Ο υπολογισμός της τροχιάς μιας σφαίρας χρησιμεύει ως μια χρήσιμη εισαγωγή σε ορισμένες βασικές έννοιες της κλασικής φυσικής, αλλά έχει επίσης πολλές δυνατότητες να περιλαμβάνει πιο περίπλοκους παράγοντες. Στο πιο βασικό επίπεδο, η τροχιά μιας σφαίρας λειτουργεί ακριβώς όπως η τροχιά οποιουδήποτε άλλου βλήματος. Το κλειδί είναι ο διαχωρισμός των εξαρτημάτων της ταχύτητας στους άξονες (x) και (y) και η συνεχής επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας για να προσδιοριστεί πόσο μακριά μπορεί να πετάξει η σφαίρα πριν χτυπήσει το έδαφος. Ωστόσο, μπορείτε επίσης να ενσωματώσετε το drag και άλλους παράγοντες εάν θέλετε μια πιο ακριβή απάντηση.
Αγνοήστε την αντίσταση του ανέμου για να υπολογίσετε την απόσταση που διανύεται με μια σφαίρα χρησιμοποιώντας τον απλό τύπο:
x = v_ {0x} \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
Πού (v0x) είναι η αρχική του ταχύτητα, (h) είναι το ύψος από το οποίο πυροδοτείται και (g) είναι η επιτάχυνση λόγω της βαρύτητας.
Αυτός ο τύπος ενσωματώνει drag:
x = v_ {0x} t- \ frac {C \ rho A v ^ 2t ^ 2} {2m}
Εδώ, (C) είναι ο συντελεστής οπισθέλκουσας της σφαίρας, (ρ) είναι η πυκνότητα αέρα, (Α) είναι η περιοχή της σφαίρας, (t) είναι ο χρόνος πτήσης και (m) είναι η μάζα της σφαίρας.
Το Ιστορικό: (x) και (y) Στοιχεία της ταχύτητας
Το κύριο σημείο που πρέπει να καταλάβετε κατά τον υπολογισμό των τροχιών είναι ότι οι ταχύτητες, οι δυνάμεις ή οποιοδήποτε άλλο «διάνυσμα» (που έχει κατεύθυνση καθώς και ισχύ) μπορεί να είναι χωρισμένα σε «συστατικά». Εάν κάτι κινείται υπό γωνία 45 μοιρών προς την οριζόντια, σκεφτείτε το ότι κινείται οριζόντια με μια συγκεκριμένη ταχύτητα και κάθετα με ένα συγκεκριμένο Ταχύτητα. Συνδυάζοντας αυτές τις δύο ταχύτητες και λαμβάνοντας υπόψη τις διαφορετικές κατευθύνσεις σας, σας δίνει την ταχύτητα του αντικειμένου, συμπεριλαμβανομένης της ταχύτητας και της κατεύθυνσης που προκύπτει.
Χρησιμοποιήστε τις λειτουργίες cos και sin για να διαχωρίσετε τις δυνάμεις ή τις ταχύτητες στα συστατικά τους. Εάν κάτι κινείται με ταχύτητα 10 μέτρων ανά δευτερόλεπτο σε γωνία 30 μοιρών προς την οριζόντια, το στοιχείο x της ταχύτητας είναι:
v_x = v \ cos {\ theta} = (10 \ text {m / s}) \ cos {30} = 8,66 \ κείμενο {m / s}
Πού (v) είναι η ταχύτητα (δηλ. 10 μέτρα ανά δευτερόλεπτο) και μπορείτε να βάλετε οποιαδήποτε γωνία στη θέση του (θ) για να ταιριάζει στο πρόβλημά σας. Το στοιχείο (y) δίνεται από μια παρόμοια έκφραση:
v_y = v \ sin {\ theta} = (10 \ text {m / s}) \ sin {30} = 5 \ κείμενο {m / s}
Αυτά τα δύο συστατικά αποτελούν την αρχική ταχύτητα.
Βασικές τροχιές με τις εξισώσεις σταθερής επιτάχυνσης
Το κλειδί για τα περισσότερα προβλήματα που αφορούν τροχιές είναι ότι το βλήμα σταματά να κινείται προς τα εμπρός όταν χτυπά το πάτωμα. Εάν η σφαίρα εκτοξευτεί από 1 μέτρο στον αέρα, όταν η επιτάχυνση λόγω βαρύτητας την κατεβάσει 1 μέτρο, δεν μπορεί να ταξιδέψει περισσότερο. Αυτό σημαίνει ότι το συστατικό y είναι το πιο σημαντικό πράγμα που πρέπει να λάβετε υπόψη.
