Οι περισσότεροι άνθρωποι γνωρίζουν για τη διατήρηση της ενέργειας. Με λίγα λόγια, λέει ότι η ενέργεια διατηρείται. δεν δημιουργείται και δεν καταστρέφεται, αλλά απλά αλλάζει από τη μία μορφή στην άλλη.
Αν λοιπόν κρατάτε μια μπάλα εντελώς ακίνητη, δύο μέτρα πάνω από το έδαφος και μετά την απελευθερώσετε, από πού προέρχεται η ενέργεια που κερδίζει; Πώς μπορεί κάτι να κερδίσει εντελώς τόσο κινητική ενέργεια πριν φτάσει στο έδαφος;
Η απάντηση είναι ότι η ακίνητη μπάλα έχει μια μορφή αποθηκευμένης ενέργειας που ονομάζεταιβαρυτική δυνητική ενέργειαή GPE για συντομία. Αυτή είναι μια από τις πιο σημαντικές μορφές αποθηκευμένης ενέργειας που ένας μαθητής γυμνασίου θα αντιμετωπίσει στη φυσική.
Το GPE είναι μια μορφή μηχανικής ενέργειας που προκαλείται από το ύψος του αντικειμένου πάνω από την επιφάνεια της Γης (ή μάλιστα από οποιαδήποτε άλλη πηγή βαρυτικού πεδίου). Κάθε αντικείμενο που δεν βρίσκεται στο σημείο χαμηλότερης ενέργειας σε ένα τέτοιο σύστημα έχει κάποια πιθανή ενέργεια βαρύτητας και εάν απελευθερωμένο (δηλαδή, επιτρέπεται να πέσει ελεύθερα), θα επιταχυνθεί προς το κέντρο του βαρυτικού πεδίου μέχρι κάτι το σταματά.
Αν και η διαδικασία εύρεσης της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας ενός αντικειμένου είναι αρκετά απλή μαθηματικά, η ιδέα είναι εξαιρετικά χρήσιμη για τον υπολογισμό άλλες ποσότητες. Για παράδειγμα, η εκμάθηση της έννοιας του GPE καθιστά πολύ εύκολο τον υπολογισμό της κινητικής ενέργειας και της τελικής ταχύτητας ενός αντικειμένου που πέφτει.
Ορισμός της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας
Το GPE εξαρτάται από δύο βασικούς παράγοντες: τη θέση του αντικειμένου σε σχέση με ένα βαρυτικό πεδίο και τη μάζα του αντικειμένου. Το κέντρο μάζας του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο (στη Γη, το κέντρο του πλανήτη) είναι το σημείο χαμηλότερης ενέργειας στο πεδίο (αν και στην πράξη το Το πραγματικό σώμα θα σταματήσει την πτώση πριν από αυτό το σημείο, όπως κάνει η επιφάνεια της Γης), και όσο πιο μακριά από αυτό το σημείο είναι ένα αντικείμενο, τόσο περισσότερη αποθηκευμένη ενέργεια έχει λόγω θέση. Η ποσότητα της αποθηκευμένης ενέργειας αυξάνεται επίσης εάν το αντικείμενο είναι πιο ογκώδες.
Μπορείτε να κατανοήσετε τον βασικό ορισμό της δυναμικής βαρυτικής ενέργειας εάν σκέφτεστε για ένα βιβλίο που βρίσκεται πάνω από ένα ράφι. Το βιβλίο έχει τη δυνατότητα να πέσει στο πάτωμα λόγω της ανυψωμένης θέσης του σε σχέση με το έδαφος, αλλά αυτό που ξεκινά έξω στο πάτωμα δεν μπορεί να πέσει, επειδή είναι ήδη στην επιφάνεια: Το βιβλίο στο ράφι έχει GPE, αλλά αυτό στο έδαφος όχι.
