Όταν συμπιέζετε ή επεκτείνετε ένα ελατήριο - ή οποιοδήποτε ελαστικό υλικό - θα γνωρίζετε ενστικτωδώς τι πρόκειται να πάτε συμβαίνει όταν απελευθερώνετε τη δύναμη που εφαρμόζετε: Το ελατήριο ή το υλικό θα επιστρέψει στο αρχικό του μήκος.
Είναι σαν να υπάρχει μια δύναμη «αποκατάστασης» την άνοιξη που διασφαλίζει ότι επιστρέφει στη φυσική, ασυμπίεστη και μη εκτεταμένη κατάσταση μετά την απελευθέρωση του άγχους που εφαρμόζετε στο υλικό. Αυτή η διαισθητική κατανόηση - ότι ένα ελαστικό υλικό επιστρέφει στη θέση ισορροπίας του μετά την απομάκρυνση οποιασδήποτε εφαρμοσμένης δύναμης - ποσοτικοποιείται με μεγαλύτερη ακρίβεια απόΟ νόμος του Hooke.
Ο νόμος του Hooke πήρε το όνομά του από τον δημιουργό του, τον Βρετανό φυσικό Robert Hooke, ο οποίος δήλωσε το 1678 ότι «η επέκταση είναι ανάλογη με την δύναμη." Ο νόμος περιγράφει ουσιαστικά μια γραμμική σχέση μεταξύ της επέκτασης ενός ελατηρίου και της δύναμης αποκατάστασης που δημιουργεί στο άνοιξη; Με άλλα λόγια, χρειάζεται διπλάσια δύναμη για να τεντώσει ή να συμπιέσει ένα ελατήριο δύο φορές περισσότερο.
Ο νόμος, αν και είναι πολύ χρήσιμος σε πολλά ελαστικά υλικά, που ονομάζονται «γραμμικά ελαστικά» ή «υλικά Hookean», δεν ισχύει γιακάθεκατάσταση και είναι τεχνικά μια προσέγγιση.
Ωστόσο, όπως πολλές προσεγγίσεις στη φυσική, ο νόμος του Hooke είναι χρήσιμος σε ιδανικά ελατήρια και πολλά ελαστικά υλικά μέχρι το «όριο αναλογικότητάς τους». οβασική σταθερά αναλογικότητας στο νόμο είναι η σταθερά άνοιξηκαι το να μάθεις τι σου λέει και να μάθεις πώς να το υπολογίζεις, είναι απαραίτητο για την εφαρμογή του νόμου του Hooke.
Η φόρμουλα του Hooke's Law
Η σταθερά της άνοιξης είναι ένα βασικό μέρος του νόμου του Hooke, οπότε για να κατανοήσετε τη σταθερά, πρέπει πρώτα να ξέρετε τι είναι ο νόμος του Hooke και τι λέει. Τα καλά νέα είναι ένας απλός νόμος, που περιγράφει μια γραμμική σχέση και έχει τη μορφή μιας βασικής εξίσωσης ευθείας γραμμής. Ο τύπος του νόμου του Hooke σχετίζεται συγκεκριμένα με την αλλαγή στην επέκταση της άνοιξης,Χ, στη δύναμη αποκατάστασης,φά, δημιουργήθηκε σε αυτό:
F = −kx
Ο επιπλέον όρος,κ, είναι η σταθερά του ελατηρίου. Η τιμή αυτής της σταθεράς εξαρτάται από τις ιδιότητες του συγκεκριμένου ελατηρίου και αυτό μπορεί να προέρχεται άμεσα από τις ιδιότητες του ελατηρίου, εάν χρειάζεται. Ωστόσο, σε πολλές περιπτώσεις - ειδικά σε εισαγωγικά μαθήματα φυσικής - θα σας δοθεί απλώς μια τιμή για τη σταθερά της άνοιξης, ώστε να μπορείτε να προχωρήσετε και να λύσετε το πρόβλημα που αντιμετωπίζετε. Είναι επίσης δυνατό να υπολογίσετε άμεσα τη σταθερά ελατηρίου χρησιμοποιώντας το νόμο του Hooke, με την προϋπόθεση ότι γνωρίζετε την επέκταση και το μέγεθος της δύναμης.