Η εξίσωση για την μετατόπιση του στοιχείου y είναι:
y = v_ {0y} t- \ frac {1} {2} gt ^ 2
Η συνδρομή "0" σημαίνει την ταχύτητα εκκίνησης στην κατεύθυνση (y), (t) σημαίνει χρόνο και (g) σημαίνει την επιτάχυνση λόγω βαρύτητας, η οποία είναι 9,8 m / s2. Μπορούμε να το απλοποιήσουμε εάν η σφαίρα εκτοξευτεί τέλεια οριζόντια, οπότε δεν έχει ταχύτητα στην κατεύθυνση (y). Αυτό αφήνει:
y = - \ frac {1} {2} gt ^ 2
Σε αυτήν την εξίσωση, (y) σημαίνει μετατόπιση από την αρχική θέση και θέλουμε να μάθουμε πόσο καιρό χρειάζεται η σφαίρα να πέσει από το αρχικό της ύψος (h). Με άλλα λόγια, θέλουμε
y = -h = - \ frac {1} {2} gt ^ 2
Που κανονίζετε ξανά:
t = \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
Αυτή είναι η ώρα της πτήσης για τη σφαίρα. Η ταχύτητά του προς τα εμπρός καθορίζει την απόσταση που διανύει και αυτό δίνεται από:
x = v_ {0x} τ
Όπου η ταχύτητα είναι η ταχύτητα που αφήνει το όπλο. Αυτό αγνοεί τα αποτελέσματα του drag για απλοποίηση των μαθηματικών. Χρησιμοποιώντας την εξίσωση για (t) που βρέθηκε πριν από λίγο, η απόσταση που διανύθηκε είναι:
x = v_ {0x} \ sqrt {\ frac {2h} {g}}
Για μια σφαίρα που πυροδοτεί στα 400 m / s και πυροβολείται από ύψος 1 μέτρου, αυτό δίνει:
x = (400 \ κείμενο {m / s}) \ sqrt {\ frac {2 (1 \ text {m})} {9,8 \ κείμενο {m / s} ^ 2}} = 180,8 \ κείμενο {m}
Έτσι η σφαίρα ταξιδεύει περίπου 181 μέτρα πριν χτυπήσει το έδαφος.
Ενσωμάτωση Drag
Για μια πιο ρεαλιστική απάντηση, δημιουργήστε μεταφορά στις παραπάνω εξισώσεις. Αυτό περιπλέκει τα πράγματα λίγο, αλλά μπορείτε να το υπολογίσετε αρκετά εύκολα αν βρείτε τις απαιτούμενες πληροφορίες σχετικά με τη σφαίρα σας και τη θερμοκρασία και την πίεση όπου πυροδοτείται. Η εξίσωση για τη δύναμη λόγω έλξης είναι:
F_ {drag} = \ frac {-C \ rho Av ^ 2} {2}
Εδώ (C) αντιπροσωπεύει τον συντελεστή οπισθέλκουσας της σφαίρας (μπορείτε να μάθετε για μια συγκεκριμένη σφαίρα, ή να χρησιμοποιήσετε C = 0,295 ως γενικό σχήμα), ρ είναι η πυκνότητα αέρα (περίπου 1,2 kg / κυβικό μέτρο σε κανονική πίεση και θερμοκρασία), (A) είναι η περιοχή διατομής μιας σφαίρας (μπορείτε να την επεξεργαστείτε για μια συγκεκριμένη σφαίρα ή απλά να χρησιμοποιήσετε A = 4,8 × 10−5 Μ2, η τιμή για ένα διαμέτρημα 0,308) και (v) είναι η ταχύτητα της σφαίρας. Τέλος, χρησιμοποιείτε τη μάζα της σφαίρας για να μετατρέψετε αυτήν τη δύναμη σε επιτάχυνση για να χρησιμοποιήσετε στην εξίσωση, η οποία μπορεί να ληφθεί ως m = 0,016 kg, εκτός εάν έχετε μια συγκεκριμένη σφαίρα στο μυαλό.
Αυτό δίνει μια πιο περίπλοκη έκφραση για την απόσταση που διανύθηκε στην κατεύθυνση (x):
x = v_ {0x} t- \ frac {C \ rho A v ^ 2t ^ 2} {2m}
Αυτό είναι περίπλοκο, διότι τεχνικά, η μεταφορά μειώνει την ταχύτητα, η οποία με τη σειρά της μειώνει τη μεταφορά, αλλά μπορείτε να απλοποιήσετε τα πράγματα υπολογίζοντας απλώς τη μεταφορά με βάση την αρχική ταχύτητα των 400 m / s. Χρησιμοποιώντας χρόνο πτήσης 0,452 s (όπως πριν), αυτό δίνει:
x = (400 \ κείμενο {m / s}) (0,452 \ κείμενο {s}) - \ frac {(0,295) (1,2 \ κείμενο {kg / m} ^ 3) (4,8 \ φορές10 ^ {- 5} \ κείμενο {m} ^ 2) (400 \ κείμενο {m / s}) ^ 2 (0,452 \ κείμενο { s}) ^ 2} {2 (0,016 \ κείμενο {kg})} \\ = 180,8 \ κείμενο {m} - \ frac {0,555 \ κείμενο {kgm}} {0,032 \ κείμενο {kg}} \\ = 180,8 \ κείμενο {m} -17,3 \ κείμενο {m} \\ = 163,5 \ κείμενο { Μ}
Έτσι, η προσθήκη έλξης αλλάζει την εκτίμηση κατά περίπου 17 μέτρα.