Η κινηματική είναι ένας μαθηματικός κλάδος της φυσικής που χρησιμοποιεί εξισώσεις για να περιγράψει την κίνηση των αντικειμένων (συγκεκριμένα τουςτροχιές) χωρίς να αναφέρεται σε δυνάμεις.
Δηλαδή, θα μπορούσατε απλά να συνδέσετε διάφορους αριθμούς στο σύνολο τεσσάρων κινηματικών εξισώσεων για να βρείτε άγνωστα αυτές οι εξισώσεις χωρίς να χρειάζεται καμία γνώση της φυσικής πίσω από αυτήν την κίνηση, βασιζόμενοι μόνο στην άλγεβρα σας δεξιότητες.
Σκεφτείτε την «κινηματική» ως συνδυασμό «κινητικής» και «μαθηματικών» - με άλλα λόγια, τα μαθηματικά της κίνησης.
Η περιστροφική κινηματική είναι ακριβώς αυτό, αλλά ασχολείται ειδικά με αντικείμενα που κινούνται σε κυκλικές διαδρομές και όχι οριζόντια ή κάθετα. Όπως τα αντικείμενα στον κόσμο της μεταφραστικής κίνησης, αυτά τα περιστρεφόμενα αντικείμενα μπορούν να περιγραφούν από την άποψη της μετατόπισης, της ταχύτητάς τους και επιτάχυνση με την πάροδο του χρόνου, αν και ορισμένες από τις μεταβλητές αλλάζουν αναγκαστικά για να καλύψουν τις βασικές διαφορές μεταξύ γραμμικής και γωνιακής κίνηση.
Είναι πραγματικά πολύ χρήσιμο να μάθετε τα βασικά για τη γραμμική κίνηση και την περιστροφική κίνηση ταυτόχρονα, ή τουλάχιστον να εισαγάγετε τις σχετικές μεταβλητές και εξισώσεις. Αυτό δεν είναι για να σας κατακλύσει, αλλά για να υπογραμμίσετε τα παράλληλα.
Φυσικά, είναι σημαντικό να θυμάστε όταν μαθαίνετε για αυτούς τους «τύπους» κίνησης στο διάστημα ότι η μετάφραση και η περιστροφή απέχουν πολύ από την αμοιβαία αποκλειστική. Στην πραγματικότητα, τα περισσότερα κινούμενα αντικείμενα στον πραγματικό κόσμο εμφανίζουν έναν συνδυασμό και των δύο τύπων κίνησης, με έναν από αυτούς συχνά να μην είναι εμφανής με την πρώτη ματιά.
Παραδείγματα γραμμικής και προβολής κίνησης
Επειδή η «ταχύτητα» σημαίνει συνήθως «γραμμική ταχύτητα» και «επιτάχυνση» συνεπάγεται «γραμμική επιτάχυνση», εκτός αν ορίζεται διαφορετικά, είναι σκόπιμο να αναθεωρηθούν μερικά απλά παραδείγματα βασικής κίνησης.
Η γραμμική κίνηση σημαίνει κυριολεκτικά την κίνηση που περιορίζεται σε μία μόνο γραμμή, συχνά αποδίδεται η μεταβλητή «x». Προβλήματα κίνησης βλήματος περιλαμβάνουν τόσο x- όσο και Οι διαστάσεις y και η βαρύτητα είναι η μόνη εξωτερική δύναμη (σημειώστε ότι αυτά τα προβλήματα περιγράφονται ότι εμφανίζονται σε έναν τρισδιάστατο κόσμο, π.χ. απολύεται… »).
Σημειώστε ότι η μάζαΜδεν εισάγει οποιουδήποτε είδους εξισώσεις κινηματικής, επειδή η επίδραση της βαρύτητας στην κίνηση των αντικειμένων είναι ανεξάρτητα από τη μάζα τους, και ποσότητες όπως η ορμή, η αδράνεια και η ενέργεια δεν αποτελούν μέρος οποιωνδήποτε εξισώσεων κίνηση.
Μια γρήγορη σημείωση για ακτίνια και βαθμούς
Επειδή η περιστροφική κίνηση περιλαμβάνει τη μελέτη κυκλικών διαδρομών (σε μη ομοιόμορφα καθώς και ομοιόμορφα κυκλικά κίνηση) αντί να χρησιμοποιείτε μετρητές για να περιγράψετε τη μετατόπιση ενός αντικειμένου, χρησιμοποιείτε ακτίνια ή μοίρες αντι αυτου.