Παρουσιάζοντας τη Σταθερή Άνοιξη,κ
Το «μέγεθος» της σχέσης μεταξύ της επέκτασης και της δύναμης αποκατάστασης του ελατηρίου είναι ενθυλακωμένη στην τιμή της σταθεράς ελατηρίου,κ. Η σταθερά ελατηρίου δείχνει πόση δύναμη απαιτείται για τη συμπίεση ή την επέκταση ενός ελατηρίου (ή ένα κομμάτι ελαστικού υλικού) σε μια δεδομένη απόσταση. Εάν σκέφτεστε τι σημαίνει αυτό σε όρους μονάδων ή ελέγξετε τον τύπο του νόμου του Hooke, μπορείτε να δείτε ότι η σταθερά ελατηρίου έχει μονάδες δύναμης σε απόσταση, έτσι σε μονάδες SI, Newtons / meter.
Η τιμή της σταθεράς ελατηρίου αντιστοιχεί στις ιδιότητες του συγκεκριμένου ελατηρίου (ή άλλου τύπου ελαστικού αντικειμένου) που εξετάζεται. Μια υψηλότερη σταθερά ελατηρίου σημαίνει ένα πιο άκαμπτο ελατήριο που είναι πιο δύσκολο να τεντωθεί (επειδή για μια δεδομένη μετατόπιση,Χ, η προκύπτουσα δύναμηφάθα είναι υψηλότερο), ενώ ένα χαλαρότερο ελατήριο που είναι ευκολότερο να τεντωθεί θα έχει χαμηλότερη σταθερά ελατηρίου. Εν συντομία, η σταθερά ελατηρίου χαρακτηρίζει τις ελαστικές ιδιότητες του εν λόγω ελατηρίου.
Η ελαστική δυνητική ενέργεια είναι μια άλλη σημαντική έννοια που σχετίζεται με το νόμο του Hooke και χαρακτηρίζει την ενέργεια αποθηκεύεται την άνοιξη όταν είναι εκτεταμένο ή συμπιεσμένο που του επιτρέπει να προσδώσει μια δύναμη αποκατάστασης όταν απελευθερώνετε το τέλος. Η συμπίεση ή η επέκταση του ελατηρίου μετατρέπει την ενέργεια που προσδίδετε σε ελαστικό δυναμικό και όταν εσείς απελευθερώστε την, η ενέργεια μετατρέπεται σε κινητική ενέργεια καθώς το ελατήριο επιστρέφει στη θέση ισορροπίας του.
Κατεύθυνση στο νόμο του Hooke
Αναμφίβολα θα έχετε παρατηρήσει το σύμβολο μείον στο νόμο του Hooke. Όπως πάντα, η επιλογή της «θετικής» κατεύθυνσης είναι πάντα τελικά αυθαίρετη (μπορείτε να ρυθμίσετε τους άξονες να τρέχουν προς οποιαδήποτε κατεύθυνση όπως, και η φυσική λειτουργεί με τον ίδιο ακριβώς τρόπο), αλλά σε αυτήν την περίπτωση, το αρνητικό σημάδι είναι μια υπενθύμιση ότι η δύναμη είναι μια αποκατάσταση δύναμη. «Επαναφορά δύναμης» σημαίνει ότι η ενέργεια της δύναμης είναι να επιστρέψει το ελατήριο στη θέση ισορροπίας.
