Μόλις αρχίσετε να κάνετε τριγωνομετρία και λογισμό, ενδέχεται να συναντήσετε εκφράσεις όπως η αμαρτία (2θ), όπου σας ζητείται να βρείτε την τιμή τουθ. Η αναπαραγωγή δοκιμής και σφάλματος με γραφήματα ή μια αριθμομηχανή για να βρείτε την απάντηση θα κυμαινόταν από έναν εφιάλτη που έβγαινε έως και εντελώς αδύνατο. Ευτυχώς, οι ταυτότητες διπλής γωνίας είναι εδώ για να σας βοηθήσουν. Αυτές είναι ειδικές περιπτώσεις αυτού που είναι γνωστό ως σύνθετος τύπος, ο οποίος σπάει τις λειτουργίες των εντύπων (ΕΝΑ + σι) ή (ΕΝΑ – σι) σε λειτουργίες του δίκαιουΕΝΑκαισι.
Οι ταυτότητες διπλής γωνίας για ημιτονοειδή
Υπάρχουν τρεις ταυτότητες διπλής γωνίας, η καθεμία για τις λειτουργίες ημιτονοειδούς, συνημίτονου και εφαπτομένου. Αλλά οι ημιτονοειδείς και συνημίτορες ταυτότητες μπορούν να γραφτούν με πολλούς τρόπους. Εδώ είναι οι δύο τρόποι γραφής της ταυτότητας διπλής γωνίας για τη συνάρτηση ημιτονοειδούς:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Οι ταυτότητες διπλής γωνίας για το συνημίτονο
Υπάρχουν ακόμη περισσότεροι τρόποι γραφής της ταυτότητας διπλής γωνίας για το συνημίτονο:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1 - 2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Η ταυτότητα διπλής γωνίας για εφαπτομένη
Ελεύθερα, υπάρχει μόνο ένας τρόπος για να γράψετε την ταυτότητα διπλής γωνίας για τη συνάρτηση εφαπτομένης:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Χρησιμοποιώντας ταυτότητες διπλής γωνίας
Φανταστείτε ότι αντιμετωπίζετε ένα σωστό τρίγωνο όπου γνωρίζετε το μήκος των πλευρών του, αλλά όχι το μέτρο των γωνιών του. Σας ζητήθηκε να βρείτεθ, όπουθείναι μία από τις γωνίες του τριγώνου. Εάν η υπόταση του τριγώνου μετρά 10 μονάδες, η γειτονική πλευρά της γωνίας σας μετρά 6 μονάδες και η πλευρά απέναντι από τη γωνία μετρά 8 μονάδες, δεν έχει σημασία ότι δεν γνωρίζετε το μέτρο τουθ; μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις γνώσεις σας για το ημίτονο και το συνημίτονο, καθώς και έναν από τους τύπους διπλής γωνίας, για να βρείτε την απάντηση.
Μόλις επιλέξετε μια γωνία, μπορείτε να ορίσετε το ημιτονοειδές ως ο λόγος της αντίθετης πλευράς πάνω από την υποτείνουσα και το συνημίτονο ως ο λόγος της παρακείμενης πλευράς πάνω από την υποτίνα. Έτσι, στο παράδειγμα που μόλις δώσατε, έχετε:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Βρίσκετε αυτές τις δύο εκφράσεις επειδή είναι τα πιο σημαντικά δομικά στοιχεία για τους τύπους διπλής γωνίας.
Επειδή υπάρχουν πολλοί τύποι διπλής γωνίας για να διαλέξετε, μπορείτε να επιλέξετε αυτόν που φαίνεται πιο εύκολο να υπολογιστεί και θα επιστρέψει τον τύπο των πληροφοριών που χρειάζεστε. Σε αυτήν την περίπτωση, επειδή γνωρίζετε την αμαρτίαθκαι συνθήδη, είναι σαφές ότι η πιο βολική έκφραση είναι:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Γνωρίζετε ήδη τις τιμές των sinθ και cosθ, οπότε αντικαταστήστε τις στην εξίσωση:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
Μόλις απλοποιήσετε, θα έχετε:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
Τα περισσότερα τριγωνομετρικά γραφήματα δίνονται σε δεκαδικά, οπότε επόμενη εργασία το τμήμα που αντιπροσωπεύεται από το κλάσμα για να το μετατρέψει σε δεκαδική μορφή. Τώρα έχετε:
\ sin (2θ) = 0,96
Τέλος, βρείτε το αντίστροφο ημίτονο ή τόξο 0,96, το οποίο είναι γραμμένο ως αμαρτία −1(0.96). Ή, με άλλα λόγια, χρησιμοποιήστε την αριθμομηχανή ή ένα γράφημα για να προσεγγίσετε τη γωνία που έχει ημίτονο 0,96. Όπως αποδεικνύεται, αυτό είναι σχεδόν ακριβώς ίσο με 73,7 μοίρες. 2θ= 73,7 μοίρες.
Διαιρέστε κάθε πλευρά της εξίσωσης με 2. Αυτό σας δίνει:
θ = 36,85 \ κείμενο {μοίρες}