ΕΝΑδιάνυσμαείναι μια ποσότητα που σχετίζεται τόσο με το μέγεθος όσο και με την κατεύθυνση. Αυτό είναι διαφορετικό από έναβαθμωτό μέγεθοςποσότητα, η οποία αντιστοιχεί μόνο σε μέγεθος. Η ταχύτητα είναι ένα παράδειγμα μιας ποσότητας φορέα. Έχει τόσο μέγεθος (πόσο γρήγορα πηγαίνει κάτι) και κατεύθυνση (την κατεύθυνση που ταξιδεύει.)
Τα διανύσματα σχεδιάζονται συχνά ως βέλη. Το μήκος του βέλους αντιστοιχεί στο μέγεθος του διανύσματος και το σημείο του βέλους υποδεικνύει την κατεύθυνση.
Υπάρχουν δύο τρόποι εργασίας με την προσθήκη και την αφαίρεση του φορέα. Το πρώτο είναι γραφικά, με χειρισμό των διαγραμμάτων βέλους των ίδιων των διανυσμάτων. Το δεύτερο είναι μαθηματικά, το οποίο δίνει ακριβή αποτελέσματα.
Γραφική προσθήκη και αφαίρεση διανυσμάτων σε μία διάσταση
Όταν προσθέτετε δύο διανύσματα, τοποθετείτε την ουρά του δεύτερου διανύσματος στην άκρη του πρώτου διανύσματος διατηρώντας παράλληλα τον προσανατολισμό του διανύσματος. οπροκύπτον διάνυσμαείναι ένα διάνυσμα που ξεκινά στην ουρά του πρώτου διανύσματος και δείχνει σε ευθεία γραμμή προς την άκρη του δεύτερου διανύσματος.
Για παράδειγμα, σκεφτείτε να προσθέσετε διανύσματαΕΝΑκαισιπου δείχνουν προς την ίδια κατεύθυνση κατά μήκος μιας γραμμής. Τους τοποθετούμε «άκρη στην ουρά» και τον προκύπτοντα φορέα,ντο, δείχνει στην ίδια κατεύθυνση και έχει μήκος που είναι το άθροισμα των μηκώνΕΝΑκαισι.
Η αφαίρεση των διανυσμάτων σε μία διάσταση είναι ουσιαστικά η ίδια με την προσθήκη, εκτός εάν "αναστρέψετε" το δεύτερο διάνυσμα. Αυτό προκύπτει απευθείας από το γεγονός ότι η αφαίρεση είναι η ίδια με την προσθήκη αρνητικού.
Μαθηματική προσθήκη και αφαίρεση διανυσμάτων σε μία διάσταση
Όταν εργάζεστε σε μία διάσταση, η κατεύθυνση ενός διανύσματος μπορεί να υποδεικνύεται με σήμα. Επιλέγουμε μια κατεύθυνση για να είναι η θετική κατεύθυνση (συνήθως «πάνω» ή «δεξιά» επιλέγονται ως θετική) και εκχωρούμε οποιοδήποτε διάνυσμα που δείχνει προς αυτήν την κατεύθυνση ως θετική ποσότητα. Κάθε διάνυσμα που δείχνει προς την αρνητική κατεύθυνση είναι αρνητική ποσότητα. Κατά την προσθήκη ή αφαίρεση διανυσμάτων, προσθέστε ή αφαιρέστε τα μεγέθη τους με τα κατάλληλα σημάδια.
Ας υποθέσουμε στην προηγούμενη ενότητα, διάνυσμαΕΝΑείχε μέγεθος 3 και διάνυσμασιείχε μέγεθος 5. Τότε προκύπτει διάνυσμαC = A + B =8, ένα διάνυσμα μεγέθους 8 που δείχνει προς τη θετική κατεύθυνση και το προκύπτον διάνυσμαρε = Α - Β =-2, ένα διάνυσμα μεγέθους 2 που δείχνει στην αρνητική κατεύθυνση. Σημειώστε ότι αυτό συμβαδίζει με τα γραφικά αποτελέσματα από πριν.
