Φανταστείτε ότι επανδρώνετε ένα πυροβόλο, στοχεύοντας να συντρίψετε τα τείχη ενός εχθρικού κάστρου, ώστε ο στρατός σας να εισβάλει και να διεκδικήσει τη νίκη. Εάν γνωρίζετε πόσο γρήγορα ταξιδεύει η μπάλα όταν φεύγει από το κανόνι και γνωρίζετε πόσο μακριά είναι οι τοίχοι, σε ποια γωνία εκτόξευσης χρειάζεστε για να πυροβολήσετε το πυροβόλο για να χτυπήσετε με επιτυχία τους τοίχους;
Αυτό είναι ένα παράδειγμα προβλήματος κίνησης βλήματος και μπορείτε να λύσετε αυτό και πολλά παρόμοια προβλήματα χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις σταθερής επιτάχυνσης της κινηματικής και κάποια βασική άλγεβρα.
Προβολική κίνησηείναι ο τρόπος με τον οποίο οι φυσικοί περιγράφουν τη δισδιάστατη κίνηση όπου η μόνη επιτάχυνση που βιώνει το εν λόγω αντικείμενο είναι η σταθερή προς τα κάτω επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας.
Στην επιφάνεια της Γης, η συνεχής επιτάχυνσηέναείναι ίσο μεσολ= 9,8 m / s2, και ένα αντικείμενο που βρίσκεται σε κίνηση βλήματος είναι σεελεύθερη πτώσημε αυτό ως τη μόνη πηγή επιτάχυνσης. Στις περισσότερες περιπτώσεις, θα ακολουθήσει το δρόμο μιας παραβολής, οπότε η κίνηση θα έχει ένα οριζόντιο και κάθετο στοιχείο. Αν και θα είχε (περιορισμένη) επίδραση στην πραγματική ζωή, ευτυχώς τα περισσότερα προβλήματα κίνησης της φυσικής στο γυμνάσιο αγνοούν την επίδραση της αντίστασης στον αέρα.
Μπορείτε να επιλύσετε προβλήματα κίνησης βλήματος χρησιμοποιώντας την τιμή τουσολκαι κάποιες άλλες βασικές πληροφορίες σχετικά με την κατάσταση, όπως η αρχική ταχύτητα του βλήματος και η κατεύθυνση στην οποία ταξιδεύει. Η εκμάθηση για την επίλυση αυτών των προβλημάτων είναι απαραίτητη για την ολοκλήρωση των περισσότερων εισαγωγικών μαθημάτων φυσικής και σας παρουσιάζει τις πιο σημαντικές έννοιες και τεχνικές που θα χρειαστείτε και σε μεταγενέστερα μαθήματα.
Εξισώσεις κίνησης βλήματος
Οι εξισώσεις για κίνηση βλήματος είναι οι εξισώσεις σταθερής επιτάχυνσης από την κινηματική, επειδή η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι η μόνη πηγή επιτάχυνσης που πρέπει να λάβετε υπόψη. Οι τέσσερις βασικές εξισώσεις που θα χρειαστείτε για να λύσετε οποιοδήποτε πρόβλημα κίνησης βλήματος είναι:
v = v_0 + στο \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} στο ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2α
Εδώ,βσημαίνει ταχύτητα,β0 είναι η αρχική ταχύτητα,έναείναι επιτάχυνση (η οποία είναι ίση με την επιτάχυνση προς τα κάτωσολσε όλα τα προβλήματα κίνησης βλήματος),μικρόείναι η μετατόπιση (από την αρχική θέση) και όπως πάντα έχετε χρόνο,τ.
Αυτές οι εξισώσεις τεχνικά είναι μόνο για μία διάσταση, και πραγματικά θα μπορούσαν να αντιπροσωπεύονται από ποσότητες φορέα (συμπεριλαμβανομένης της ταχύτηταςβ, αρχική ταχύτηταβ0 και ούτω καθεξής), αλλά στην πράξη μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αυτές τις εκδόσεις ξεχωριστά, μία φορά στοΧ-κατεύθυνση και μία φορά στογ-κατεύθυνση (και αν είχατε ποτέ ένα τρισδιάστατο πρόβλημα, στοζ-κατεύθυνση επίσης).
