Τι συμβαίνει όταν αυξάνετε έναν αριθμό σε ένα κλάσμα;

Όταν "αυξάνετε έναν αριθμό σε ισχύ", πολλαπλασιάζετε τον αριθμό από μόνο του και το "power" αντιπροσωπεύει πόσες φορές το κάνετε. Έτσι, το 2 που ανεβαίνει στην 3η ισχύ είναι το ίδιο με το 2 x 2 x 2, που ισούται με το 8. Όταν αυξάνετε έναν αριθμό σε ένα κλάσμα, ωστόσο, πηγαίνετε στην αντίθετη κατεύθυνση - προσπαθείτε να βρείτε τη "ρίζα" του αριθμού.

Ο μαθηματικός όρος για την αύξηση ενός αριθμού σε μια δύναμη είναι "εκθετικότητα". Μια εκθετική έκφραση έχει δύο μέρη: τη βάση, που είναι τον αριθμό που αυξάνετε και τον εκθέτη, που είναι η «δύναμη». Έτσι, όταν ανεβάζετε το 2 στην 3η δύναμη, η βάση είναι 2 και ο εκθέτης είναι 3. Η ανύψωση της βάσης στη 2η δύναμη ονομάζεται συνήθως τετράγωνο της βάσης, ενώ η ανύψωσή της στην 3η δύναμη συνήθως ονομάζεται κύβος της βάσης. Οι μαθηματικοί γράφουν συνήθως εκθετικές εκφράσεις με τον εκθέτη σε υπεργράφημα - δηλαδή, ως μικρό αριθμό στην επάνω δεξιά γωνία της βάσης. Επειδή ορισμένοι υπολογιστές, αριθμομηχανές και άλλες συσκευές δεν χειρίζονται το υπεργράφημα πολύ καλά, οι εκθετικές εκφράσεις γράφονται επίσης συνήθως ως εξής: 2 ^ 3. Το καρέ - το σύμβολο προς τα πάνω - σας λέει ότι αυτό που ακολουθεί είναι ο εκθέτης.

Στα μαθηματικά, οι "ρίζες" μοιάζουν με εκθέτες. Για παράδειγμα, πάρτε το "2 στην 4η δύναμη", συντομευμένο ως 2 ^ 4. Αυτό είναι ίσο με 2 x 2 x 2 x 2 ή 16. Δεδομένου ότι το 2 πολλαπλασιάζεται από μόνος του τέσσερις φορές ισούται με 16, η "4η ρίζα" του 16 είναι 2. Τώρα κοιτάξτε τον αριθμό 729. Αυτό διαιρείται σε 9 x 9 x 9 - έτσι το 9 είναι η 3η ρίζα του 729. Αναλύεται επίσης σε 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 - έτσι το 3 είναι η 6η ρίζα του 729. Η 2η ρίζα ενός αριθμού ονομάζεται συνήθως το τετραγωνική ρίζα, και η 3η ρίζα είναι η κυβική ρίζα.

Όταν ο εκθέτης είναι ένα κλάσμα, ψάχνετε μια ρίζα της βάσης. Η ρίζα αντιστοιχεί στον παρονομαστή του κλάσματος. Για παράδειγμα, πάρτε το "125 ανυψωμένο στη δύναμη 1/3" ή το 125 ^ 1/3. Ο παρονομαστής του κλάσματος είναι 3, οπότε ψάχνετε την 3η ρίζα (ή τη ρίζα κύβου) του 125. Επειδή 5 x 5 x 5 = 125, η 3η ρίζα του 125 είναι 5. Έτσι, 125 ^ 1/3 = 5. Τώρα δοκιμάστε 256 ^ 1/4. Ψάχνετε για την 4η ρίζα του 256. Δεδομένου ότι 4 x 4 x 4 x 4 = 256, η απάντηση είναι 4.

ο κλασματικοί εκθέτες συζητήθηκαν σε αυτό το σημείο - 1/3 και 1/4 - ο καθένας είχε έναν αριθμητή του 1. Εάν ο αριθμητής είναι κάτι διαφορετικό από το 1, ο εκθέτης σας καθοδηγεί πραγματικά να εκτελέσετε δύο λειτουργίες: εύρεση ρίζας και αύξηση της δύναμης. Για παράδειγμα, πάρτε 8 ^ 2/3. Ο παρονομαστής "3" σας λέει ότι αναζητάτε μια ρίζα κύβου. ο αριθμητής "2" σας λέει ότι θα ανεβείτε στη 2η δύναμη. Δεν έχει σημασία ποια λειτουργία εκτελείτε πρώτα. Θα έχετε το ίδιο αποτέλεσμα με κάθε τρόπο. Έτσι θα μπορούσατε να ξεκινήσετε παίρνοντας την 3η ρίζα του 8, που είναι 2, και στη συνέχεια ανεβάζοντάς την στη 2η δύναμη, η οποία θα σας έδινε 4. Ή θα μπορούσατε να ξεκινήσετε ανεβάζοντας 8 στη 2η ισχύ, που ισούται με 64, και στη συνέχεια παίρνοντας την 3η ρίζα αυτού του αριθμού, που είναι 4. Ίδιο αποτέλεσμα.

Στην πραγματικότητα, ο κανόνας "αριθμητής ως δύναμη, παρονομαστής ως ρίζα" ισχύει για όλους τους εκθέτες - ακόμη και εκθέτες ολόκληρου αριθμού και κλασματικοί εκθέτες με αριθμητή 1. Για παράδειγμα, ολόκληρος ο αριθμός 2 είναι το ισοδύναμο του κλάσματος 2/1. Έτσι, η εκθετική έκφραση 9 ^ 2 είναι "πραγματικά" 9 ^ 2/1. Η αύξηση 9 στη 2η δύναμη σας δίνει 81. Τώρα πρέπει να πάρετε την "1η ρίζα" του 81. Αλλά η 1η ρίζα οποιουδήποτε αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός, οπότε η απάντηση παραμένει 81. Τώρα κοιτάξτε την έκφραση 9 ^ 1/2. Θα μπορούσατε να ξεκινήσετε ανεβάζοντας το 9 στην "1η δύναμη". Όμως οποιοσδήποτε αριθμός αυξάνεται στην 1η δύναμη είναι ο ίδιος ο αριθμός. Το μόνο που έχετε να κάνετε είναι να πάρετε την τετραγωνική ρίζα του 9, που είναι 3. Ο κανόνας εξακολουθεί να ισχύει, αλλά σε αυτές τις περιπτώσεις, μπορείτε να παραλείψετε ένα βήμα.