Το ακτίνιο είναι, στην επιφάνεια, μια αδέξια μονάδα, που μεταφράζεται σε 57,3 μοίρες. Ωστόσο, ένα ταξίδι γύρω από έναν κύκλο (360 μοίρες) ορίζεται ως ακτινικά 2π και για λόγους που πρόκειται να δείτε, αυτό αποδεικνύεται βολικό κατά την επίλυση προβλημάτων σε ορισμένες περιπτώσεις.
- Η σχέσηπ rad = 180 μοίρεςμπορεί να χρησιμοποιηθεί για εύκολη μετατροπή μεταξύ των δύο μονάδων μέτρησης.
Μπορεί να υπάρχουν προβλήματα που περιλαμβάνουν τον αριθμό στροφών ανά μονάδα χρόνου (rpm ή rps). Να θυμάστε ότι κάθε επανάσταση είναι 2π ακτίνια ή 360 μοίρες
Περιστροφική κινηματική εναντίον Μεταφραστικές μετρήσεις κινηματικής
Οι μετρήσεις της μεταφραστικής κινηματικής ή οι μονάδες έχουν όλα περιστροφικά ανάλογα. Για παράδειγμα, αντί της γραμμικής ταχύτητας, η οποία περιγράφει, για παράδειγμα, πόσο μακριά μια μπάλα κυλά σε ευθεία γραμμή σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα, η μπάλαπεριστροφικόςήγωνιακή ταχύτηταπεριγράφει τον ρυθμό περιστροφής αυτής της μπάλας (πόσο περιστρέφεται σε ακτίνια ή μοίρες ανά δευτερόλεπτο).
Το κύριο πράγμα που πρέπει να θυμάστε εδώ είναι ότι κάθε μεταφραστική ενότητα έχει περιστροφικό ανάλογο. Η εκμάθηση μαθηματικών και εννοιολογικών συσχετίσεων των «συνεργαζόμενων» απαιτεί λίγη πρακτική, αλλά ως επί το πλείστον πρόκειται για απλή αντικατάσταση.
Γραμμική ταχύτηταβκαθορίζει τόσο το μέγεθος όσο και την κατεύθυνση της μετάφρασης ενός σωματιδίου. γωνιακή ταχύτηταω(το ελληνικό γράμμα ωμέγα) αντιπροσωπεύει την μοναδική του ταχύτητα, που είναι το πόσο γρήγορα το αντικείμενο περιστρέφεται σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο. Ομοίως, ο ρυθμός μεταβολής τουω, η γωνιακή επιτάχυνση, δίνεται απόα(άλφα) σε rad / s2.
Οι τιμές τουωκαιαείναι το ίδιο για οποιοδήποτε σημείο ενός συμπαγούς αντικειμένου, αν έχουν μέτρηση 0,1 μέτρα από τον άξονα περιστροφής ή 1.000 μέτρα μακριά, επειδή είναι μόνο πόσο γρήγορα η γωνίαθαλλαγές που έχουν σημασία.
Υπάρχουν, ωστόσο, εφαπτομενικές (και επομένως γραμμικές) ταχύτητες και επιταχύνσεις που υπάρχουν στις περισσότερες περιπτώσεις όπου φαίνονται περιστροφικές ποσότητες. Οι εφαπτομενικές ποσότητες υπολογίζονται πολλαπλασιάζοντας τις γωνιακές ποσότητες μερ, η απόσταση από τον άξονα περιστροφής:βτ = ωρκαιατ = αρ.
Περιστροφική κινηματική εναντίον Μεταφράσεις Κινηματικών Εξισώσεων
Τώρα που οι αναλογίες μέτρησης μεταξύ περιστροφικής και γραμμικής κίνησης έχουν τετραγωνιστεί χρησιμοποιώντας την εισαγωγή νέων γωνιακών όρων, αυτοί μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την επανεγγραφή του τέσσερις κλασικές μεταφραστικές κινηματικές εξισώσεις όσον αφορά την περιστροφική κινηματική, ακριβώς με κάπως διαφορετικές μεταβλητές (τα γράμματα σε εξισώσεις που αντιπροσωπεύουν άγνωστα ποσότητες).
Υπάρχουν τέσσερις θεμελιώδεις εξισώσεις καθώς και τέσσερις βασικές μεταβλητές στο παιχνίδι στην κινηματική: θέση (Χ, εήθ), ταχύτητα (βήω), επιτάχυνση (έναήα) και ώρατ. Ποια εξίσωση επιλέγετε εξαρτάται από ποιες ποσότητες είναι άγνωστες να ξεκινήσετε.