Είναι σημαντικό να θυμάστε ότι αυτά είναιχρησιμοποιείται μόνο για συνεχή επιτάχυνση, που τα καθιστά ιδανικά για την περιγραφή καταστάσεων όπου η μόνη επιρροή της βαρύτητας επιτάχυνση, αλλά ακατάλληλη για πολλές πραγματικές καταστάσεις όπου πρέπει να υπάρχουν πρόσθετες δυνάμεις θεωρούνται.
Για βασικές καταστάσεις, αυτό είναι το μόνο που χρειάζεστε για να περιγράψετε την κίνηση ενός αντικειμένου, αλλά εάν είναι απαραίτητο, μπορείτε να ενσωματώσετε και άλλα παράγοντες, όπως το ύψος από το οποίο βγήκε το βλήμα ή ακόμη και να τα λύσει για το υψηλότερο σημείο του βλήματος σε αυτό μονοπάτι.
Επίλυση προβλημάτων κίνησης βλήματος
Τώρα που έχετε δει τις τέσσερις εκδόσεις του τύπου κίνησης βλήματος που θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε να λύσετε προβλήματα, μπορείτε να αρχίσετε να σκέφτεστε τη στρατηγική που χρησιμοποιείτε για να λύσετε μια κίνηση βλήματος πρόβλημα.
Η βασική προσέγγιση είναι να χωριστεί το πρόβλημα σε δύο μέρη: ένα για την οριζόντια κίνηση και ένα για την κάθετη κίνηση. Αυτό ονομάζεται τεχνικά το οριζόντιο στοιχείο και το κάθετο συστατικό, και το καθένα έχει ένα αντίστοιχο σύνολο ποσότητες, όπως η οριζόντια ταχύτητα, η κάθετη ταχύτητα, η οριζόντια μετατόπιση, η κάθετη μετατόπιση και σύντομα.
Με αυτήν την προσέγγιση, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις εξισώσεις κινηματικής, σημειώνοντας εκείνη τη στιγμήτείναι το ίδιο και για τα οριζόντια και για κάθετα στοιχεία, αλλά πράγματα όπως η αρχική ταχύτητα θα έχουν διαφορετικά στοιχεία για την αρχική κατακόρυφη ταχύτητα και την αρχική οριζόντια ταχύτητα.
Το κρίσιμο πράγμα που πρέπει να καταλάβετε είναι ότι για δισδιάστατη κίνηση,όποιοςΗ γωνία κίνησης μπορεί να αναλυθεί σε οριζόντιο και κάθετο στοιχείο, αλλά όταν το κάνετε αυτό θα υπάρχει μια οριζόντια έκδοση της εν λόγω εξίσωσης και μια κάθετη εκδοχή.
Η παραμέληση των επιπτώσεων της αντίστασης του αέρα απλοποιεί μαζικά τα προβλήματα κίνησης του βλήματος επειδή η οριζόντια κατεύθυνση δεν έχει ποτέ κανένα επιτάχυνση σε ένα πρόβλημα κίνησης βλήματος (ελεύθερη πτώση), καθώς η επίδραση της βαρύτητας ενεργεί μόνο κατακόρυφα (δηλαδή, προς την επιφάνεια του Γη).
Αυτό σημαίνει ότι το στοιχείο οριζόντιας ταχύτητας είναι μόνο μια σταθερή ταχύτητα και η κίνηση σταματά μόνο όταν η βαρύτητα φέρνει το βλήμα στο επίπεδο του εδάφους. Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του χρόνου πτήσης, επειδή εξαρτάται εξ ολοκλήρου από τογ- κίνηση κατεύθυνσης και μπορεί να επεξεργαστεί εξ ολοκλήρου με βάση την κατακόρυφη μετατόπιση (δηλαδή, τον χρόνοτόταν η κατακόρυφη μετατόπιση είναι μηδέν, σας λέει την ώρα της πτήσης).