Εάν καλέσετε τη θέση ισορροπίας στο τέλος του ελατηρίου (δηλ. Τη «φυσική» θέση του χωρίς να εφαρμόζονται δυνάμεις)Χ= 0, τότε η επέκταση του ελατηρίου θα οδηγήσει σε θετικόΧ, και η δύναμη θα δράσει στην αρνητική κατεύθυνση (δηλαδή, πίσω προςΧ= 0). Από την άλλη πλευρά, η συμπίεση αντιστοιχεί σε αρνητική τιμή γιαΧ, και στη συνέχεια η δύναμη ενεργεί προς τη θετική κατεύθυνση, πάλι προςΧ= 0. Ανεξάρτητα από την κατεύθυνση της μετατόπισης του ελατηρίου, το αρνητικό σύμβολο περιγράφει τη δύναμη που το κινεί πίσω στην αντίθετη κατεύθυνση.
Φυσικά, η άνοιξη δεν χρειάζεται να κινηθεί μέσαΧκατεύθυνση (θα μπορούσατε εξίσου καλά να γράψετε τον νόμο του Hookeεήζστη θέση του), αλλά στις περισσότερες περιπτώσεις, τα προβλήματα που αφορούν το νόμο είναι σε μία διάσταση, και αυτό ονομάζεταιΧγια ευκολία.
Ελαστική δυναμική εξίσωση ενέργειας
Η έννοια της ελαστικής δυναμικής ενέργειας, που εισήχθη παράλληλα με τη σταθερά ελατηρίου νωρίτερα στο άρθρο, είναι πολύ χρήσιμη αν θέλετε να μάθετε να υπολογίζετεκχρησιμοποιώντας άλλα δεδομένα. Η εξίσωση για ελαστική δυνητική ενέργεια σχετίζεται με την μετατόπιση,Χ, και η σταθερά ελατηρίου,κ, στο ελαστικό δυναμικόΡΕΕλκαι παίρνει την ίδια βασική μορφή με την εξίσωση για κινητική ενέργεια:
PE_ {el} = \ frac {1} {2} kx ^ 2
Ως μορφή ενέργειας, οι μονάδες ελαστικής δυναμικής ενέργειας είναι joules (J).
Η ελαστική δυναμική ενέργεια είναι ίση με την εργασία που έχει γίνει (αγνοώντας τις απώλειες λόγω θερμότητας ή άλλων σπατάλης) και μπορείτε Υπολογίστε εύκολα με βάση την απόσταση που έχει τεντωθεί το ελατήριο εάν γνωρίζετε τη σταθερά ελατηρίου για το άνοιξη. Ομοίως, μπορείτε να τακτοποιήσετε ξανά αυτήν την εξίσωση για να βρείτε τη σταθερά ελατηρίου εάν γνωρίζετε την εργασία που έχει γίνει (από τότεΔ = ΡΕΕλ) κατά το τέντωμα της άνοιξης και το μέγεθος της άνοιξης
Πώς να υπολογίσετε τη σταθερά ελατηρίου
Υπάρχουν δύο απλές προσεγγίσεις που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε για τον υπολογισμό της σταθεράς ελατηρίου, χρησιμοποιώντας είτε τον νόμο του Hooke, μαζί με ορισμένα δεδομένα σχετικά με τη δύναμη της αποκατάστασης (ή την εφαρμοσμένη) δύναμη και μετατόπιση του ελατηρίου από τη θέση ισορροπίας του, ή χρησιμοποιώντας την ελαστική δυνητική ενεργειακή εξίσωση μαζί με τα σχήματα για την εργασία που επιτελείται κατά την επέκταση του ελατηρίου και τη μετατόπιση του άνοιξη.