Συμβουλή: Προσέξτε να προσθέσετε μόνο διανύσματα του ίδιου τύπου: ταχύτητα + ταχύτητα, δύναμη + δύναμη και ούτω καθεξής. Όπως με όλα τα μαθηματικά στη φυσική, οι μονάδες πρέπει να ταιριάζουν!
Προσθήκη και αφαίρεση διανυσματικών γραφικών σε δύο διαστάσεις
Εάν το πρώτο διάνυσμα και το δεύτερο διάνυσμα δεν βρίσκονται στην ίδια γραμμή στον καρτεσιανό χώρο, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ίδια μέθοδο "tip to tail" για να τα προσθέσετε ή να τα αφαιρέσετε. Για να προσθέσετε δύο διανύσματα, απλώς φανταστείτε να σηκώνετε το δεύτερο και να τοποθετείτε την ουρά του στην άκρη του πρώτου, διατηρώντας παράλληλα τον προσανατολισμό του όπως φαίνεται. Το προκύπτον διάνυσμα είναι ένα βέλος που αρχίζει στην ουρά του πρώτου διανύσματος και τελειώνει στην άκρη του δεύτερου διανύσματος:
Όπως σε μια διάσταση, η αφαίρεση ενός διανύσματος από την άλλη ισοδυναμεί με αναστροφή και προσθήκη. Γραφικά, μοιάζει με το ακόλουθο:
•••Ντάνα Τσεν | Επιστήμη
Σημείωση: Μερικές φορές η προσθήκη διανύσματος εμφανίζεται γραφικά τοποθετώντας τις ουρές των δύο διανυσμάτων προσθήκης και δημιουργώντας ένα παραλληλόγραμμο. Το προκύπτον διάνυσμα είναι τότε η διαγώνια αυτού του παραλληλογράμματος.
Μαθηματική προσθήκη και αφαίρεση διανυσμάτων σε δύο διαστάσεις
Για να προσθέσετε και να αφαιρέσετε διανύσματα σε δύο διαστάσεις μαθηματικά, ακολουθήστε τα εξής βήματα:
Αποσυνθέστε κάθε διάνυσμα σε έναΧ-στοιχείο, μερικές φορές ονομάζεται οριζόντιο στοιχείο καιε-στοιχείο, μερικές φορές ονομάζεται κατακόρυφο στοιχείο, χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία. (Σημειώστε ότι τα στοιχεία μπορεί να είναι είτε αρνητικά είτε θετικά ανάλογα με την κατεύθυνση που δείχνει ο φορέας)
Πρόσθεσε τοΧ-συστατικά και των δύο διανυσμάτων μαζί και, στη συνέχεια, προσθέστε τοε-συστατικά και των δύο διανυσμάτων μαζί. Αυτό το αποτέλεσμα σας δίνει τοΧκαιεσυστατικά του προκύπτοντος διανύσματος.
Το μέγεθος του προκύπτοντος φορέα μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Η κατεύθυνση του προκύπτοντος φορέα μπορεί να βρεθεί μέσω τριγωνομετρίας χρησιμοποιώντας την αντίστροφη εφαπτομενική συνάρτηση. Αυτή η κατεύθυνση δίνεται συνήθως ως γωνία σε σχέση με το θετικόΧ-άξονας.
Τριγωνομετρία σε διανυσματική προσθήκη
Θυμηθείτε τις σχέσεις μεταξύ των πλευρών και των γωνιών ενός δεξιού τριγώνου από την τριγωνομετρία.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ text {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ κείμενο {} \\ \ tan (\ theta) = \ frac {b} {α}
Πυθαγόρειο θεώρημα:
γ ^ 2 = α ^ 2 + β ^ 2
Η προβολή βλήματος παρέχει κλασικά παραδείγματα για το πώς θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις σχέσεις και για την αποσύνθεση ενός διανύσματος και για τον καθορισμό του τελικού μεγέθους και κατεύθυνσης ενός διανύσματος.