Τριγωνομετρία σε προβλήματα κίνησης βλήματος
Εάν το εν λόγω πρόβλημα σάς προσφέρει μια γωνία εκτόξευσης και μια αρχική ταχύτητα, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε την τριγωνομετρία για να βρείτε τα στοιχεία οριζόντιας και κάθετης ταχύτητας. Μόλις το κάνετε αυτό, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις μεθόδους που περιγράφονται στην προηγούμενη ενότητα για να λύσετε πραγματικά το πρόβλημα.
Ουσιαστικά, δημιουργείτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με την υποτείνουσα κεκλιμένη στη γωνία εκτόξευσης (θ) και το μέγεθος της ταχύτητας ως το μήκος, και στη συνέχεια η παρακείμενη πλευρά είναι το οριζόντιο στοιχείο της ταχύτητας και η αντίθετη πλευρά είναι η κατακόρυφη ταχύτητα.
Σχεδιάστε το ορθογώνιο τρίγωνο σύμφωνα με τις οδηγίες και θα δείτε ότι θα βρείτε τα οριζόντια και κάθετα στοιχεία χρησιμοποιώντας τις τριγωνομετρικές ταυτότητες:
\ κείμενο {cos} \; θ = \ frac {\ text {δίπλα}} {\ text {hypotenuse}}
\ κείμενο {sin} \; θ = \ frac {\ text {απέναντι}} {\ text {hypotenuse}}
Έτσι αυτά μπορούν να τακτοποιηθούν εκ νέου (και με αντίθετο =βγ και γειτονικά =βΧ, δηλαδή, το συστατικό κατακόρυφης ταχύτητας και τα συστατικά οριζόντιας ταχύτητας αντίστοιχα, και υπόταση =β0, η αρχική ταχύτητα) για να δώσει:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
Αυτό είναι όλο το τριγωνομετρία που πρέπει να κάνετε για να αντιμετωπίσετε προβλήματα κίνησης βλήματος: συνδέοντας τη γωνία εκτόξευσης στο εξίσωση, χρησιμοποιώντας τις λειτουργίες ημιτονοειδούς και συνημίτου στον υπολογιστή σας και πολλαπλασιάζοντας το αποτέλεσμα με την αρχική ταχύτητα του βλήμα.
Έτσι, για να περάσετε από ένα παράδειγμα, με αρχική ταχύτητα 20 m / s και γωνία εκτόξευσης 60 μοίρες, τα εξαρτήματα είναι:
\ begin {aligned} v_x & = 20 \; \ text {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ κείμενο {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ κείμενο {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ κείμενο {m / s} \ τέλος {στοίχιση}
Παράδειγμα προβλήματος κίνησης βλήματος: Ένα πυροτέχνημα που εκρήγνυται
Φανταστείτε ότι ένα πυροτέχνημα έχει μια ασφάλεια σχεδιασμένη έτσι ώστε να εκρήγνυται στο υψηλότερο σημείο της τροχιάς του και εκτοξεύεται με αρχική ταχύτητα 60 m / s υπό γωνία 70 μοιρών προς την οριζόντια.
Πώς θα καταλάβατε ποιο ύψοςηεκρήγνυται στο; Και ποια θα ήταν η ώρα από την κυκλοφορία όταν εκραγεί;
Αυτό είναι ένα από τα πολλά προβλήματα που περιλαμβάνουν το μέγιστο ύψος ενός βλήματος, και το κόλπο για την επίλυση αυτών είναι να σημειωθεί ότι στο μέγιστο ύψος, τογ-στοιχείο της ταχύτητας είναι 0 m / s για μια στιγμή. Συνδέοντας αυτήν την τιμή γιαβγ και επιλέγοντας τις πιο κατάλληλες από τις κινηματικές εξισώσεις, μπορείτε να αντιμετωπίσετε αυτό και οποιοδήποτε παρόμοιο πρόβλημα εύκολα.