Η διαίσθηση θα σας πει επίσης ότι ένα βιβλίο που έχει διπλάσιο πάχος θα κάνει διπλάσιο θόρυβο όταν φτάσει στο έδαφος. Αυτό συμβαίνει επειδή η μάζα του αντικειμένου είναι άμεσα ανάλογη με την ποσότητα της δυναμικής βαρυτικής ενέργειας που έχει ένα αντικείμενο.
Τύπος GPE
Ο τύπος της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας (GPE) είναι πραγματικά απλός και σχετίζεται με τη μάζαΜ, η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας στη Γησολ) και ύψος πάνω από την επιφάνεια της Γηςηστην αποθηκευμένη ενέργεια λόγω της βαρύτητας:
GPE = mgh
Όπως είναι συνηθισμένο στη φυσική, υπάρχουν πολλά πιθανά διαφορετικά σύμβολα για δυναμική βαρυτική ενέργεια, συμπεριλαμβανομένωνΕσολ, ΡΕΓκραβ και άλλοι. Το GPE είναι ένα μέτρο ενέργειας, επομένως το αποτέλεσμα αυτού του υπολογισμού θα είναι μια τιμή σε joules (J).
Η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας της Γης έχει (περίπου) σταθερή τιμή οπουδήποτε στην επιφάνεια και δείχνει απευθείας στο κέντρο μάζας του πλανήτη: g = 9,81 m / s2. Δεδομένης αυτής της σταθερής τιμής, τα μόνα πράγματα που πρέπει να υπολογίσετε το GPE είναι η μάζα του αντικειμένου και το ύψος του αντικειμένου πάνω από την επιφάνεια.
Παραδείγματα υπολογισμού GPE
Τι κάνετε λοιπόν εάν πρέπει να υπολογίσετε πόση ενέργεια βαρύτητας έχει ένα αντικείμενο; Στην ουσία, μπορείτε απλά να ορίσετε το ύψος του αντικειμένου με βάση ένα απλό σημείο αναφοράς (το έδαφος λειτουργεί συνήθως καλά) και να το πολλαπλασιάσετε με τη μάζα τουΜκαι η επίγεια σταθερά βαρύτηταςσολγια να βρείτε το GPE.
Για παράδειγμα, φανταστείτε μια μάζα 10 κιλών που αναρτήθηκε σε ύψος 5 μέτρων πάνω από το έδαφος από ένα σύστημα τροχαλίας. Πόση πιθανή ενέργεια βαρύτητας έχει;
Η χρήση της εξίσωσης και η αντικατάσταση των γνωστών τιμών δίνει:
\ begin {aligned} GPE & = mgh \\ & = 10 \; \ text {kg} × 9,81 \; \ text {m / s} ^ 2 × 5 \; \ κείμενο {m} \\ & = 490.5 \; \ κείμενο {J} \ end {στοίχιση}
Ωστόσο, αν σκεφτόσασταν την ιδέα κατά την ανάγνωση αυτού του άρθρου, ίσως να έχετε σκεφτεί μια ενδιαφέρουσα ερώτηση: Εάν το βαρυτικό δυναμικό η ενέργεια ενός αντικειμένου στη Γη είναι μόνο πραγματικά μηδέν αν βρίσκεται στο κέντρο της μάζας (δηλαδή, μέσα στον πυρήνα της Γης), γιατί το υπολογίζετε σαν η επιφάνεια του Η Γη είναιη = 0?
Η αλήθεια είναι ότι η επιλογή του «μηδενικού» σημείου για ύψος είναι αυθαίρετη και συνήθως γίνεται για την απλοποίηση του προβλήματος. Κάθε φορά που υπολογίζετε το GPE, ανησυχείτε πολύ για την πιθανή ενέργεια βαρύτηταςαλλαγέςαντί για οποιοδήποτε απόλυτο μέτρο της αποθηκευμένης ενέργειας.
