Οι φυσικοί συγκρίνουν τις στιγμές αδράνειας για περιστροφή αντικειμένων προκειμένου να προσδιορίσουν ποια θα είναι πιο δύσκολο να επιταχυνθούν ή να επιβραδυνθούν. Αυτό ισχύει για καταστάσεις πραγματικού κόσμου, όπως να καταλάβουμε ποια αντικείμενα θα κυλήσουν ταχύτερα σε έναν αγώνα.
Οι παράγοντες που αλλάζουν τη στιγμή της αδράνειας ενός αντικειμένου είναι η μάζα του, πώς κατανέμεται αυτή η μάζα - καθορίζεται από το σχήμα και την ακτίνα του - και τον άξονα περιστροφής στον οποίο περιστρέφεται.
Στιγμές αδράνειας για κοινά αντικείμενα
Αυτό το διάγραμμα δείχνει τις εξισώσεις ροπής αδράνειας για διάφορα κοινά σχήματα που περιστρέφονται γύρω από διαφορετικούς άξονες περιστροφής.
Συγκρίνοντας στιγμές αδράνειας
Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα προβλημάτων φυσικής που απαιτούν τη χρήση στιγμών αδράνειας για τη σύγκριση διαφόρων αντικειμένων.
1. Ποιο από τα παρακάτω θα είναι το πιο εύκολο να αρχίσετε να περιστρέφετε: μια κοίλη σφαίρα 7 kg ακτίνας 0,2 m ή μια στερεή σφαίρα 10 kg της ίδιας ακτίνας;
Ξεκινήστε βρίσκοντας τις στιγμές αδράνειας για κάθε αντικείμενο. Σύμφωνα με τον πίνακα, η εξίσωση για a
κοίλη σφαίραείναι:I = 2 / 3mr2, και η εξίσωση για aσυμπαγής σφαίραείναιI = 2 / 5mr2.Αντικαθιστώντας τις δεδομένες μάζες και ακτίνες:
Κοίλη σφαίρα: I = 2/3 (7kg) (0,2m)2 = 0.19 κιλά2
Στερεός σφαίρα: I = 2/5 (10kg) (0,2m)2 = 0.16 κιλά2
Η στιγμή της αδράνειας είναιμικρότερο για τη συμπαγή σφαίρα, έτσι θα είναιπιο εύκολο να αρχίσετε να γυρίζετε.
2. Με ποιο τρόπο είναι πιο δύσκολο να περιστρέψετε ένα μολύβι: περίπου το μήκος του, γύρω από το κέντρο του ή από άκρο σε άκρο; Ας υποθέσουμε ότι το μολύβι έχει μήκος 10 cm (0,1 m) και ακτίνα διατομής 3 mm (0,003 m).
Σε αυτήν την περίπτωση, η μάζα του μολυβιού δεν έχει σημασία στη σύγκριση, καθώς δεν αλλάζει.
Για να προσδιορίσετε ποιες εξισώσεις ισχύουν, προσεγγίστε το σχήμα ενός μολυβιού ως κύλινδρο
Στη συνέχεια, οι τρεις απαραίτητες στιγμές εξισώσεων αδράνειας είναι:
Κύλινδρος για το μήκος του(ο άξονας περνά από όλο το πράγμα, από την άκρη στη γόμα, έτσι η ακτίνα στον άξονα περιστροφήςείναιη ακτίνα διατομής του):
I = \ frac {1} {2} mr ^ 2 = \ frac {1} {2} m (0,003) ^ 2 = 0,0000045m
Κύλινδρος γύρω από το κέντρο του(κρατιέται στη μέση, έτσι η ακτίνα της περιστροφής του είναιτο μισό του μήκους):
I = \ frac {1} {12} mr ^ 2 = \ frac {1} {12} m (0,05) ^ 2 = 0,0002083m
Κύλινδρος γύρω από το άκρο του(συγκρατείται από το άκρο ή τη γόμα, έτσι η ακτίνα προς τον άξονα περιστροφήςείναιτο μήκος του):
I = \ frac {1} {3} mr ^ 2 = \ frac {1} {3} m (0,1) ^ 2 = 0,003333m
Όσο υψηλότερη είναι η στιγμή της αδράνειας ενός αντικειμένου, τόσο πιο δύσκολο είναι να ξεκινήσει (ή να σταματήσει) η περιστροφή του.Δεδομένου ότι κάθε τιμή πολλαπλασιάζεται με το ίδιοΜ, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του κλάσματος πολλαπλασιαζόμενη με r2, όσο υψηλότερη θα είναι η στιγμή της αδράνειας. Σε αυτήν την περίπτωση 0,0033333> 0,0002083> 0,0000045, έτσι είναιείναι πιο δύσκολο να περιστρέψετε ένα μολύβι στο τέλος τουαπό ότι γύρω από τους άλλους δύο άξονες.
3. Ποιο αντικείμενο θα φτάσει πρώτα στο κάτω μέρος μιας ράμπας εάν όλα έχουν την ίδια μάζα και ακτίνα και όλα απελευθερώνονται από την κορυφή ταυτόχρονα: στεφάνη, κύλινδρος ή συμπαγής σφαίρα; Αγνοήστε την τριβή.
Το κλειδί για την απάντηση αυτού του προβλήματος είναι η κατανόηση τουδιατήρηση της ενέργειας. Εάν όλα τα αντικείμενα έχουν την ίδια μάζα και ξεκινούν στο ίδιο ύψος, πρέπει να ξεκινούν με την ίδια ποσότηταβαρυτική δυνητική ενέργεια. Αυτό είναι τοσυνολική ενέργειαέχουν διαθέσιμο για μετατροπή σε κινητική ενέργεια και μετακίνηση κάτω από τη ράμπα.
Επειδή τα αντικείμενα θα κυλήσουν προς τα κάτω, πρέπει να μετατρέψουν την αρχική δυναμική τους ενέργεια και στα δύοπεριστροφικές και γραμμικές κινητικές ενέργειες.
Εδώ είναι το αλίευμα: όσο περισσότερη ενέργεια από αυτή τη συνολική πίτα χρειάζεται το αντικείμενοαρχίστε να γυρίζετε, όσο λιγότερο θα είναι διαθέσιμο γιαγραμμική κίνηση. Αυτό σημαίνειΌσο πιο εύκολο είναι να κυλήσει ένα αντικείμενο, τόσο πιο γρήγορα θα κινηθεί γραμμικά κάτω από τη ράμπα, κερδίζοντας τον αγώνα.
Τότε, επειδή όλες οι μάζες και οι ακτίνες είναι ίδιες, η σύγκριση των κλασμάτων μπροστά από κάθε στιγμή εξίσωσης αδράνειας αποκαλύπτει την απάντηση:
Στερεά σφαίρα: I =2/5κύριος2
Στεφάνη για έναν άξονα: I = κύριε2
Στερεός κύλινδρος για το μήκος του: I =1/2κύριος2
Από τη μικρότερη έως τη μεγαλύτερη αδράνεια, και έτσιπρώτα για να φτάσετε στο κάτω μέρος: σφαίρα, κύλινδρος, στεφάνη.