Με το Super Bowl ακριβώς στη γωνία, οι αθλητές και οι οπαδοί του κόσμου έχουν επικεντρωθεί σταθερά στο μεγάλο παιχνίδι. Αλλά για το _math_letes, το μεγάλο παιχνίδι μπορεί να φέρει στο μυαλό μου ένα μικρό πρόβλημα που σχετίζεται με τις πιθανές βαθμολογίες σε ένα παιχνίδι ποδοσφαίρου. Με μόνο περιορισμένες επιλογές για τον αριθμό των πόντων που μπορείτε να κερδίσετε, ορισμένα σύνολα δεν μπορούν να επιτευχθούν, αλλά ποιο είναι το υψηλότερο; Αν θέλετε να μάθετε τι συνδέει νομίσματα, ποδόσφαιρο και κοτομπουκιές McDonald's, αυτό είναι ένα πρόβλημα για εσάς.
Το πρόβλημα του Super Bowl Math
Το πρόβλημα αφορά τις πιθανές βαθμολογίες που θα μπορούσαν να πετύχουν την Κυριακή το Los Angeles Rams ή το New England Patriots χωρίς ασφάλεια ή μετατροπή δύο σημείων. Με άλλα λόγια, οι επιτρεπόμενοι τρόποι για να αυξήσουν τα σκορ τους είναι 3 γκολ πόντους και 7-πόντους. Έτσι, χωρίς ασφάλεια, δεν μπορείτε να επιτύχετε βαθμολογία 2 πόντων σε ένα παιχνίδι με οποιονδήποτε συνδυασμό 3s και 7s. Ομοίως, δεν μπορείτε να επιτύχετε βαθμολογία 4 ούτε και 5.
Η ερώτηση είναι: Ποια είναι η υψηλότερη βαθμολογία κλίση να επιτευχθεί με μόνο γκολ 3 σημείων και 7-πόντους touchdown;
Φυσικά, τα touchdowns χωρίς μετατροπή αξίζουν 6, αλλά δεδομένου ότι μπορείτε να φτάσετε σε αυτό με δύο στόχους, ωστόσο, δεν έχει σημασία για το πρόβλημα. Επίσης, δεδομένου ότι ασχολούμαστε με τα μαθηματικά εδώ, δεν χρειάζεται να ανησυχείτε για την τακτική της συγκεκριμένης ομάδας ή ακόμη και όρια στην ικανότητά τους να κερδίζουν πόντους.
Προσπαθήστε να το λύσετε μόνοι σας προτού προχωρήσετε!
Εύρεση λύσης (ο αργός τρόπος)
Αυτό το πρόβλημα έχει μερικές πολύπλοκες μαθηματικές λύσεις (ανατρέξτε στην ενότητα Πόροι για πλήρεις λεπτομέρειες, αλλά το κύριο αποτέλεσμα θα εισαχθεί παρακάτω), αλλά είναι ένα καλό παράδειγμα για το πώς αυτό δεν είναι απαιτείται για να βρεις την απάντηση.
Το μόνο που έχετε να κάνετε για να βρείτε μια λύση brute-force είναι απλά να δοκιμάσετε κάθε ένα από τα αποτελέσματα με τη σειρά. Γνωρίζουμε λοιπόν ότι δεν μπορείτε να σκοράρετε 1 ή 2, επειδή είναι λιγότερα από 3. Έχουμε ήδη διαπιστώσει ότι τα 4 και 5 δεν είναι δυνατά, αλλά το 6 είναι, με δύο γκολ. Μετά το 7 (που είναι δυνατό), μπορείτε να σκοράρετε 8; Οχι. Τρεις γηπεδούχοι γκολ δίνουν 9, και ένας γηπεδούχος γκολ και ένα μετατρεπόμενο touchdown κάνει 10. Αλλά δεν μπορείτε να πάρετε 11.
