβλημα είναι αρκετά απλό, μπορείτε να αντικαταστήσετε το μερικό παράγωγο με μια απλή «αλλαγή» σε κάθε ποσότητα. Και το ακέραιο σημαίνει πραγματικά την ηλεκτροκινητική δύναμη, έτσι μπορείτε να ξαναγράψετε τον νόμο επαγωγής του Faraday ως:
\ text {EMF} = - \ frac {ΔBA \ cos (θ)} {Δt}
Αν υποθέσουμε ότι ο βρόχος του σύρματος έχει την κανονική ευθυγράμμιση με το μαγνητικό πεδίο,θ= 0 ° και έτσι cos (θ) = 1. Αυτό αφήνει:
\ text {EMF} = - \ frac {ΔBA} {Δt}
Το πρόβλημα μπορεί στη συνέχεια να λυθεί με την εύρεση της διαφοράς μεταξύ του αρχικού και του τελικού μαγνητικού πεδίου και της περιοχής του βρόχου, ως εξής:
\ begin {aligned} \ text {EMF} & = - \ frac {ΔBA} {Δt} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {Δt} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0,2 \ κείμενο {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0,23 \ κείμενο {V } \ end {στοίχιση}
Αυτό είναι μόνο μια μικρή τάση, αλλά ο νόμος του Faraday εφαρμόζεται με τον ίδιο τρόπο, ανεξάρτητα από το.
Παραδείγματα εξισώσεων του Maxwell: Νόμος Ampere-Maxwell
Ο νόμος Ampere-Maxwell είναι ο τελευταίος από τους εξισώσεις του Maxwell που θα πρέπει να εφαρμόζετε σε τακτική βάση. Η εξίσωση επανέρχεται στο νόμο του Ampere, ελλείψει εναλλασσόμενου ηλεκτρικού πεδίου, οπότε αυτό είναι το πιο εύκολο παράδειγμα που πρέπει να λάβετε υπόψη. Μπορείτε να το χρησιμοποιήσετε για να εξαγάγετε την εξίσωση για ένα μαγνητικό πεδίο που προκύπτει από ένα ευθύ καλώδιο που φέρει ρεύμαΕγώκαι αυτό το βασικό παράδειγμα είναι αρκετό για να δείξει πώς χρησιμοποιείται η εξίσωση. Ο πλήρης νόμος είναι:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Αλλά χωρίς να αλλάζει ηλεκτρικό πεδίο μειώνεται σε:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Τώρα, όπως και με τον νόμο του Gauss, εάν επιλέξετε έναν κύκλο για την επιφάνεια, με επίκεντρο τον βρόχο σύρματος, η διαίσθηση υποδηλώνει ότι το μαγνητικό πεδίο που προκύπτει θα είναι συμμετρικό, και έτσι μπορείτε να αντικαταστήσετε το ακέραιο με ένα απλό προϊόν της περιφέρειας του βρόχου και της ισχύος του μαγνητικού πεδίου, φεύγοντας:
B × 2πr = μ_0 I
Διαίρεση με 2πρδίνει:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Ποια είναι η αποδεκτή έκφραση για το μαγνητικό πεδίο σε απόστασηρπροκύπτει από ένα ευθύ καλώδιο που φέρει ρεύμα.
Ηλεκτρομαγνητικά κύματα
Όταν ο Μάξγουελ συγκέντρωσε τις εξισώσεις του, άρχισε να βρει λύσεις για να εξηγήσει διάφορα φαινόμενα στον πραγματικό κόσμο, και η εικόνα που έδωσε στο φως είναι ένα από τα πιο σημαντικά αποτελέσματα που αυτός λαμβάνεται.
Επειδή ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο δημιουργεί ένα μαγνητικό πεδίο (σύμφωνα με τον νόμο του Ampere) και ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο δημιουργεί ένα ηλεκτρικό πεδίο (σύμφωνα με τον νόμο του Faraday), ο Maxwell διαπίστωσε ότι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα που διαδίδεται δυνατόν. Χρησιμοποίησε τις εξισώσεις του για να βρει την κυματική εξίσωση που θα περιέγραφε ένα τέτοιο κύμα και αποφάσισε ότι θα ταξίδευε με την ταχύτητα του φωτός. Αυτή ήταν μια «ουρία» στιγμή. συνειδητοποίησε ότι το φως είναι μια μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, λειτουργεί όπως το πεδίο που φαντάστηκε!
Ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα αποτελείται από ένα κύμα ηλεκτρικού πεδίου και ένα κύμα μαγνητικού πεδίου που ταλαντεύεται εμπρός και πίσω, ευθυγραμμισμένο σε ορθή γωνία μεταξύ τους. Η ταλάντωση του ηλεκτρικού μέρους του κύματος δημιουργεί το μαγνητικό πεδίο και η ταλάντωση αυτού του τμήματος με τη σειρά του παράγει ένα ηλεκτρικό πεδίο ξανά, συνεχώς καθώς ταξιδεύει μέσα στο διάστημα.
Όπως κάθε άλλο κύμα, ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα έχει συχνότητα και μήκος κύματος και το προϊόν αυτών είναι πάντα ίσο μεντο, η ταχύτητα του φωτός. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα βρίσκονται γύρω μας, καθώς και το ορατό φως, άλλα μήκη κύματος ονομάζονται συνήθως ραδιοκύματα, μικροκύματα, υπέρυθρες, υπεριώδεις ακτίνες Χ και ακτίνες γάμμα. Όλες αυτές οι μορφές ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας έχουν την ίδια βασική μορφή όπως εξηγείται από τις εξισώσεις του Maxwell, αλλά οι ενέργειές τους ποικίλλουν ανάλογα με τη συχνότητα (δηλαδή, μια υψηλότερη συχνότητα σημαίνει υψηλότερη ενέργεια).
Έτσι, για έναν φυσικό, ήταν ο Μάξγουελ που είπε, «Ας υπάρχει φως!»
