Η ολοκλήρωση των λειτουργιών είναι μία από τις βασικές εφαρμογές του λογισμού. Μερικές φορές, αυτό είναι απλό, όπως στο:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
Σε ένα συγκριτικά περίπλοκο παράδειγμα αυτού του τύπου, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μια έκδοση του βασικού τύπου για την ενσωμάτωση αόριστων ολοκληρωμάτων:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
όπουΕΝΑκαιντοείναι σταθερές.
Έτσι για αυτό το παράδειγμα,
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
Ενσωμάτωση βασικών τετραγωνικών ριζών συναρτήσεων
Στην επιφάνεια, η ενσωμάτωση μιας λειτουργίας τετραγωνικής ρίζας είναι δύσκολη. Για παράδειγμα, μπορεί να σας αρέσει:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Αλλά μπορείτε να εκφράσετε μια τετραγωνική ρίζα ως εκθέτης, 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Το ακέραιο επομένως γίνεται:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
στην οποία μπορείτε να εφαρμόσετε τη συνήθη φόρμουλα από ψηλά:
\ start {aligned} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ τέλος {στοίχιση}
Ενσωμάτωση πιο σύνθετων λειτουργιών τετραγωνικής ρίζας
Μερικές φορές, μπορεί να έχετε περισσότερους από έναν όρους υπό το ριζικό σημείο, όπως σε αυτό το παράδειγμα:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Μπορείς να χρησιμοποιήσειςεσύ- υποκατάσταση για να προχωρήσετε. Εδώ, ορίσατεεσύίση με την ποσότητα στον παρονομαστή:
u = \ sqrt {x - 3}
Λύστε αυτό γιαΧτετραγωνίζοντας και τις δύο πλευρές και αφαιρώντας:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
Αυτό σας επιτρέπει να λάβετε dx σε όρουςεσύλαμβάνοντας το παράγωγο τουΧ:
dx = (2u) du
Αντικαθιστώντας πίσω στην αρχική ολοκλήρωση δίνει
\ start {aligned} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {στοίχιση}
Τώρα μπορείτε να το ενσωματώσετε χρησιμοποιώντας τον βασικό τύπο και την έκφρασηεσύσε όρουςΧ:
\ begin {aligned} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ end {στοίχιση}