Η χρήση του νόμου του Hooke είναι η απλούστερη προσέγγιση για την εύρεση της αξίας της σταθεράς ελατηρίου και μπορείτε ακόμη και αποκτήστε τα δεδομένα μόνοι σας μέσω μιας απλής ρύθμισης όπου κρεμάτε μια γνωστή μάζα (με τη δύναμη του βάρους της δίνεται απόφά = mg) από ελατήριο και καταγράψτε την προέκταση του ελατηρίου. Αγνοώντας το σύμβολο μείον στο νόμο του Hooke (καθώς η κατεύθυνση δεν έχει σημασία για τον υπολογισμό της τιμής της σταθεράς ελατηρίου) και τη διαίρεση με την μετατόπιση,Χ, δίνει:
k = \ frac {F} {x}
Η χρήση του τύπου ελαστικής δυναμικής ενέργειας είναι μια παρόμοια απλή διαδικασία, αλλά δεν προσφέρεται επίσης σε ένα απλό πείραμα. Ωστόσο, εάν γνωρίζετε την ελαστική δυναμική ενέργεια και την μετατόπιση, μπορείτε να την υπολογίσετε χρησιμοποιώντας:
k = \ frac {2PE_ {el}} {x ^ 2}
Σε κάθε περίπτωση, θα καταλήξετε σε μια τιμή με μονάδες N / m.
Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου: Βασικά παραδείγματα προβλημάτων
Ένα ελατήριο με βάρος 6 Ν που προστίθεται σε αυτό εκτείνεται κατά 30 cm σε σχέση με τη θέση ισορροπίας του. Τι είναι η σταθερά ελατηρίουκγια την άνοιξη;
Η αντιμετώπιση αυτού του προβλήματος είναι εύκολη υπό την προϋπόθεση ότι σκεφτείτε τις πληροφορίες που σας έχουν δοθεί και μετατρέψετε τη μετατόπιση σε μέτρα πριν από τον υπολογισμό. Το βάρος 6 Ν είναι ένας αριθμός σε Newton, οπότε αμέσως θα πρέπει να γνωρίζετε ότι είναι μια δύναμη και η απόσταση που εκτείνεται από το ελατήριο από τη θέση ισορροπίας είναι η μετατόπιση,Χ. Έτσι, η ερώτηση σας λέει ότιφά= 6 Ν καιΧ= 0,3 m, που σημαίνει ότι μπορείτε να υπολογίσετε τη σταθερά ελατηρίου ως εξής:
\ begin {aligned} k & = \ frac {F} {x} \\ & = \ frac {6 \; \ text {N}} {0.3 \; \ κείμενο {m}} \\ & = 20 \; \ κείμενο {N / m} \ end {στοίχιση}
Για ένα άλλο παράδειγμα, φανταστείτε ότι γνωρίζετε ότι 50 J ελαστικής δυναμικής ενέργειας συγκρατούνται σε ένα ελατήριο που έχει συμπιεστεί 0,5 m από τη θέση ισορροπίας του. Ποια είναι η σταθερά ελατηρίου σε αυτήν την περίπτωση; Και πάλι, η προσέγγιση είναι να προσδιορίσετε τις πληροφορίες που έχετε και να εισαγάγετε τις τιμές στην εξίσωση. Εδώ, μπορείτε να το δείτεΡΕΕλ = 50 J καιΧ= 0,5 μ. Έτσι η αναδιαρθρωμένη ελαστική δυνητική ενεργειακή εξίσωση δίνει:
\ begin {aligned} k & = \ frac {2PE_ {el}} {x ^ 2} \\ & = \ frac {2 × 50 \; \ κείμενο {J}} {(0,5 \; \ κείμενο {m}) ^ 2} \\ & = \ frac {100 \; \ text {J}} {0,25 \; \ κείμενο {m} ^ 2} \\ & = 400 \; \ κείμενο {N / m} \ τέλος {στοίχιση}
The Spring Constant: Πρόβλημα ανάρτησης αυτοκινήτου
Ένα αυτοκίνητο 1800 kg έχει σύστημα ανάρτησης που δεν επιτρέπεται να υπερβαίνει τα 0,1 m συμπίεσης. Τι σταθερά ελατηρίου πρέπει να έχει η ανάρτηση;
Αυτό το πρόβλημα μπορεί να φαίνεται διαφορετικό από τα προηγούμενα παραδείγματα, αλλά τελικά η διαδικασία υπολογισμού της σταθεράς ελατηρίου,κ, είναι ακριβώς το ίδιο. Το μόνο πρόσθετο βήμα είναι η μετάφραση της μάζας του αυτοκινήτου σε αβάρος(δηλαδή, η δύναμη που οφείλεται στη βαρύτητα που δρα στη μάζα) σε κάθε τροχό. Γνωρίζετε ότι η δύναμη λόγω του βάρους του αυτοκινήτου δίνεται απόφά = mg, όπουσολ= 9,81 m / s2, την επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας στη Γη, ώστε να μπορείτε να προσαρμόσετε τον τύπο νόμου του Hooke ως εξής:
\ begin {aligned} k & = \ frac {F} {x} \\ & = \ frac {mg} {x} \ τέλος {στοίχιση}
Ωστόσο, μόνο το ένα τέταρτο της συνολικής μάζας του αυτοκινήτου στηρίζεται σε οποιονδήποτε τροχό, οπότε η μάζα ανά ελατήριο είναι 1800 kg / 4 = 450 kg.