- [εισαγάγετε έναν πίνακα γραμμικών / μεταφραστικών κινηματικών εξισώσεων ευθυγραμμισμένων με τα περιστροφικά τους ανάλογα]
Για παράδειγμα, ας πούμε ότι ένας μηχανικός βραχίονας σάρωσε μια γωνιακή μετατόπιση 3π / 4 ακτίνων με αρχική γωνιακή ταχύτηταω00 rad / s και τελική γωνιακή ταχύτηταωπ rad / s. Πόσο καιρό χρειάστηκε αυτή η κίνηση;
\ theta = \ theta_0 + \ frac {1} {2} (\ omega_0 + \ omega) t \ σημαίνει \ frac {3 \ pi} {4} = 0 + \ frac {\ pi} {2} t \ σημαίνει t = 1.5 \ κείμενο {s}
Ενώ κάθε μεταφραστική εξίσωση έχει περιστροφικό ανάλογο, το αντίστροφο δεν είναι απολύτως αληθές λόγω της κεντρομόλης επιτάχυνσης, η οποία είναι συνέπεια της εφαπτομενικής ταχύτηταςβτκαι δείχνει προς τον άξονα περιστροφής. Ακόμα κι αν δεν υπάρχει αλλαγή στην ταχύτητα ενός σωματιδίου που περιστρέφεται γύρω από ένα κέντρο μάζας, αυτό αντιπροσωπεύει την επιτάχυνση επειδή η κατεύθυνση του διανύσματος ταχύτητας αλλάζει πάντα.
Παραδείγματα περιστροφικών μαθηματικών μαθηματικών
1. Μια λεπτή ράβδος, ταξινομημένη ως άκαμπτο σώμα με μήκος 3 m, περιστρέφεται γύρω από έναν άξονα περίπου στο ένα άκρο. Επιταχύνει ομοιόμορφα από το υπόλοιπο στα 3π rad / s2 για περίοδο 10 δευτερολέπτων.
α) Ποια είναι η μέση γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου;
Όπως με τη γραμμική ταχύτητα, απλώς διαιρέστε (ω0+ ω) κατά 2 για να λάβετε μέση γωνιακή ταχύτητα: (0 + 3π s-1)/2 = 1.5π μικρό-1.
- Τα ακτινικά είναι μια μονάδα χωρίς διάσταση, οπότε στις εξισώσεις κινηματικής, η γωνιακή ταχύτητα εκφράζεται ως s-1.
Η μέση επιτάχυνση δίνεται απόω=ω0+ αt, ήα= (3πδ-1/ 10 s) =0,3πδ-2.
β) Πόσες πλήρεις στροφές κάνει η ράβδος;
Δεδομένου ότι η μέση ταχύτητα είναι 1,5π s-1 και η ράβδος περιστρέφεται για 10 δευτερόλεπτα, κινείται μέσα από συνολικά 15π ακτίνια. Δεδομένου ότι μια επανάσταση είναι 2π ακτίνια, αυτό σημαίνει (15π / 2π) = 7,5 περιστροφές (επτά ολοκληρωμένες επαναστάσεις) σε αυτό το πρόβλημα.
c) Ποια είναι η εφαπτομενική ταχύτητα του άκρου της ράβδου στο χρόνο t = 10 s;
Απόβτ = ωρ, καιωτη στιγμή t = 10 είναι 3π s-1, βτ= (3πδ-1) (3 m) =9π m / s.
Η στιγμή της αδράνειας
Εγώορίζεται ως η στιγμή της αδράνειας (ονομάζεται επίσηςδεύτερη στιγμή της περιοχής) σε περιστροφική κίνηση, και είναι ανάλογη με τη μάζα για υπολογιστικούς σκοπούς. Φαίνεται λοιπόν όπου θα εμφανιστεί η μάζα στον κόσμο της γραμμικής κίνησης, ίσως το πιο σημαντικό για τον υπολογισμό της γωνιακής ορμήςμεγάλο. Αυτό είναι το προϊόν τηςΕγώκαιω,και είναι ένα διάνυσμα με κατεύθυνση το ίδιο όπωςω.
I = κύριε2 για ένα σημείο σωματιδίων, αλλά διαφορετικά εξαρτάται από το σχήμα του αντικειμένου που κάνει την περιστροφή, καθώς και από τον άξονα περιστροφής. Δείτε τους πόρους για μια εύχρηστη λίστα τιμώνΕγώγια κοινά σχήματα.
Η μάζα είναι διαφορετική επειδή η ποσότητα στην περιστροφική κινηματική με την οποία σχετίζεται, στιγμή αδράνειας, η ίδια στην πραγματικότηταπεριέχειμάζα ως συστατικό.