Από αυτό το σημείο και μετά, μια μικρή δουλειά δείχνει ότι:
\ start {aligned} 3 × 4 & = 12 \\ 7 + (3 × 2) & = 13 \\ 7 × 2 & = 14 \\ 3 × 5 & = 15 \\ 7 + (3 × 3) & = 16 \\ (7 × 2) + 3 & = 17 \ τέλος {στοίχιση}
Και στην πραγματικότητα, μπορείτε να συνεχίσετε έτσι για όσο θέλετε. Η απάντηση φαίνεται να είναι 11. Αλλά είναι;
Η αλγεβρική λύση
Οι μαθηματικοί αποκαλούν αυτά τα προβλήματα «προβλήματα νομισμάτων Frobenius». Η αρχική μορφή σχετίζεται με νομίσματα, όπως: Εάν είχατε αξία μόνο νομίσματα 4 σεντ και 11 σεντ (όχι πραγματικά νομίσματα, αλλά και πάλι, αυτό είναι μαθηματικό πρόβλημα για εσάς), ποιο είναι το μεγαλύτερο χρηματικό ποσό που δεν θα μπορούσατε να παράγω.
Η λύση, από την άποψη της άλγεβρας, είναι αυτή με ένα σκορ αξίας Π αξίες πόντων και ένα σκορ ε πόντους, την υψηλότερη βαθμολογία που δεν μπορείτε να λάβετε (Ν) δίνεται από:
N = pq \; - \; (p + q)
Έτσι, η σύνδεση των τιμών από το πρόβλημα του Super Bowl δίνει:
\ start {aligned} N & = 3 × 7 \; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10 \\ & = 11 \ end {στοίχιση}
Ποια είναι η απάντηση που έχουμε τον αργό δρόμο. Τι γίνεται λοιπόν αν μπορούσατε να σημειώσετε μόνο touchdowns χωρίς μετατροπή (6 βαθμοί) και touchdowns με μετατροπές ενός σημείου (7 βαθμοί); Δείτε αν μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να το επεξεργαστείτε πριν διαβάσετε.
Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος γίνεται:
\ start {aligned} N & = 6 × 7 \; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13 \\ & = 29 \ τέλος {στοίχιση}
Το πρόβλημα του κοτόπουλου McNugget
Άρα το παιχνίδι τελείωσε και θέλετε να ανταμείψετε τη νικήτρια ομάδα με ένα ταξίδι στο McDonald's. Αλλά πωλούν μόνο McNuggets σε κουτιά των 9 ή 20. Λοιπόν, ποιος είναι ο υψηλότερος αριθμός ψήγματα κλίση αγοράστε με αυτούς τους (ξεπερασμένους) αριθμούς κουτιού; Προσπαθήστε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για να βρείτε την απάντηση πριν διαβάσετε.
Από
N = pq \; - \; (p + q)
Και με Π = 9 και ε = 20:
\ start {aligned} N & = 9 × 20 \; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29 \\ & = 151 \ end {στοίχιση}
Υπό την προϋπόθεση ότι αγοράζετε περισσότερα από 151 ψήγματα - η ομάδα που κερδίζει πιθανότατα θα είναι πολύ πεινασμένη, τελικά - θα μπορούσατε να αγοράσετε όποιον αριθμό ψήγματα θέλετε με κάποιο συνδυασμό κουτιού.
Ίσως αναρωτιέστε γιατί καλύψαμε μόνο δύο αριθμούς εκδόσεων αυτού του προβλήματος. Τι γίνεται αν έχουμε ενσωματώσει χρηματοκιβώτια ή εάν η McDonalds πουλούσε τρία μεγέθη κουτιών ψήγματος; Υπάρχει χωρίς σαφή φόρμουλα σε αυτήν την περίπτωση, και ενώ οι περισσότερες εκδόσεις του μπορούν να λυθούν, ορισμένες πτυχές της ερώτησης είναι εντελώς άλυτες.
Ίσως λοιπόν όταν παρακολουθείτε το παιχνίδι ή τρώτε κομμάτια κοτόπουλου με μέγεθος δαγκώματος, μπορείτε να ισχυριστείτε ότι προσπαθείτε να λύσετε ένα ανοιχτό πρόβλημα στα μαθηματικά - αξίζει να δοκιμάσετε να βγείτε από τις δουλειές!