Τα ριζικά κλάσματα δεν είναι μικρά επαναστατικά κλάσματα που μένουν αργά, πίνοντας και καπνίζετε. Αντ 'αυτού, είναι κλάσματα που περιλαμβάνουν ρίζες - συνήθως τετραγωνικές ρίζες όταν αρχίζετε για πρώτη φορά στο ιδέα, αλλά αργότερα μπορεί να συναντήσετε επίσης ρίζες κύβου, τέταρτες ρίζες και τα παρόμοια, τα οποία ονομάζονται όλα ριζοσπάστες επίσης. Ανάλογα με το τι ακριβώς σας ζητάει ο δάσκαλός σας, υπάρχουν δύο τρόποι απλοποίησης των ριζικών κλασμάτων: εξ ολοκλήρου, απλοποιήστε το, ή "εξορθολογιστείτε" το κλάσμα, πράγμα που σημαίνει ότι εξαλείφετε τη ρίζα από τον παρονομαστή, αλλά μπορεί να έχει ακόμα μια ρίζα στο αριθμητής.
Ακύρωση ριζικών εκφράσεων από ένα κλάσμα
Εξετάστε την πρώτη σας επιλογή, παραχωρώντας το ριζοσπαστικό από το κλάσμα. Υπάρχουν στην πραγματικότητα δύο τρόποι για να γίνει αυτό. Εάν υπάρχει η ίδια ρίζα στο όλους τους όρους τόσο στο πάνω όσο και στο κάτω μέρος του κλάσματος, μπορείτε απλώς να ξεχωρίσετε και να ακυρώσετε τη ριζική έκφραση. Για παράδειγμα, εάν έχετε:
(2√3) / (3√3_)_
Μπορείτε να προσδιορίσετε και τις δύο ρίζες, επειδή υπάρχουν σε κάθε όρο στον αριθμητή και τον παρονομαστή. Αυτό σας αφήνει με:
√3/√3 × 2/3
Και επειδή οποιοδήποτε κλάσμα με τις ίδιες ίδιες μη μηδενικές τιμές στον αριθμητή και τον παρονομαστή είναι ίσο με ένα, μπορείτε να το ξαναγράψετε ως εξής:
1 × 2/3
Ή απλά 2/3.
Απλοποίηση της ριζικής έκφρασης
Μερικές φορές θα βρεθείτε αντιμέτωποι με μια ριζική έκφραση που δεν έχει μια συνοπτική απάντηση, όπως √3 από το προηγούμενο παράδειγμα. Σε αυτήν την περίπτωση, συνήθως διατηρείτε τον ριζοσπαστικό όρο όπως ακριβώς είναι, χρησιμοποιώντας βασικές λειτουργίες όπως factoring ή ακύρωση για να τον αφαιρέσετε ή να τον απομονώσετε. Αλλά μερικές φορές υπάρχει μια προφανής απάντηση. Εξετάστε το ακόλουθο κλάσμα:
(√4)/(√9)
Σε αυτήν την περίπτωση, εάν γνωρίζετε τις τετραγωνικές ρίζες σας, μπορείτε να δείτε ότι και οι δύο ρίζες στην πραγματικότητα αντιπροσωπεύουν οικείους ακέραιους. Η τετραγωνική ρίζα του 4 είναι 2 και η τετραγωνική ρίζα του 9 είναι 3. Επομένως, εάν δείτε γνωστές τετραγωνικές ρίζες, μπορείτε απλά να ξαναγράψετε το κλάσμα μαζί τους στην απλοποιημένη, ακέραια μορφή τους. Σε αυτήν την περίπτωση, θα έχετε:
2/3
Αυτό λειτουργεί επίσης με ρίζες κύβου και άλλες ρίζες. Για παράδειγμα, η ρίζα κύβου του 8 είναι 2 και η ρίζα κύβου του 125 είναι 5. Έτσι, αν συναντήσατε:
(3√8) / (3√125)
Θα μπορούσατε, με λίγη πρακτική, να καταλάβετε αμέσως ότι απλοποιείται στο πιο απλό και πιο εύκολο χειρισμό:
2/5
Ορθολογισμός του παρονομαστή
Συχνά, οι καθηγητές θα σας επιτρέψουν να διατηρήσετε ριζικές εκφράσεις στον αριθμητή του κλάσματός σας. Αλλά, όπως και ο αριθμός μηδέν, οι ρίζες προκαλούν προβλήματα όταν εμφανίζονται στον παρονομαστή ή στον κάτω αριθμό του κλάσματος. Έτσι, ο τελευταίος τρόπος με τον οποίο μπορεί να σας ζητηθεί να απλοποιήσετε τα ριζικά κλάσματα είναι μια πράξη που ονομάζεται εξορθολογισμός, πράγμα που σημαίνει απλώς την απομάκρυνση της ρίζας από τον παρονομαστή. Συχνά, αυτό σημαίνει ότι η ριζική έκφραση εμφανίζεται στον αριθμητή.
Εξετάστε το κλάσμα
4/_√_5
Δεν μπορείτε εύκολα να απλοποιήσετε το _√_5 σε ακέραιο αριθμό, και ακόμη και αν το υπολογίσετε, εξακολουθείτε να έχετε ένα κλάσμα που έχει ρίζα στον παρονομαστή, ως εξής:
1/_√_5 × 4/1
Έτσι, καμία από τις μεθόδους που έχουν ήδη συζητηθεί δεν θα λειτουργήσει. Αλλά αν θυμάστε τις ιδιότητες των κλασμάτων, ένα κλάσμα με οποιονδήποτε μη μηδενικό αριθμό τόσο στο επάνω όσο και στο κάτω μέρος ισούται με 1. Έτσι θα μπορούσατε να γράψετε:
√_5/√_5 = 1
Και επειδή μπορείτε να πολλαπλασιάσετε 1 φορές οτιδήποτε άλλο χωρίς να αλλάξετε την τιμή αυτού του άλλου πράγματος, μπορείτε επίσης να γράψετε τα ακόλουθα χωρίς να αλλάξετε πραγματικά την τιμή του κλάσματος:
√_5/√5 × 4/√_5
Μόλις πολλαπλασιαστεί, κάτι ιδιαίτερο συμβαίνει. Ο αριθμητής γίνεται 4_√_5, κάτι που είναι αποδεκτό επειδή ο στόχος σας ήταν απλώς να βγάλουμε τη ρίζα από τον παρονομαστή. Εάν εμφανίζεται στον αριθμητή, μπορείτε να το αντιμετωπίσετε.
Εν τω μεταξύ, ο παρονομαστής γίνεται √_5 × √5 ή (√_5)2. Και επειδή μια τετραγωνική ρίζα και ένα τετράγωνο ακυρώνουν το ένα το άλλο, αυτό απλοποιείται σε απλά 5. Έτσι το κλάσμα σας είναι τώρα:
4_√_5 / 5, το οποίο θεωρείται λογικό κλάσμα επειδή δεν υπάρχει ρίζα στον παρονομαστή.