Σκεφτείτε δύο άτομα που παίζουν catch. Ας υποθέσουμε ότι σας λένε ότι η μπάλα ρίχνεται από ύψος 1,3 m με ταχύτητα 16 m / s υπό γωνία 50 μοιρών με την οριζόντια. Για να ξεκινήσετε την ανάλυση αυτού του προβλήματος, θα πρέπει να αποσυνθέσετε αυτόν τον αρχικό φορέα ταχύτηταςΧκαιεσυστατικά όπως φαίνεται:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ φορές \ cos (50) = 10.3 \ κείμενο {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ φορές \ sin (50) = 12.3 \ κείμενο {m / s}
Εάν το catcher χάνει τη μπάλα και χτυπήσει στο έδαφος, με ποια τελική ταχύτητα θα χτυπήσει;
Χρησιμοποιώντας κινηματικές εξισώσεις, μπορούμε να προσδιορίσουμε ότι τα τελικά στοιχεία της ταχύτητας της μπάλας είναι:
v_ {xf} = 10.3 \ κείμενο {m / s} \\ v_ {yf} = - 13.3 \ κείμενο {m / s}
Το Πυθαγόρειο θεώρημα μας επιτρέπει να βρούμε το μέγεθος:
v_ {f} = \ sqrt {(10.3) ^ 2 + (-13.3) ^ 2} = 16.8 \ κείμενο {m / s}
Και η τριγωνομετρία μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε τη γωνία:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {-13.3} {10.3} \ Big) = - 52.2 \ βαθμός
Παράδειγμα προσθήκης και αφαίρεσης φορέα
Σκεφτείτε ένα αυτοκίνητο στρογγυλεμένο στη γωνία. ΥποθέτωβΕγώγια το αυτοκίνητο είναι στοΧ-κατεύθυνση με μέγεθος 10 m / s καιβφάείναι σε γωνία 45 μοιρών με το θετικόΧ- άξονας μεγέθους 10 m / s. Εάν αυτή η αλλαγή κίνησης εμφανιστεί σε 3 δευτερόλεπτα, ποιο είναι το μέγεθος και η κατεύθυνση της επιτάχυνσης του αυτοκινήτου καθώς γυρίζει;
Θυμηθείτε αυτήν την επιτάχυνσηέναείναι μια διανυσματική ποσότητα που ορίζεται ως:
α = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
ΟπουβφάκαιβΕγώείναι τελικές και αρχικές ταχύτητες αντίστοιχα (και ως εκ τούτου, είναι επίσης ποσότητες φορέα).
Για τον υπολογισμό της διαφοράς του διανύσματοςβφά - βΕγώ,πρέπει πρώτα να αποσυνθέσουμε τους αρχικούς και τελικούς διανύσματα ταχύτητας:
v_ {xi} = 10 \ κείμενο {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ κείμενο {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7.07 \ κείμενο {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7.07 \ κείμενο {m / s}
Στη συνέχεια αφαιρούμε τον τελικόΧκαιεσυστατικά από το αρχικόΧκαιεστοιχεία για να λάβετε συστατικά τουβφά - βΕγώ:
Στη συνέχεια αφαιρούμε τοΧκαιεσυστατικά:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ κείμενο {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7.07 \ κείμενο {m / s}
Στη συνέχεια, διαιρέστε κάθε ώρα για να λάβετε τα στοιχεία του διανύσματος επιτάχυνσης:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0,977 \ κείμενο {m / s} ^ 2 \\\ κείμενο {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2,36 \ κείμενο {m / s} ^ 2
Χρησιμοποιήστε το Πυθαγόρειο θεώρημα για να βρείτε το μέγεθος του διανύσματος επιτάχυνσης:
a = \ sqrt {(- 0,977) ^ 2 + (2,36) ^ 2} = 2,55 \ κείμενο {m / s} ^ 2
Τέλος, χρησιμοποιήστε την τριγωνομετρία για να βρείτε την κατεύθυνση του διανύσματος επιτάχυνσης:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Big (\ frac {2,36} {- 0,977} \ Big) = 113 \ βαθμός