Πρώτον, κοιτάζοντας τις κινηματικές εξισώσεις, αυτό ξεπηδά (με προστιθέμενες συνδρομές για να δείξει ότι εργαζόμαστε στην κατακόρυφη κατεύθυνση):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Αυτή η εξίσωση είναι ιδανική επειδή γνωρίζετε ήδη την επιτάχυνση (έναγ = -σολ), την αρχική ταχύτητα και τη γωνία εκτόξευσης (ώστε να μπορείτε να επεξεργαστείτε το κάθετο στοιχείοβy0). Επειδή ψάχνουμε για την αξία τουμικρόγ (δηλαδή, το ύψοςη) πότεβγ = 0, μπορούμε να αντικαταστήσουμε το μηδέν για το τελικό στοιχείο κάθετης ταχύτητας και να το κανονίσουμε ξανάμικρόγ:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Δεδομένου ότι είναι λογικό να καλέσετε την ανοδική κατεύθυνσηγκαι από την επιτάχυνση λόγω βαρύτηταςσολκατευθύνεται προς τα κάτω (δηλαδή, στο -γκατεύθυνση), μπορούμε να αλλάξουμεέναγ Για -σολ. Τέλος, καλώνταςμικρόγ το ύψοςη, μπορούμε να γράψουμε:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Έτσι, το μόνο πράγμα που πρέπει να επιλύσετε για την επίλυση του προβλήματος είναι το κάθετο στοιχείο της αρχικής ταχύτητας, το οποίο μπορείτε να κάνετε χρησιμοποιώντας την τριγωνομετρική προσέγγιση από την προηγούμενη ενότητα. Έτσι, με τις πληροφορίες από την ερώτηση (60 m / s και 70 μοίρες έως την οριζόντια εκκίνηση), αυτό δίνει:
\ begin {aligned} v_ {0y} & = 60 \; \ text {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56.38 \; \ κείμενο {m / s} \ τέλος {στοίχιση}
Τώρα μπορείτε να επιλύσετε το μέγιστο ύψος:
\ start {aligned} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56.38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9,8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162,19 \ κείμενο {m} \ τέλος {στοίχιση}
Έτσι το πυροτέχνημα θα εκραγεί περίπου στα 162 μέτρα από το έδαφος.
Συνέχιση του παραδείγματος: Χρόνος πτήσης και διανυθείσα απόσταση
Αφού επιλύσει τα βασικά του προβλήματος κίνησης του βλήματος που βασίζεται αποκλειστικά στην κάθετη κίνηση, το υπόλοιπο του προβλήματος μπορεί να λυθεί εύκολα. Πρώτα απ 'όλα, ο χρόνος από την εκτόξευση που εκραγεί η ασφάλεια μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας μία από τις άλλες εξισώσεις σταθερής επιτάχυνσης. Κοιτάζοντας τις επιλογές, η ακόλουθη έκφραση:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
έχει το χρόνοτ, αυτό είναι ό, τι θέλετε να ξέρετε? η μετατόπιση, την οποία γνωρίζετε για το μέγιστο σημείο της πτήσης · την αρχική κατακόρυφη ταχύτητα · και η ταχύτητα κατά το μέγιστο ύψος (το οποίο γνωρίζουμε είναι μηδέν). Έτσι, βάσει αυτής, η εξίσωση μπορεί να επαναδιαταχθεί για να δώσει μια έκφραση για την ώρα της πτήσης:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Έτσι, εισάγοντας τις τιμές και λύνοντας γιατδίνει:
\ begin {aligned} t & = \ frac {2 × 162.19 \; \ text {m}} {56.38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5.75 \; \ κείμενο {s} \ τέλος {στοίχιση}
Έτσι το πυροτέχνημα θα εκραγεί 5,75 δευτερόλεπτα μετά την εκτόξευση.