Στην ουσία, δεν έχει σημασία αν αποφασίσετε να καλέσετε επιτραπέζιοη= 0 αντί για την επιφάνεια της Γης, επειδή είστε πάνταπράγματιμιλάμε για αλλαγές στην πιθανή ενέργεια που σχετίζονται με αλλαγές στο ύψος.
Σκεφτείτε, λοιπόν, κάποιος να σηκώσει ένα βιβλίο φυσικής 1,5 κιλών από την επιφάνεια ενός γραφείου, ανυψώνοντάς το 50 cm (δηλαδή 0,5 m) πάνω από την επιφάνεια. Ποια είναι η πιθανή ενεργειακή αλλαγή βαρύτητας (με την ένδειξη ΔGPE) για το βιβλίο καθώς έχει σηκωθεί;
Το κόλπο, φυσικά, είναι να καλέσετε τον πίνακα το σημείο αναφοράς, με ύψοςη= 0, ή ισοδύναμα, για να ληφθεί υπόψη η μεταβολή του ύψους (Δη) από την αρχική θέση. Και στις δύο περιπτώσεις, λαμβάνετε:
\ begin {aligned} ΔGPE & = mgΔh \\ & = 1.5 \; \ text {kg} × 9,81 \; \ κείμενο {m / s} ^ 2 × 0,5 \; \ κείμενο {m} \\ & = 7.36 \; \ κείμενο {J} \ τέλος {στοίχιση}
Βάζοντας το "G" σε GPE
Η ακριβής τιμή για την επιτάχυνση της βαρύτηταςσολστην εξίσωση GPE έχει μεγάλο αντίκτυπο στην πιθανή βαρυτική ενέργεια ενός αντικειμένου που υψώνεται μια ορισμένη απόσταση πάνω από μια πηγή βαρυτικού πεδίου. Στην επιφάνεια του Άρη, για παράδειγμα, η τιμή τουσολείναι περίπου τρεις φορές μικρότερο από ό, τι στην επιφάνεια της Γης, οπότε αν σηκώσετε το ίδιο αντικείμενο το ίδιο απόσταση από την επιφάνεια του Άρη, θα είχε περίπου τρεις φορές λιγότερη αποθηκευμένη ενέργεια από ό, τι Γη.
Ομοίως, αν και μπορείτε να προσεγγίσετε την τιμή τουσολως 9,81 m / s2 σε όλη την επιφάνεια της Γης στο επίπεδο της θάλασσας, είναι στην πραγματικότητα μικρότερη αν μετακινήσετε μια σημαντική απόσταση μακριά από την επιφάνεια. Για παράδειγμα, εάν ήσασταν σε ένα όρος Το Έβερεστ, που υψώνεται πάνω από 8.848 μέτρα (8.848 χλμ.) Πάνω από την επιφάνεια της Γης, που απέχει τόσο πολύ από το κέντρο μάζας του πλανήτη θα μείωνε την αξία τουσολελαφρώς, έτσι θα έχετεσολ= 9,79 m / s2 στην κορυφή.