Τώρα απλά πρέπει να εισαγάγετε τις γνωστές τιμές και να λύσετε για να βρείτε την ισχύ των ελατηρίων που απαιτούνται, σημειώνοντας ότι η μέγιστη συμπίεση, 0,1 m είναι η τιμή γιαΧθα πρέπει να χρησιμοποιήσετε:
\ begin {aligned} k & = \ frac {450 \; \ text {kg} × 9,81 \; \ κείμενο {m / s} ^ 2} {0,1 \; \ κείμενο {m}} \\ & = 44,145 \; \ κείμενο {N / m} \ end {aligned}
Αυτό θα μπορούσε επίσης να εκφραστεί ως 44,45 kN / m, όπου kN σημαίνει "kilonewton" ή "χιλιάδες Newton".
Οι περιορισμοί του νόμου του Hooke
Είναι σημαντικό να τονίσετε ξανά ότι δεν ισχύει ο νόμος του Hookeκάθεκατάσταση και για να το χρησιμοποιήσετε αποτελεσματικά θα πρέπει να θυμάστε τους περιορισμούς του νόμου. Η σταθερά ελατηρίου,κ, είναι η κλίση της ευθείας γραμμήςτμήματου γραφήματος τουφάεναντίονΧ; με άλλα λόγια, η δύναμη που εφαρμόζεται έναντι μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας.
Ωστόσο, μετά το «όριο της αναλογικότητας» για το εν λόγω υλικό, η σχέση δεν είναι πλέον ευθεία και ο νόμος του Hooke παύει να ισχύει. Ομοίως, όταν ένα υλικό φτάσει στο "ελαστικό όριο" του, δεν θα ανταποκριθεί σαν ελατήριο και θα παραμορφωθεί μόνιμα.
Τέλος, ο νόμος του Hooke προϋποθέτει μια «ιδανική πηγή». Μέρος αυτού του ορισμού είναι ότι η απόκριση του ελατηρίου είναι γραμμική, αλλά θεωρείται επίσης ότι είναι μαζική και χωρίς τριβή.
Αυτοί οι δύο τελευταίοι περιορισμοί είναι εντελώς μη ρεαλιστικοί, αλλά σας βοηθούν να αποφύγετε επιπλοκές που προκύπτουν από τη δύναμη της βαρύτητας που δρα στο ίδιο το ελατήριο και την απώλεια ενέργειας σε τριβή. Αυτό σημαίνει ότι ο νόμος του Hooke θα είναι πάντα κατά προσέγγιση και όχι ακριβής - ακόμη και εντός του ορίου της αναλογικότητας - αλλά οι αποκλίσεις συνήθως δεν προκαλούν πρόβλημα, εκτός εάν χρειάζεστε πολύ ακριβείς απαντήσεις.