Τέλος, μπορείτε εύκολα να προσδιορίσετε την οριζόντια απόσταση που διανύθηκε με βάση την πρώτη εξίσωση, η οποία (στην οριζόντια κατεύθυνση) δηλώνει:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Ωστόσο, σημειώνοντας ότι δεν υπάρχει επιτάχυνση στοΧ-κατεύθυνση, αυτό είναι απλά:
v_x = v_ {0x}
Αυτό σημαίνει ότι η ταχύτητα στοΧη κατεύθυνση είναι η ίδια σε όλο το ταξίδι του πυροτεχνημάτων. Δεδομένου ότιβ = ρε/τ, όπουρεείναι η απόσταση που διανύθηκε, είναι εύκολο να το δείτερε = vt, και έτσι σε αυτήν την περίπτωση (μεμικρόΧ = ρε):
s_x = v_ {0x} τ
Έτσι μπορείτε να αντικαταστήσετεβ0x με την τριγωνομετρική έκφραση από νωρίτερα, εισαγάγετε τις τιμές και λύστε:
\ begin {aligned} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ text {m / s} × \ cos (70) × 5,75 \; \ κείμενο {s} \\ & = 118 \; \ κείμενο {m} \ τέλος {στοίχιση}
Έτσι θα ταξιδέψει περίπου 118 μέτρα πριν από την έκρηξη.
Πρόσθετο πρόβλημα κίνησης βλήματος: Το πυροτέχνημα Dud
Για να επιλύσετε ένα επιπλέον πρόβλημα, φανταστείτε το πυροτέχνημα από το προηγούμενο παράδειγμα (ξεκίνησε η αρχική ταχύτητα των 60 m / s σε 70 μοίρες προς την οριζόντια) απέτυχε να εκραγεί στην κορυφή της παραβολής του, και αντ 'αυτού προσγειώνεται στο έδαφος χωρίς έκρηξη. Μπορείτε να υπολογίσετε τον συνολικό χρόνο πτήσης σε αυτήν την περίπτωση; Πόσο μακριά από την τοποθεσία εκτόξευσης στην οριζόντια κατεύθυνση θα προσγειωθεί, ή με άλλα λόγια, τι είναιεύροςτου βλήματος;
Αυτό το πρόβλημα λειτουργεί βασικά με τον ίδιο τρόπο, όπου είναι τα κατακόρυφα στοιχεία της ταχύτητας και της μετατόπισης τα κύρια πράγματα που πρέπει να λάβετε υπόψη για να καθορίσετε την ώρα της πτήσης, και από αυτό μπορείτε να καθορίσετε το εύρος. Αντί να επεξεργαστείτε λεπτομερώς τη λύση, μπορείτε να το λύσετε μόνοι σας με βάση το προηγούμενο παράδειγμα.
Υπάρχουν τύποι για το εύρος ενός βλήματος, τους οποίους μπορείτε να αναζητήσετε ή να αντλήσετε από τις εξισώσεις σταθερής επιτάχυνσης, αλλά αυτό δεν είναι πραγματικά χρειαζόταν γιατί γνωρίζετε ήδη το μέγιστο ύψος του βλήματος, και από αυτό το σημείο είναι ακριβώς ελεύθερη πτώση υπό την επίδραση του βαρύτητα.
Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να καθορίσετε τον χρόνο που χρειάζεται το πυροτέχνημα για να πέσει πίσω στο έδαφος και, στη συνέχεια, να το προσθέσετε στον χρόνο πτήσης στο μέγιστο ύψος για να προσδιορίσετε τον συνολικό χρόνο πτήσης. Από τότε, είναι η ίδια διαδικασία χρήσης της σταθερής ταχύτητας στην οριζόντια κατεύθυνση παράλληλα με το χρόνο πτήσης για τον προσδιορισμό της εμβέλειας.
Δείξτε ότι ο χρόνος πτήσης είναι 11,5 δευτερόλεπτα και η εμβέλεια είναι 236 μέτρα, σημειώνοντας ότι θα χρειαστεί υπολογίστε το κατακόρυφο στοιχείο της ταχύτητας στο σημείο που χτυπά το έδαφος ως ενδιάμεσο βήμα.