Εάν είχατε ανέβει με επιτυχία στο βουνό και ανυψώσατε μάζα 2 κιλών 2 μέτρα από την κορυφή του βουνού στον αέρα, ποια θα ήταν η αλλαγή στο GPE;
Όπως τον υπολογισμό του GPE σε έναν άλλο πλανήτη με διαφορετική τιμήσολ, απλά εισάγετε την τιμή γιασολπου ταιριάζει στην κατάσταση και περνά την ίδια διαδικασία όπως παραπάνω:
\ begin {aligned} ΔGPE & = mgΔh \\ & = 2 \; \ text {kg} × 9,79 \; \ κείμενο {m / s} ^ 2 × 2 \; \ κείμενο {m} \\ & = 39.16 \; \ κείμενο {J} \ τέλος {στοίχιση}
Σε επίπεδο θάλασσας στη Γη, μεσολ= 9,81 m / s2ανύψωση της ίδιας μάζας θα άλλαζε το GPE με:
\ start {aligned} ΔGPE & = mgΔh \\ & = 2 \; \ text {kg} × 9,81 \; \ κείμενο {m / s} ^ 2 × 2 \; \ κείμενο {m} \\ & = 39.24 \; \ κείμενο {J} \ τέλος {στοίχιση}
Αυτό δεν είναι μια τεράστια διαφορά, αλλά δείχνει καθαρά ότι το υψόμετρο επηρεάζει την αλλαγή στο GPE όταν εκτελείτε την ίδια κίνηση ανύψωσης. Και στην επιφάνεια του Άρη, όπουσολ= 3,75 m / s2 θα ήταν:
\ begin {aligned} ΔGPE & = mgΔh \\ & = 2 \; \ text {kg} × 3,75 \; \ text {m / s} ^ 2 × 2 \; \ κείμενο {m} \\ & = 15 \; \ κείμενο {J} \ τέλος {στοίχιση}
Όπως μπορείτε να δείτε, η τιμή τουσολείναι πολύ σημαντικό για το αποτέλεσμα που έχετε. Εκτελώντας την ίδια ανυψωτική κίνηση στο βαθύ διάστημα, μακριά από οποιαδήποτε επιρροή από τη δύναμη της βαρύτητας, ουσιαστικά δεν θα υπήρχε αλλαγή στη βαρυτική δυναμική ενέργεια.
Εύρεση κινητικής ενέργειας με χρήση GPE
Η εξοικονόμηση ενέργειας μπορεί να χρησιμοποιηθεί παράλληλα με την έννοια του GPE για απλοποίησηΠολλάυπολογισμοί στη φυσική. Εν ολίγοις, υπό την επίδραση μιας «συντηρητικής» δύναμης, η συνολική ενέργεια (συμπεριλαμβανομένης της κινητικής ενέργειας, της βαρυτικής δυναμικής ενέργειας και όλων των άλλων μορφών ενέργειας) διατηρείται.
Μια συντηρητική δύναμη είναι εκείνη όπου η ποσότητα της εργασίας που γίνεται ενάντια στη δύναμη να μετακινήσετε ένα αντικείμενο μεταξύ δύο σημείων δεν εξαρτάται από τη διαδρομή που ακολουθεί. Έτσι, η βαρύτητα είναι συντηρητική επειδή ανυψώνει ένα αντικείμενο από ένα σημείο αναφοράς σε ύψοςηαλλάζει τη βαρυτική δυναμική ενέργεια κατάκαμ, αλλά δεν έχει καμία διαφορά αν το μετακινείτε σε μονοπάτι σχήματος S ή σε ευθεία γραμμή - αλλάζει πάντακαμ.
Τώρα φανταστείτε μια κατάσταση όπου ρίχνετε μια μπάλα των 500 g (0,5 kg) από ύψος 15 μέτρων Αγνοώντας την επίδραση της αντίστασης στον αέρα και υποθέτοντας ότι δεν περιστρέφεται κατά την πτώση της, πόση κινητική ενέργεια θα έχει η μπάλα τη στιγμή πριν έρθει σε επαφή με το έδαφος;
Το κλειδί σε αυτό το πρόβλημα είναι το γεγονός ότι η συνολική ενέργεια διατηρείται, επομένως όλη η κινητική ενέργεια προέρχεται από το GPE, και έτσι η κινητική ενέργειαμικ στη μέγιστη τιμή του πρέπει να ισούται με το GPE στη μέγιστη τιμή του, ήGPE = μικ. Έτσι μπορείτε να λύσετε το πρόβλημα εύκολα:
\ begin {aligned} E_k & = GPE \\ & = mgh \\ & = 0.5 \; \ text {kg} × 9,81 \; \ κείμενο {m / s} ^ 2 × 15 \; \ κείμενο {m} \\ & = 73.58 \; \ κείμενο {J} \ τέλος {στοίχιση}
Εύρεση τελικής ταχύτητας με χρήση GPE και εξοικονόμηση ενέργειας
Η εξοικονόμηση ενέργειας απλοποιεί επίσης πολλούς άλλους υπολογισμούς που αφορούν την πιθανή ενέργεια βαρύτητας. Σκεφτείτε τη μπάλα από το προηγούμενο παράδειγμα: τώρα που γνωρίζετε τη συνολική κινητική ενέργεια με βάση τη βαρυτική της πιθανή ενέργεια στο υψηλότερο σημείο της, ποια είναι η τελική ταχύτητα της μπάλας τη στιγμή πριν φτάσει στη Γη επιφάνεια? Μπορείτε να το επιλύσετε με βάση την τυπική εξίσωση για κινητική ενέργεια:
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
Με την τιμή τουμικ γνωστό, μπορείτε να τακτοποιήσετε ξανά την εξίσωση και να επιλύσετε την ταχύτηταβ:
\ begin {aligned} v & = \ sqrt {\ frac {2E_k} {m}} \\ & = \ sqrt {\ frac {2 × 73,575 \; \ text {J}} {0,5 \; \ κείμενο {kg}} } \\ & = 17.16 \; \ κείμενο {m / s} \ τέλος {στοίχιση}
Ωστόσο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την εξοικονόμηση ενέργειας για να εξαγάγετε μια εξίσωση που ισχύει γιαόποιοςαντικείμενο που πέφτει, σημειώνοντας πρώτα ότι σε καταστάσεις όπως αυτό, -ΔGPE = ∆μικ, και έτσι:
mgh = \ frac {1} {2} mv ^ 2
ΑκύρωσηΜκαι από τις δύο πλευρές και η αναδιάταξη δίνει:
gh = \ frac {1} {2} v ^ 2 \\ \ text {Επομένως} \; v = \ sqrt {2gh}
Σημειώστε ότι αυτή η εξίσωση δείχνει ότι, αγνοώντας την αντίσταση του αέρα, η μάζα δεν επηρεάζει την τελική ταχύτηταβ, οπότε αν ρίξετε δύο αντικείμενα από το ίδιο ύψος, θα χτυπήσουν στο έδαφος την ίδια στιγμή και θα πέσουν στην ίδια ταχύτητα. Μπορείτε επίσης να ελέγξετε το αποτέλεσμα που αποκτήθηκε χρησιμοποιώντας την απλούστερη μέθοδο δύο βημάτων και να δείξετε ότι αυτή η νέα εξίσωση παράγει πράγματι το ίδιο αποτέλεσμα με τις σωστές μονάδες.
Απόκτηση εξωεδαφικών τιμώνσολΧρήση GPE
Τέλος, η προηγούμενη εξίσωση σάς δίνει επίσης έναν τρόπο υπολογισμούσολσε άλλους πλανήτες. Φανταστείτε ότι ρίξατε την μπάλα των 0,5 κιλών από τα 10 μέτρα πάνω από την επιφάνεια του Άρη και καταγράψατε μια τελική ταχύτητα (λίγο πριν φτάσει στην επιφάνεια) 8,66 m / s. Ποια είναι η αξία τουσολστον Άρη;
Ξεκινώντας από ένα προηγούμενο στάδιο στην αναδιάταξη:
gh = \ frac {1} {2} v ^ 2
Βλέπετε ότι:
\ begin {aligned} g & = \ frac {v ^ 2} {2h} \\ & = \ frac {(8.66 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 10 \; \ κείμενο {m }} \\ & = 3.75 \; \ κείμενο {m / s} ^ 2 \ τέλος {στοίχιση}
Η εξοικονόμηση ενέργειας, σε συνδυασμό με τις εξισώσεις για πιθανή βαρυτική ενέργεια και κινητική ενέργεια, έχειΠολλάχρήσεις και όταν συνηθίσετε να εκμεταλλευτείτε τις σχέσεις, θα είστε σε θέση να λύσετε εύκολα ένα τεράστιο φάσμα προβλημάτων κλασικής φυσικής.