Ένα πολύγωνο είναι οποιοδήποτε κλειστό δισδιάστατο σχήμα με 3 ή περισσότερες ευθείες (όχι καμπύλες) πλευρές και ένα πολύγωνο 12 όψεων είναι γνωστό ως δωδεκάγωνο. Ένα κανονικό δωδεκάγωνο είναι ένα με ίσες πλευρές και γωνίες και είναι δυνατόν να αντλήσουμε έναν τύπο για τον υπολογισμό της περιοχής του. Ένα ακανόνιστο δωδεκάγωνο έχει πλευρές διαφορετικών μηκών και διαφορετικών γωνιών. Ένα εξάκτινο αστέρι είναι ένα παράδειγμα. Δεν υπάρχει εύκολος τρόπος να υπολογίσετε την περιοχή ενός ακανόνιστου σχήματος 12 όψεων, εκτός εάν τυχαίνει να το σχεδιάσετε σε ένα γράφημα και να διαβάσετε τις συντεταγμένες καθεμιάς από τις κορυφές. Εάν όχι, η καλύτερη στρατηγική είναι να χωρίσετε το σχήμα σε κανονικά σχήματα για τα οποία μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή.
Υπολογισμός της περιοχής ενός κανονικού πολυγώνου 12 όψεων
Για να υπολογίσετε την περιοχή ενός κανονικού δωδεκαγώνου, πρέπει να βρείτε το κέντρο του, και ο καλύτερος τρόπος για να γίνει αυτό είναι να χαράξετε έναν κύκλο γύρω του που αγγίζει κάθε μία από τις κορυφές του. Το κέντρο του κύκλου είναι το κέντρο του δωδεκαγώνου και η απόσταση από το κέντρο του σχήματος σε καθεμία από τις κορυφές του είναι απλώς η ακτίνα του κύκλου (
Χρειάζεστε μία ακόμη μέτρηση και αυτό είναι το μήκος μιας κάθετης γραμμής που τραβιέται από το μεσαίο σημείο κάθε πλευράς προς το κέντρο του σχήματος 12 όψεων. Αυτή η γραμμή είναι γνωστή ως απόθεμα. Δείξτε το μήκος του απόΜ. Διαιρεί κάθε τμήμα που σχηματίζεται από τις γραμμές ακτίνας σε δύο ορθογώνια τρίγωνα. Δεν ξέρειςΜ, αλλά μπορείτε να το βρείτε χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Οι 12 γραμμές ακτίνας διαιρούν τον κύκλο που χαράξατε γύρω από το δωδεκάγωνο σε 12 ίσες τομές, οπότε στο κέντρο του σχήματος, η γωνία που κάθε γραμμή κάνει με την επόμενη είναι 30 μοίρες. Καθένα από τα 12 τμήματα που σχηματίζονται από τις γραμμές ακτίνας αποτελείται από ένα ζευγάρι ορθογώνια τρίγωνα με υπότασηρκαι μία γωνία 15 μοιρών. Η πλευρά που βρίσκεται δίπλα στη γωνία είναιΜ, ώστε να μπορείτε να το βρείτε χρησιμοποιώντας το r και το ημίτονο της γωνίας.
\ sin (15) = \ frac {m} {r} \, \ text {και επίλυση για} m \\ m = r × \ sin (15)
Τώρα μπορείτε να βρείτε την περιοχή καθενός από τα ισοσκελή τρίγωνα που είναι εγγεγραμμένα στο δωδεκάγωνο, επειδή γνωρίζετε το μήκος της βάσης - που είναιμικρό- και το ύψος,Μ. Η περιοχή κάθε τριγώνου είναι
\ begin {aligned} \ text {area} & = \ frac {1} {2} × \ text {base} × \ text {height} \\ & = \ frac {1} {2} × s × m \\ & = 1/2 × (s × r × \ sin (15)) \ τέλος {στοίχιση}
Υπάρχουν 12 τέτοιες ενότητες, οπότε πολλαπλασιάστε με 12 για να βρείτε τη συνολική επιφάνεια του κανονικού σχήματος 12 όψεων:
\ text {Περιοχή κανονικού δωδεκαγώνου} = 6 × (s × r × \ sin (15))
Εύρεση της περιοχής ενός ακανόνιστου δωδεκαγώνου
Δεν υπάρχει τύπος για την εύρεση της περιοχής ενός ακανόνιστου δωδεκαγώνου, καθώς τα μήκη των πλευρών και των γωνιών δεν είναι τα ίδια. Είναι ακόμη δύσκολο να εντοπίσουμε το κέντρο. Η καλύτερη στρατηγική είναι να χωρίσετε το σχήμα σε κανονικά σχήματα, να υπολογίσετε την περιοχή του καθενός και να τα προσθέσετε.
Εάν το σχήμα απεικονίζεται σε γράφημα και γνωρίζετε τις συντεταγμένες των κορυφών, υπάρχει ένας τύπος που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για τον υπολογισμό της περιοχής. Εάν κάθε σημείο (ν) ορίζεται από (Χν, γν) και πηγαίνετε γύρω από το σχήμα με τη σειρά, είτε δεξιόστροφα είτε αριστερόστροφα, για να πάρετε μια σειρά 12 πόντων, η περιοχή είναι:
\ text {Περιοχή} = \ frac {| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) +... + (x_ {11} y_ {12} - y_ {11} x_ {12}) + (x_ {12} y_1 - y_ {12} x_1) |} {2}