Ο νόμος των πιθανοτήτων

Η πιθανότητα μετρά την πιθανότητα εμφάνισης ενός συμβάντος. Εκφρασμένη μαθηματικά, η πιθανότητα ισούται με τον αριθμό των τρόπων με τους οποίους μπορεί να συμβεί ένα καθορισμένο συμβάν, διαιρούμενο με τον συνολικό αριθμό όλων των πιθανών συμβάντων. Για παράδειγμα, εάν έχετε μια σακούλα που περιέχει τρία μάρμαρα - ένα μπλε μάρμαρο και δύο πράσινα μάρμαρα - η πιθανότητα να αρπάξει ένα μπλε μαρμάρινο θέαμα αόρατο είναι 1/3. Υπάρχει ένα πιθανό αποτέλεσμα όπου επιλέγεται το μπλε μάρμαρο, αλλά τρία συνολικά πιθανά αποτελέσματα δοκιμής - μπλε, πράσινο και πράσινο. Χρησιμοποιώντας τα ίδια μαθηματικά, η πιθανότητα αρπαγής ενός πράσινου μαρμάρου είναι 2/3.

Μπορείτε να ανακαλύψετε την άγνωστη πιθανότητα ενός συμβάντος μέσω πειραματισμού. Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο παράδειγμα, ας πούμε ότι δεν γνωρίζετε την πιθανότητα να σχεδιάσετε ένα συγκεκριμένο χρωματιστό μάρμαρο, αλλά γνωρίζετε ότι υπάρχουν τρία μάρμαρα στην τσάντα. Εκτελείτε μια δοκιμή και σχεδιάζετε ένα πράσινο μάρμαρο. Εκτελείτε μια άλλη δοκιμή και σχεδιάζετε ένα άλλο πράσινο μάρμαρο. Σε αυτό το σημείο μπορεί να ισχυριστείτε ότι η τσάντα περιέχει μόνο πράσινα μάρμαρα, αλλά βάσει δύο δοκιμών, η πρόβλεψή σας δεν είναι αξιόπιστη. Είναι πιθανό η τσάντα να περιέχει μόνο πράσινα μάρμαρα ή μπορεί να είναι τα άλλα δύο κόκκινα και επιλέξατε το μόνο πράσινο μάρμαρο διαδοχικά. Εάν εκτελέσετε την ίδια δοκιμή 100 φορές, πιθανότατα θα ανακαλύψετε ότι επιλέγετε ένα πράσινο μάρμαρο περίπου 66% τοις εκατό του χρόνου. Αυτή η συχνότητα αντικατοπτρίζει τη σωστή πιθανότητα με μεγαλύτερη ακρίβεια από το πρώτο σας πείραμα. Αυτός είναι ο νόμος των μεγάλων αριθμών: όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των δοκιμών, τόσο ακριβέστερα η συχνότητα του αποτελέσματος ενός συμβάντος θα αντικατοπτρίζει την πραγματική πιθανότητά του.

Η πιθανότητα μπορεί να κυμαίνεται μόνο από τις τιμές 0 έως 1. Η πιθανότητα 0 σημαίνει ότι δεν υπάρχουν πιθανά αποτελέσματα για αυτό το συμβάν. Στο προηγούμενο παράδειγμα μας, η πιθανότητα σχεδίασης ενός κόκκινου μαρμάρου είναι μηδενική. Η πιθανότητα 1 σημαίνει ότι το συμβάν θα συμβεί σε κάθε δοκιμή. Η πιθανότητα σχεδίασης είτε πράσινου μαρμάρου είτε μπλε μαρμάρου είναι 1. Δεν υπάρχουν άλλα πιθανά αποτελέσματα. Στη σακούλα που περιέχει ένα μπλε μάρμαρο και δύο πράσινα, η πιθανότητα σχεδίασης ενός πράσινου μαρμάρου είναι 2/3. Αυτός είναι ένας αποδεκτός αριθμός επειδή τα 2/3 είναι μεγαλύτερα από 0, αλλά λιγότερο από 1 - εντός του εύρους των αποδεκτών τιμών πιθανότητας. Γνωρίζοντας αυτό, μπορείτε να εφαρμόσετε τον νόμο της αφαίρεσης, ο οποίος αναφέρει εάν γνωρίζετε την πιθανότητα ενός συμβάντος, μπορείτε να δηλώσετε με ακρίβεια την πιθανότητα να μην συμβεί αυτό το συμβάν. Γνωρίζοντας την πιθανότητα σχεδίασης ενός πράσινου μαρμάρου είναι 2/3, μπορείτε να αφαιρέσετε αυτήν την τιμή από το 1 και να καθορίσετε σωστά την πιθανότητα να μην σχεδιάσετε ένα πράσινο μάρμαρο: 1/3.

