Παρόμοια τρίγωνα έχουν το ίδιο σχήμα αλλά όχι απαραίτητα το ίδιο μέγεθος. Όταν τα τρίγωνα είναι παρόμοια, έχουν πολλές από τις ίδιες ιδιότητες και χαρακτηριστικά. Τα θεωρήματα ομοιότητας τριγώνων καθορίζουν τις συνθήκες υπό τις οποίες δύο τρίγωνα είναι παρόμοια και ασχολούνται με τις πλευρές και τις γωνίες κάθε τριγώνου. Μόλις ένας συγκεκριμένος συνδυασμός γωνιών και πλευρών ικανοποιήσει τα θεωρήματα, μπορείτε να θεωρήσετε τα τρίγωνα παρόμοια.
TL; DR (Πάρα πολύ καιρό; Δεν διαβάστηκε)
Υπάρχουν τρία θεωρήματα ομοιότητας τριγώνων που καθορίζουν υπό ποιες συνθήκες τα τρίγωνα είναι παρόμοια:
- Εάν δύο από τις γωνίες είναι ίδιες, η τρίτη γωνία είναι η ίδια και τα τρίγωνα είναι παρόμοια.
- Εάν οι τρεις πλευρές έχουν τις ίδιες αναλογίες, τα τρίγωνα είναι παρόμοια.
- Εάν οι δύο πλευρές είναι στις ίδιες αναλογίες και η γωνία που περιλαμβάνεται είναι η ίδια, τα τρίγωνα είναι παρόμοια.
Τα θεωρήματα AA, AAA και Angle-Angle
Εάν δύο από τις γωνίες των δύο τριγώνων είναι ίδιες, τα τρίγωνα είναι παρόμοια. Αυτό γίνεται σαφές από την παρατήρηση ότι οι τρεις γωνίες ενός τριγώνου πρέπει να προσθέσουν έως και 180 μοίρες. Εάν είναι γνωστές δύο από τις γωνίες, η τρίτη μπορεί να βρεθεί αφαιρώντας τις δύο γνωστές γωνίες από το 180. Εάν οι τρεις γωνίες των δύο τριγώνων είναι ίδιες, τα τρίγωνα έχουν το ίδιο σχήμα και είναι παρόμοια.
Το SSS ή Θεώρημα Side-Side-Side
Εάν και οι τρεις πλευρές των δύο τριγώνων είναι ίδιες, τα τρίγωνα δεν είναι μόνο όμοια, είναι ομοιόμορφα ή πανομοιότυπα. Για παρόμοια τρίγωνα, οι τρεις πλευρές των δύο τριγώνων πρέπει να είναι μόνο ανάλογες. Για παράδειγμα, εάν ένα τρίγωνο έχει πλευρές 3, 5 και 6 ίντσες και ένα δεύτερο τρίγωνο έχει πλευρές 9, 15 και 18 ίντσες, καθεμία από τις πλευρές του μεγαλύτερου τριγώνου είναι τρεις φορές το μήκος μιας από τις πλευρές του μικρότερου τρίγωνο. Οι πλευρές είναι ανάλογες μεταξύ τους και τα τρίγωνα είναι παρόμοια.
Το θεώρημα SAS ή Side-Angle-Side
Δύο τρίγωνα είναι παρόμοια εάν δύο από τις πλευρές των δύο τριγώνων είναι ανάλογες και η γωνία που περιλαμβάνεται, ή η γωνία μεταξύ των πλευρών, είναι η ίδια. Για παράδειγμα, εάν δύο από τις πλευρές ενός τριγώνου είναι 2 και 3 ίντσες και εκείνες ενός άλλου τριγώνου είναι 4 και 6 ίντσες, οι πλευρές είναι ανάλογες, αλλά τα τρίγωνα μπορεί να μην είναι παρόμοια επειδή οι δύο τρίτες πλευρές θα μπορούσαν να είναι οποιεσδήποτε μήκος. Εάν η γωνία που περιλαμβάνεται είναι η ίδια, τότε και οι τρεις πλευρές των τριγώνων είναι ανάλογες και τα τρίγωνα είναι παρόμοια.
Άλλοι πιθανοί συνδυασμοί γωνίας
Εάν ένα από τα τρία θεωρήματα ομοιότητας τριγώνων πληρούται για δύο τρίγωνα, τα τρίγωνα είναι παρόμοια. Υπάρχουν όμως και άλλοι πιθανοί συνδυασμοί πλευρικής γωνίας που ενδέχεται να εγγυώνται ομοιότητα ή όχι.
Για τις διαμορφώσεις που είναι γνωστές ως γωνία-γωνία-πλευρά (AAS), γωνία-πλευρική-γωνία (ASA) ή πλευρική-γωνία-γωνία (SAA), δεν έχει σημασία πόσο μεγάλες είναι οι πλευρές. τα τρίγωνα θα είναι πάντα παρόμοια. Αυτές οι διαμορφώσεις μειώνονται στο θεώρημα AA γωνίας γωνίας, που σημαίνει ότι και οι τρεις γωνίες είναι ίδιες και τα τρίγωνα είναι παρόμοια.
Ωστόσο, οι διαμορφώσεις πλευρικής-γωνίας ή γωνίας-πλευράς δεν εξασφαλίζουν ομοιότητα. (Μην συγχέετε την πλευρική-γωνία με την πλευρά-γωνία-πλευρά. Οι "πλευρές" και "γωνίες" σε κάθε όνομα αναφέρονται στη σειρά με την οποία συναντάτε τις πλευρές και τις γωνίες.) Σε ορισμένες περιπτώσεις, όπως για ορθογώνια τρίγωνα, εάν οι δύο πλευρές είναι ανάλογες και οι γωνίες που δεν περιλαμβάνονται είναι ίδιες, τα τρίγωνα είναι παρόμοιος. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις, τα τρίγωνα μπορεί να είναι ή όχι παρόμοια.
Παρόμοια τρίγωνα ταιριάζουν μεταξύ τους, μπορούν να έχουν παράλληλες πλευρές και κλίμακα από τη μία στην άλλη. Ο προσδιορισμός του κατά πόσον δύο τρίγωνα είναι παρόμοια χρησιμοποιώντας τα θεωρήματα ομοιότητας τριγώνων είναι σημαντικό όταν τέτοια χαρακτηριστικά εφαρμόζονται για την επίλυση γεωμετρικών προβλημάτων.