Εάν θέλετε να βρείτε την πιθανότητα δύο συμβάντων να εμφανίζονται σε διαδοχικές δοκιμές, χρησιμοποιήστε τον νόμο πολλαπλασιασμού. Για παράδειγμα, αντί για την προηγούμενη τσάντα τριών μαρμάρων, ας πούμε ότι υπάρχει μια τσάντα πέντε μαρμάρων. Υπάρχει ένα μπλε μάρμαρο, δύο πράσινα μάρμαρα και δύο κίτρινα μάρμαρα. Αν θέλετε να βρείτε την πιθανότητα να σχεδιάσετε ένα μπλε μάρμαρο και ένα πράσινο μάρμαρο, με οποιαδήποτε σειρά (και χωρίς να επιστρέψετε το πρώτο μάρμαρο στην τσάντα), βρείτε την πιθανότητα να σχεδιάσετε ένα μπλε μάρμαρο και την πιθανότητα να σχεδιάσετε ένα πράσινο μάρμαρο. Η πιθανότητα να τραβήξετε ένα μπλε μάρμαρο από τη σακούλα των πέντε μαρμάρων είναι 1/5. Η πιθανότητα σχεδίασης πράσινου μαρμάρου από το υπόλοιπο σετ είναι 2/4 ή 1/2. Η σωστή εφαρμογή του νόμου του πολλαπλασιασμού συνεπάγεται πολλαπλασιασμό των δύο πιθανοτήτων, 1/5 και 1/2, για πιθανότητα 1/10. Αυτό εκφράζει την πιθανότητα να συμβούν τα δύο γεγονότα μαζί.

Εφαρμόζοντας ό, τι γνωρίζετε για το νόμο του πολλαπλασιασμού, μπορείτε να προσδιορίσετε την πιθανότητα εμφάνισης μόνο ενός από τα δύο συμβάντα. Ο νόμος της προσθήκης δηλώνει ότι η πιθανότητα ενός από τα δύο γεγονότα να συμβεί είναι ίσο με το άθροισμα των τις πιθανότητες κάθε συμβάντος να συμβαίνει ξεχωριστά, μείον την πιθανότητα και των δύο συμβάντων συμβαίνει. Στην τσάντα πέντε μαρμάρων, ας πούμε ότι θέλετε να μάθετε την πιθανότητα να σχεδιάσετε είτε ένα μπλε μάρμαρο είτε ένα πράσινο μάρμαρο. Προσθέστε την πιθανότητα σχεδίασης μπλε μαρμάρου (1/5) στην πιθανότητα σχεδίασης πράσινου μαρμάρου (2/5). Το άθροισμα είναι 3/5. Στο προηγούμενο παράδειγμα που εκφράζει το νόμο του πολλαπλασιασμού, βρήκαμε ότι η πιθανότητα σχεδίασης τόσο ενός μπλε όσο και ενός πράσινου μαρμάρου είναι 1/10. Αφαιρέστε το από το άθροισμα των 3/5 (ή 6/10 για ευκολότερη αφαίρεση) για τελική πιθανότητα 1/2.